第18章 平行四边形 分节教学课件-2024-2025学年人教版数学八年级下册

18.1.1 平行四边形的性质 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下(RJ) 教学课件 第1课时 平行四边形的边、角特征 学习目标 1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定 义和对边相等、对角相等的两条性质.(重点) 2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.(难点) 3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的 思维水平. 导入新课 观察下图,平行四边形在生活中无处不在. 情景引入 你还能举出其他的例子吗? 两组对边都不平行 一组对边平行, 一组对边不平行 两组对边分别平行 问题1 观察图形,说出下列图形边的位置有什么特征? 问题2 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗? 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形用“ ” 表示,如图,平行四边形ABCD 记作 ABCD ( 要注意字母顺序). 1.定义: A B D C 归纳总结 语言表述: ∵AD∥BC,AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 例1 如图,DC∥GH ∥ AB,DA∥ EF∥ CB,图中的 平行四边形有多少个?将它们表示出来. D A B C H G F E 典例精析 解:∵DC∥GH ∥ AB, DA∥ EF∥ CB, ∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形,即 AEKG, ABHG, AEFD, GKFD, K BEKH, CHKF, BEFC, CDGH, ABCD. 用定义判定平行四边形,即看四边形两组对边是否分别平行. 归纳 你能从以下图形中找出平行四边形吗? (2) (3) (1) (4) (5) 练一练 根据平行四边形的定义,请画一个平行四边形ABCD. D A B C 平行四边形的边、角的特征 二 A B C D 活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边,并记录下数据,你能发现AB与DC,AD与BC之间的数量关系吗? 测得AB=DC,AD=BC. A B C D 测得∠A =∠C,∠B =∠D. 活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角,并记录下数据,你能发现∠A与∠C,∠B与 ∠D之间的数量关系吗? 猜想 平行四边形的两组对边,两组对角有什么数量关系? 两组对边及两组对角分别相等. 怎样证明这个猜想呢? 证明:如图,连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB ∥ CD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 又∵AC是 ABC和 CDA的公共边, ∴ ABC≌ CDA, ∴AD=BC,AB=CD,∠ABC=∠ADC. ∵∠BAD=∠1+∠4,∠BCD=∠2+∠3, ∴∠BAD=∠BCD. A B C D 1 4 3 2 已知:四边形ABCD是平行四边形. 求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 证一证 思考 不添加辅助线,你能否直接运用平行四边形的 定义,证明其对角相等? A B C D 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB ∥ CD, ∴∠A+∠B=180 , ∠A+∠D=180 , ∴∠B=∠D. 同理可得∠A=∠C. 平行四边形的对边相等. 平行四边形的对角相等. 平行四边形的性质除了对边互相平行以外,还有: A B C D 归纳总结 动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起,重合部分构成了一个四边形,转动其中一张纸条,线段AD和BC的长度有什么关系?为什么? A B C D 解:AD和BC的长度相等. 理由如下:由题意知AB//CD,AD//BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC. 例2 如图,在 ABCD中. (1)若∠A =32。,求其余三个角的度数. A B C D ∵四边形ABCD是平行四边形 解: 且 ∠A =32。(已知), ∴ ∠A = ∠C=32。, ∠B= ∠D (平行四边形的对角相等). 又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行), ∴ ∠A + ∠B =180。(两直线平行,同旁内角互补), ∴ ∠B= ∠D= 180。- ∠A = 180。- 32。=148。. 典例精析 (2)连接AC,已知 ABCD的周长等于20 cm,AC= 7cm,求 ABC的周长. 解:∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴AB=CD,BC=AD(平行四边形的对边相等). 又∵AB+BC+CD+AD=20cm(已知), ∴AB+BC= 10cm. ∵AC=7cm, ∴ ABC的周长为AB+BC+AC= 17cm. A B C D 【变式题】 (1)在 ABCD中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数. 解: (1)∵∠A,∠B是平行四边形的两个邻角, ∴∠A+∠B=180 . 又∵∠A:∠B=2:3, 设∠A=2x,∠B=3x, ∴2x+3x= 180 , 解得x= 36 . ∴ ∠A = ∠C=72 , ∠B= ∠D=108 . 平行四边形的邻角互补 (2)若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 解: (2)在平行四边形ABCD中, ∵AB=CD,BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm. ∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm, ∴3y+4y=14,解得y=2. ∴AB=CD=6cm,BC=AD=8cm. 已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时,常会用到方程思想,结合平行四边形的性质列方程. 归纳 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, 例3 如图,在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,并且AE=CF,求证: BE=DF. ∴∠BAE=∠DCF. ∴ ABE≌ CDF. ∴ AB=CD,AB ∥ CD 又∵AE=CF, ∴BE=DF. A D B C E F 1.如图,在 ABCD中. (1)若∠A=130 ,则∠B=_ ,∠C=_ , ∠D=_. (3)若∠A+ ∠C= 200 ,则∠A=_,∠B=_. (2)若AB=3,BC=5,则它的周长= _. C D A B 50 130 50 100 80 练一练 16 2.