6.3 解三角形（第2课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第六章 三角 6.3解三角形（第2课时） 证明 记△ABC 外接圆的半径为R, 由 , 得 即 cos B=cos C. 又由B 、C∈(0,π), 得 B=C, 从 而b=c. 再 由b²+c²-bc=a², 得 b²=a², 从 而a=b. 所以，△ABC 为等边三角形. 例题1.在△ABC中，已知b²+c²-bc=a², 且 求证：△ABC 为等边三角形. 判断三角形的形状 例题2.在△ABC 中，已知a=5,b=4, 且三角形面积S=8. 求c. 反三角函数 为了表示例题2中的角C,我们引入如下记号. 基线 高 解三角形的实际应用 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型1　测量距离问题 【例1】 如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D 四点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°， ∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长． [解]　因为A，B，C，D 4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°， 因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°， 所以在Rt△BCD中，BC＝100cos 30°＝50(m)． 在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知 ＝，因此AC＝m． 在△ABC中，由余弦定理可知 AB2＝＋(50)2－2××50cos 45°＝，从而有AB＝ m． 反思领悟　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． [跟进训练] 1．为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______m． 60 60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°， ∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D， ∴河宽BD＝120·sin 30°＝60(m)．] 类型2　测量高度问题 【例2】　如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度． [解]　在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°， ∠AMC＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得＝， 即＝，解得AC＝600(m)． 在△ACD中，因为tan ∠DAC＝＝， 所以CD＝600×＝600(m)． 即电视塔CD的高度为600 m． 反思领悟　测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． [跟进训练] 2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝______m． 150 150　[由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100(m)，所以MN＝ AM sin 60°＝100×＝150(m)．] 类型3　角度问题 【例3】　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值) [解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇， 则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9， ∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得， (28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×， 即128t2－60t－27＝0，解得t＝或t＝－(舍去)， ∴AC＝21海里，BC＝15海里．根据正弦定理， 得sin ∠BAC＝＝， 则cos ∠BAC＝＝． 又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角， ∴θ＝45°－∠BAC，sin θ＝sin(45°－∠BAC) ＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝． 反思领悟　解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题． [跟进训练] 3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． [解]　(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α． 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196， 解得BC＝14，所以渔船甲的速度为＝7 (n mile/h)． (2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 1、基线的概念与选择原则 (1)定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做____． (2)性质 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越__． 在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ [提示]　利用正弦定理和余弦定理． 2、测量中的有关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示) (2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°． (如图所示) 2．李尧出校向南走了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？ [提示]　东南方向． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边． (　　) (2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得． (　　) (3)若P在Q的北偏东44°方向，则Q在P的东偏北44°方向． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　) A．α＋β　　　　　　 B．α－β C．β－α D．α C　[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．] 3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为eq \r(3) km，那么x的值为________． 2eq \r(3)或eq \r(3)　[如图，在△ABC中，由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos 30°， 即x2－3eq \r(3)x＋6＝0，解得x＝2eq \r(3)或eq \r(3)．] $$