第1部分 第3模块 第12讲 二次函数的图象和性质(精练册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第12讲　二次函数的图象和性质 考点一 二次函数的图象和性质(10年10考) 1.(2020河北15题)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下, 甲:若b=5,则点P的个数为0; 乙:若b=4,则点P的个数为1; 丙:若b=3,则点P的个数为1. 下列判断正确的是 ( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对 C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.(2018河北16题)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则 ( ) A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 3.(2023河北16题)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为 ( ) A.2 B.m2 C.4 D.2m2　 D A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二 二次函数图象的变换 4.(2023河北唐山迁安模拟)抛物线y=2x2经过平移得到y=2(x-1)2+3,平移方法是 ( ) A.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度 B.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度 C.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度 D.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度 5.如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;…如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=　　　　.  　 D 2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.如图,将抛物线y=x2平移得到抛物线M,抛物线M经过点A(-6,0)和点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q. (1)点P的坐标为　　　　;  (2)图中阴影部分的面积为　　　　.  (-3,-) 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三 二次函数的综合题(10年3考,2024最新考查) 7.(2015河北25题)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线L:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C. (1)若抛物线L经过点B,求它的函数表达式, 并写出此时抛物线L的对称轴及顶点坐标; (2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时抛物线L上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小; 解:把x=2,y=1代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2-h)2+1,解得h=2, ∴抛物线L的函数表达式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3), 对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1). 解:∵点C的横坐标为0,∴yC=-h2+1, ∴当h=0时,yC有最大值1. 此时,抛物线L的函数表达式为y=-x2+1,对称轴为y轴,当x≥0时,y随着x的增大而减小, ∴当x1>x2≥0时,y1<y2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)当线段OA被抛物线L只分为两部分,且这两部分的长度之比是1∶4时,求h的值. 解:把OA分成1∶4两部分的点为(-1,0)或(-4,0). 把x=-1,y=0代入y=-(x-h)2+1, 解得h=0或h=-2. 但h=-2时,OA被分为三部分,不合题意,舍去. 同样,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h=-3(舍去). ∴h的值为0或-5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 8.(2022河北23题)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧. (1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值; (2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P′,C′.平移该胶片,使C′所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9.求点P′移动的最短路程. 解:∵抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4, ∴抛物线的顶点为Q(6,4), ∴抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4, 当y=3时,3=-(x-6)2+4,∴x=5或7. ∵点P在对称轴的右侧,∴P(7,3),∴a=7. 解:∵平移后的抛物线的解析式为y=-(x-3)2, ∴平移后的顶点为Q′(3,0). ∵平移前抛物线的顶点为Q(6,4), ∴点P′移动的最短路程为QQ′==5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.(2024河北26题)如图,抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q.抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2(其中t为常数,且t>2),顶点为P. (1)直接写出a的值和点Q的坐标; 解:∵抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q, ∴16a-8=0,解得a=, ∴抛物线C1的解析式为y=x2-2x=(x-2)2-2, ∴Q(2,-2). 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)嘉嘉说:无论t为何值,将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上. 