如图,在平行四边形ABCD中,若AE平分∠DAB,AB=5cm,AD=9cm,则EC= . C 4cm A B D E 平行线间的距离 三 例4 如图,在 ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别是E,F.求证:AE=CF. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ ∠A= ∠C,AD=CB. 又∠AED= ∠CFB=90 , ∴ ADE≌ CBF(AAS), ∴AE=CF. 思考 在上述证明中还能得出什么结论? D A B C F E DE=BF C B F E A D 若m // n,作 AB // CD // EF,分别交 m于A、C、E,交 n于B、D、F. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF. 两条平行线之间的平行线段相等. m n 由平行四边形的定义易知四边形ABCD,CDEF均为平行四边形. 归纳总结 两条平行线间的距离相等. 若m // n,AB、CD、EF垂直于 n,交n于B、D、F,交 m于A、C、E. B F E A n m C D 点到直线的距离 同前面易得AB=CD=EF 两条平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离 如图,AB∥CD,BC⊥AB,若AB=4cm,S ABC =12cm2,求 ABD中AB边上的高. 解:S ABC = AB•BC, = 4 BC=12cm2, ∴BC=6cm. ∵AB∥CD, ∴点D到AB边的距离等于BC的长度, ∴ ABD中AB边上的高为6cm. 练一练 当堂练习 1.在 ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135 ,则∠MCD的度数是( ) A .45 B. 55 C. 65 D. 75 A A B C M D 2.判断题(对的在括号内填“√”,错的填“ ”): (1)平行四边形两组对边分别平行且相等. ( ) (2)平行四边形的四个内角都相等. ( ) (3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180 ( ) (4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和 3cm,那么周长是10cm. ( ) (5)在平行四边形ABCD中,如果∠A=42 , 那么∠B=48 . ( ) (6)在平行四边形ABCD中,如果∠A=35 , 那么∠C=145 . ( ) √ √ √ 4.如图,直线AE//BD,点C在BD上,若AE=5,BD=8, ABD的面积为16,则 ACE的面积为 . A B C D E 10 3.如图,D、 E、F 分别在 ABC的边AB、BC、AC上,且DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB,则图中有_个平行四边形. 第3题图 第4题图 3 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥CD,AD=BC. ∴ ∠CDE= ∠DEA,∠CFB= ∠FBA. 又∵DE,BF分别平分 ∠ADC,∠ABC, ∴∠CDE= ∠ADE,∠CBF= ∠FBA, ∴ ∠DEA= ∠ADE,∠CFB=∠CBF, ∴AE=AD, CF=BC, ∴AE= CF. 5.已知在平行四边形ABCD中,DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF. A B D C E F 6.有一块形状如图 所示的玻璃,不小心把EDF部分打碎了,现在只测得AE=60cm,BC=80cm,∠B=60 且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗? 解:∵AE//BC,AB//CF, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴∠D=∠B=60 , AD=BC=80cm. ∴ED=AD-AE=20cm. 答:DE的长度是20cm, ∠D的度数是60 . 证明: ∵ 四边形BEFM是平行四边形, ∴BM=EF,AB//EF. ∵ AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵AB//EF, ∴ ∠BAD=∠AEF, ∴∠CAD =∠AEF, ∴ AF=EF, ∴ AF=BM. 7.如图,在 ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证:AF=BM. B D C E F A M 课堂小结 平行 四边形 定义 两组对边分别平行的四边形 性质 两组对边分别平行,相等 两条平行线间的距离相等, 两条平行线间的平行线段也相等 两组对角分别相等,邻角互补 18.1.1 平行四边形的性质 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下(RJ) 教学课件 第2课时 平行四边形的对角线的特征 学习目标 1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质;(重点) 2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程,渗透 转化思想, 体会图形性质探究的一般思路.(难点) 导入新课 一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的: 当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己分的地少,同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么? 情景引入 讲授新课 平行四边形的对角线的性质 一 我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质,那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? A B C D O 如图,在 ABCD中,连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什么关系? 猜一猜 OA=OC,OB=OD 怎样证明这个猜想呢? 37 已知:如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证:OA=OC,OB=OD. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC, ∴ ∠1=∠2,∠3=∠4, ∴ AOD≌ COB(ASA), ∴ OA=OC,OB=OD. A C D B O 3 2 4 1 证一证 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 应用格式: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ OA=OC,OB=OD. 归纳总结 例1 已知 ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于点O, AOB的周长比 DOA的周长长5cm,求这个平行四边形各边的长. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,AB=CD,AD=BC. ∵ AOB的周长比 DOA的周长长5cm, ∴AB-AD=5cm. 又∵ ABCD的周长为60cm,∴AB+AD=30cm, 则AB=CD=17.5cm,AD=BC=12.5cm. 平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差. 归纳 【变式题】如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,平行四边形ABCD的周长是100cm, AOB与 BOC的周长的和是122cm,且AC:DB= 2:1,求AC和BD的长. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AB=CD,OB=OD, ∴AB+BC=50. ∵ AOB与 BOC的周长的和是122cm, ∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122, 即AC+BD=122-50=72. 又∵AC:DB=2:1, ∴AC=48cm,BD=24cm. 例2 如图,平行四边形ABCD中,AC、BD交于O点,点E、F分别是AO、CO的中点,试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论. 解:BE=DF,BE∥DF. 理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∴OE=OF. 在 OFD和 OEB中, OE=OF,∠DOF=∠BOE,OD=OB, ∴ OFD≌ OEB, ∴∠OEB=∠OFD,BE=DF, ∴BE∥DF. 例3 如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E,F.求证:OE=OF. A B C D F E O 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ODF=∠OBE, ∠DFO=∠BEO, ∴ DOF≌ BOE(AAS), ∴AB∥CD, OD=OB, ∴OE=OF. 思考 改变直线EF的位置,OE=OF还成立吗? A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中,OE=OF还成立么? 议一议 同例3易证明OE=OF还成立. 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交,得到线段总相等. 归纳 1.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AD=16,AC=24,BD=12,则 OBC的周长为 ( ) A.26 B.34 C.40 D.52 练一练 B 2.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O, AOB的周长为15,AB=6,则对角线AC、BD的长度的和是 ( ) A.9 B.18 C.27 D.36 B A B C D O 解:∵四边形ABCD是平行四边形, 根据勾股定理得 ∴BC=AD=8,CD=AB=10. 是直角三角形. 又∵OA=OC, 例4 如图,在 ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥ BC. 求BC,CD,AC,OA的长,以及 ABCD的面积. 平行四边形的面积 二 例5 如图,平行四边形ABCD中,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,若平行四边形ABCD的周长为48,DE=5,DF=10,求平行四边形ABCD的面积. 解:设AB=x,则BC=24-x. 根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x), 解得x=16. 则平行四边形ABCD的面积为5 16=80. 已知平行四边形的高DE,DF,根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解. 归纳 问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形,它们的面积有怎样的关系呢? 解:相等.理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵ ADO与 ODC等底同高, ∴S ADO=S ODC. 同理可得S ADO=S ODC=S BCO=S AOB. 还可结合全等来证哟. 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形,且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等. 归纳 A B C D O F E 例6 如图,AC,BD交于点O,EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗? M N 解:设直线EF交AD,BC于点N,M. ∵AD∥BC, ∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO. 又∵AO=CO, ∴ NAO≌ MCO, ∴S四边形ANMB=S NAO+S AOB+S MOB=S MCO+S AOB+S MOB =S AOB+S COB= . ∴S四边形ANMB=S四边形CMND, 即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 典例精析 A B D O E F A B C D O E F C A B C D O E F 思考 如图,AC,BD交于点O,EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗? 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 归纳 同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 1.把一个平行四边形分成3个三角形,已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2,求平行四边形的面积. 解:(9+12) 2 =21 2 =42(cm2) 答:平行四边形的面积是42cm2. 练一练 2.如图,欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井,为了浇水的方便,欢欢建议我们经过水井修小路,一样可以把草地分成面积相等的两部分,同学们,你知道聪明的欢欢是怎么分的吗? B M C D A O 解:如图所示. 当堂练习 1.如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则 ABO的周长是( ) A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 B B C D A O 2.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( ) A.