淇淇说:无论t为何值,C2总经过一个定点. 请选择其中一人的说法进行说理. 解:选择嘉嘉的说法说理如下: 把Q(2,-2)向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为(0,-2), 当x=0时,C2:y=-(x-t)2+t2-2=-t2+t2-2=-2, ∴(0,-2)在C2上,∴嘉嘉的说法正确; 选择淇淇的说法说理如下: C2:y=-(x-t)2+t2-2=-x2+xt-2, 当x=0时,y=-2, ∴C2:y=-(x-t)2+t2-2过定点(0,-2),∴淇淇的说法正确. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)当t=4时, ①求直线PQ的解析式; 解:当t=4时,C2:y=-(x-t)2+t2-2=-(x-4)2+6, ∴顶点P(4,6),而Q(2,-2). 设直线PQ的解析式为y=ex+f,∴解得 ∴直线PQ的解析式为y=4x-10. 目录 上页 首页 下页 ‹#› ②作直线l∥PQ,当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的横坐标. 解:如图,当C2:y=-(x-4)2+6=-6(等于6两直线重合不符合题意), ∴x=4±2, ∴交点J(4-2,-6),交点K(4+2,-6). 由直线l∥PQ,设直线l为y=4x+b, 当直线过点J(4-2,-6)时, 4(4-2)+b=-6,解得b=8-22, ∴直线l为y=4x+8-22, 当y=4x+8-22=0时,x=-2, 此时直线l与x轴交点的横坐标为-2. 同理,当直线l过点K(4+2,-6)时, 直线l为y=4x-8-22, 当y=4x-8-22=0时,x=+2, 此时直线l与x轴交点的横坐标为+2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (4)设C1与C2的交点A,B的横坐标分别为xA,xB,且xA<xB,点M在C1上,横坐标为m(2≤m≤xB).点N在C2上,横坐标为n(xA≤n≤t),若点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示n. 解:∵C1:y=(x-2)2-2,C2:y=-(x-t)2+t2-2, ∴C2是由C1通过旋转180°,再平移得到的,两个函数图象的形状相同, 如图,连接AB交PQ于点L,连接AQ,BQ,AP,BP, ∴四边形APBQ是平行四边形. 当点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,此时M与B重合,N与A重合, ∵P(2,-2),Q(t,t2-2), ∴L的横坐标为,M(m,m2-2m),N(n,-(n-t)2+t2-2), ∴L的横坐标为,∴=, 解得n=2+t-m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› —— 基础过关练 —— 1.(2024河北邯郸模拟)抛物线y=-2(x+2)2-1的顶点坐标为 ( ) A.(2,-1) B.(-2,-1) C.(2,1) D.(-2,1) 2.(2023贵州)已知,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,b)所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2023湖南株洲)如图,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是 ( ) A.b恒大于0 B.a,b同号 C.a,b异号 D.以上说法都不对 C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(2024陕西)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表: 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) A.图象的开口向上 B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 x … -4 -2 0 3 5 … y … -24 -8 0 -3 -15 … D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 5.(2024河北张家口一模)图为函数y=x2-1,y=x2+6x+8,y=x2-6x+8,y=x2-12x+35在同一平面直角坐标系中的图象,其中最有可能是y=x2-6x+8的图象的序号是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 6.(2024山东滨州)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为　 .  7.(2024上海)对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一点P(x′,y′),使得x′-m=y′-k≠0,则称2|x′-m|为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线y=-x2+x+3“开口大小”为　　　　.  C (1,2) 4 目录 上页 首页 下页 ‹#› 8.已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3). (1)求b,c的值; (2)求该抛物线的顶点坐标; (3)当-4≤x≤0时,求y的最大值; 解:把(0,-3),(-6,-3)代入y=-x2+bx+c, 得解得 解:由(1)知,该抛物线的解析式为y=-x2-6x-3, 则y=-x2-6x-3=-(x2+6x+3)=-[(x+3)2-6]=-(x+3)2+6, 于是可得该抛物线的顶点坐标为(-3,6). 解:∵y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6, 又∵-4≤x≤0,∴当x=-3时,y取最大值,最大值为6. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (4)当m≤x≤0时,y的最大值与最小值之和为2,求m的值. 解:①当-3<m≤0时, 当x=0时,y有最小值为-3, 当x=m时,y有最大值为-m2-6m-3, ∴-m2-6m-3+(-3)=2, ∴m=-2或m=-4(舍去). ②当m≤-3时, 当x=-3时,y有最大值为6, ∵y的最大值与最小值之和为2,∴y有最小值为-4, ∴-(m+3)2+6=-4, ∴m=-3-或m=-3+(舍去). 综上所述,m的值为-2或-3-. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.(2024安徽)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值; (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上. (ⅰ)若h=3t,且x1≥0,t>0,求h的值; 解:∵抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为,y=-x2+2x的顶点横坐标为1, ∴-1=1,∴b=4. 