∠ABO=∠CDO B.∠BAD=∠BCD C.AO=CO D.AC⊥BD B C D A O D 3.在 ABCD中,AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( ) A. 24<m<39 B.14<m<62 C.7<m<31 D.7<m<12 B C D A O C 4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于O,EF过点O与AD,BC分别相交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 A D C B F E O C 5.如图,平行四边形ABCD的面积为20,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,CD上的点,且AE=DF,则图中阴影部分的面积为_. 5 6.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3,AD=5,则BD的长是 . 7.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过O作OE⊥BD,交BC于点E.若 CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长是多少? 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,BC=AD,OB=OD. ∵OE⊥BD, ∴BE=DE. ∵ CDE的周长为10, ∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10, ∴平行四边形ABCD的周长为 2 (BC+CD)=20. 8.如图,已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点,AC=24,BD=18,AB=16,求 OCD的周长及AD边的取值范围. 解:由题意得OA=OC=12,OB=OD=9,CD=AB=16, ∴ OCD的周长为12+9+16=37. 在 ACD中,24-16<AD<24+16,∴8<AD<40; 在 ABD中,18-16<AD<18+16,∴2<AD<34; 在 AOD中,12-9<AD<12+9,∴3<AD<21. 综上所述,AD的取值范围应是8<AD<21. 与三角形三边关系结合 能力提升: 课堂小结 平行四 边形对角线的 性质 平行四边形对角线互相平分 两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交,得到线段总相等. 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等. 18.1.2 平行四边形判定 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下(RJ) 教学课件 第1课时 平行四边形的判定(1) 学习目标 1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程,体会 类比思想及探究图形判定的一般思路;(重点) 2.掌握平行四边形的三个判定定理,能根据不同条件 灵活选取适当的判定定理进行推理论证.(难点) 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. A B C D 四边形ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D ABCD A C 问题1 平行四边形的定义是什么?有什么作用? 可以用平行四边形的定义来判定平行四边形,如: 导入新课 复习引入 问题2 除了两组对边分别平行,平行四边形还有哪些性质? 平行四边形的对边相等. 平行四边形的对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 边: 角: 对角线: 思考 我们得到的这些逆命题是否都成立?这节课我们一起探讨一下吧. 问题3 平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么? 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 你能根据平行四边形的定义证明它们吗? 已知: 四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC. 求证: 四边形ABCD是平行四边形. A B C D 连接AC, 在 ABC和 CDA中, AB=CD (已知), BC=DA(已知), AC=CA (公共边), ∴ ABC≌ CDA(SSS) ∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3, ∴AB∥ CD , AD∥ BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 证明: 1 4 2 3 证一证 平行四边形的判定定理: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 归纳总结 几何语言描述: 在四边形ABCD中,∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 例1 如图,在Rt MON中,∠MON=90 .求证: 四边形PONM是平行四边形. 证明:Rt MON中, 由勾股定理得(x-5)2+42=(x-3)2, 解得x=8. ∴PM=11-x=3,ON=x-5=3,MN=x-3=5. ∴PM=ON,OP=MN, ∴四边形PONM是平行四边形. 典例精析 例2 如图,在 ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边 ABD、等边 ACE、等边 BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形. 解:∵ ABD和 FBC都是等边三角形, ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60 , ∴∠DBF=∠ABC. 又∵BD=BA,BF=BC, ∴ ABC≌ DBF(SAS), ∴AC=DF=AE. 同理可证 ABC≌ EFC, ∴AB=EF=AD, ∴四边形DAEF是平行四边形. 如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:在Rt ABC和Rt ACD中, ∵AC=CA,AB=CD, ∴Rt ABC≌Rt CDA(HL), ∴BC=DA. 又∵AB=CD, ∴四边形PONM是平行四边形. 