解:∵点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,∴y1=-+2x1. ∵点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+4x上, ∴y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t),-+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1+t), ∴h=-t2-2x1t+2x1+4t. ∵h=3t,∴3t=-t2-2x1t+2x1+4t,∴t(t+2x1)=t+2x1. ∵x1≥0,t>0,∴t+2x1>0,∴t=1,h=3. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (ⅱ)若x1=t-1,求h的最大值. 解:将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t, 得h=-3t2+8t-2=-3(t-)2+. ∵-3<0, ∴当t=,即x1=时,h取得最大值. 目录 上页 首页 下页 ‹#› —— 素养提升练 —— 1.(2024福建)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(,y1),B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是 ( ) A.可以找到一个实数a,使得y1>a B.无论实数a取什么值,都有y1>a C.可以找到一个实数a,使得y2<0 D.无论实数a取什么值,都有y2<0 2.(2024四川乐山)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是 ( ) A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 C C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2024河北石家庄裕华区二模)已知a>0,设函数y1=a(x-1)2,y2=a(x-2)2,y3=a(x-3)2.直线x=m的图象与函数y1,y2,y3的图象分别交于点A(m,c1),B(m,c2),C(m,c3),下列说法正确的是 ( ) A.若m<1,则c2<c3<c1 B.若1<m<2,则c1<c2<c3 C.若2<m<3,则c3<c2<c1 D.若m>3,则c3<c2<c1 D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(2024山东烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表: 下列结论: ①abc>0; ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根; ③当-4<x<1时,y的取值范围为0<y<5; ④若点(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函数图象上,则y1=y2; ⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3. 其中正确结论的序号为　　　　 .  x -4 -3 -1 1 5 y 0 5 9 5 -27 ①②④ 目录 上页 首页 下页 ‹#› 5.(2024山东威海)已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2. (1)若抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x3,0),(x4,0),且x3<x4,试判断下列每组数据的大小(填写“<”“=”或“>”): ①x1+x2　　　x3+x4;②x1-x3　　　x2-x4;③x2+x3　　　x1+x4;  (2)若x1=1,2<x2<3,求b的取值范围; = < > 解:∵x1=1,2<x2<3, ∴3<x2+x1<4, ∴3<-b<4, ∴-4<b<-3. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)当0≤x≤1时,y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为,求b的值. 解:抛物线y=x2+bx+c(b<0)顶点坐标为(-,),对称轴为直线x=->0, 当x=0时,y=c;当x=1时,y=1+b+c. ①当->1,即b<-2时c-1-b-c=,b=-(舍去); ②当在x=0取得最大值,在顶点取得最小值时, 有c-=,解得b=(舍去)或b=-; ③当在x=1取得最大值,在顶点取得最小值时, 有1+b+c-=,解得b=-(舍去)或b=-, 综上所述,b的值为-或-. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.(一题练透)(2024四川凉山州)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A,B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED时,求点P的坐标; 解:把B(3,m)代入y=x+2,得m=3+2=5, ∴B(3,5), 把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x2+bx+c,得解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8. 解:设P(t,-t2+2t+8),则E(t,t+2),D(t,0), ∵PE=2DE,∴-t2+2t+8-(t+2)=2(t+2), 解得t=1或t=-2(此时P不在直线AB上方,舍去); ∴点P的坐标为(1,9). 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)抛物线上是否存在点M,使△ABM的面积等于△ABC面积的一半?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解:抛物线上存在点M,使△ABM的面积等于△ABC面积的一半. 如图,过点M作MK∥y轴交直线AB于点K,连接MB, 在y=-x2+2x+8中,令y=0得0=-x2+2x+8,解得x=-2或x=4, ∴A(-2,0),C(4,0),∴AC=6. ∵B(3,5),∴S△ABC=×6×5=15. 设M(n,-n2+2n+8),则K(n,n+2), ∴MK=|-n2+2n+8-(n+2)|=|-n2+n+6|, ∴S△ABM=MK·|xB-xA|=|-n2+n+6|×5=|-n2+n+6|. ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半, ∴|-n2+n+6|=×15,∴|-n2+n+6|=3, ∴-n2+n+6=3或-n2+n+6=-3,解得n=或n=, ∴点M的坐标为(,)或(,)或(,)或(,). 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$