练一练 已知:四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D, 求证:四边形ABCD是平行四边形. A B C D 又∵∠A=∠C,∠B=∠D, ∵∠A+∠C+∠B+∠D=360 , ∴2∠A+2∠B=360 , 即∠A+∠B=180 , ∴ AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 同理得 AB∥ CD, 证明: 证一证 平行四边形的判定定理: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 归纳总结 几何语言描述: 在四边形ABCD中,∵∠A=∠C,∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 例3 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=55 ,∠1=85 ,∠2=40 . (1)求∠D的度数; (2)求证:四边形ABCD是平行四边形. (1)解:∵∠D+∠2+∠1=180 , ∴∠D=180 -∠2-∠1=55 ; (2)证明:∵AB∥DC, ∴∠2=∠CAB, ∴∠DAB=∠1+∠2=125 . ∵∠DCB+∠DAB+∠D+∠B=360 , ∴∠DCB=∠DAB=125 . 又∵∠D=∠B=55 , ∴四边形ABCD是平行四边形. 1.判断下列四边形是否为平行四边形: A D C B 110 70 110 A B C D 120 60 是 不是 练一练 2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件: ∠A:∠B:∠C:∠D的值为 ( ) A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 3:2:3:2 D 如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠,用小钉固定在一起,用橡皮筋连接木条的顶点,做成一个四边形ABCD.转动两根木条,四边形ABCD一直是一个平行四边形吗? B D O A C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 三 猜想:四边形ABCD一直是一个平行四边形. 你能根据平行四边形的定义证明它们吗? 76 A B C D O 已知:四边形ABCD中,OA=OC,OB=OD. 求证:四边 形ABCD是平行四边形. 证明: 在 AOB和 COD中, OA=OC (已知), OB=OD (已知), ∠AOB=∠COD (对顶角相等), ∴ AOB≌ COD(SAS), ∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ ABO=∠CDO, ∴AB∥ CD , AD∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形. 证一证 平行四边形的判定定理: 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 归纳总结 几何语言描述: 在四边形ABCD中,∵AO=CO,DO=BO, ∴四边形ABCD是平行四边形. B O D A C 例4 如图, ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形. B O D A C E F 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF , ∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF. 又∵BO=DO, ∴四边形BFDE是平行四边形. 典例精析 79 【变式题】如图,AC是平行四边形ABCD的一条对角线,BM⊥AC于M,DN⊥AC于N,四边形BMDN是平行四边形吗?说说你的理由. 解:四边形BMDN是平行四边形. 理由如下:连接BD交AC于O. ∵BM⊥AC于M,DN⊥AC于N, ∴∠AND=∠CMB=90 . ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,AO=CO,AD=BC,AD∥BC, ∴∠DAN=∠BCM, ∴ ADN≌ CBM,∴AN=CM, ∴OA-AN=OC-CM,即ON=OM, ∴四边形BMDN是平行四边形. O 拓展探究 昨天李明同学在生物实验室做实验时,不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校,带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全,于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了,可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)? A B C D A B C 方法依据:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 方法一: D A B C 方法依据:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 方法二: D O A B C 方法依据:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 方法三: 1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 ( ) A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分 C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行 2.如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O. 如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_cm, BO=_cm时,四边形ABCD是平行四边形. B O D A C C 4 5 练一练 当堂练习 1.判断对错: (1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) (2)有两条边相等,并且另外的两条边也相等的四边 形一定是平行四边形. ( ) (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( ) (4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四 边形. ( ) (5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行 四边形. ( ) √ √ 2.如图,四边形ABCD的对角线交于点O,下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( ) A.OA=OC,OB=OD B.AB=CD,AO=CO C.AB=CD,AD=BC D.∠BAD=∠BCD,AB∥CD B O D A C B 3.如图,在四边形ABCD中, (1)如果AB∥CD,AD∥BC,那么四边形ABCD是 _. (2)如果∠A:∠B:∠ C:∠D=a:b:a:b(a,b为正 数),那么四边形ABCD是_. (3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_cm, CD=_cm时,四边形ABCD为平行四边形. B D A C 平行四边形 平行四边形 6 4 4.如图,五边形ABCDE是正五边形,连接BD、CE,交于点P. 求证:四边形ABPE是平行四边形. 证明:∵五边形ABCDE是正五边形, ∴正五边形的每个内角的度数是 AB=BC=CD=DE=AE, ∴∠DEC=∠DCE= (180 -108 )=36 , 同理∠CBD=∠CDB=36 , ∴∠ABP=∠AEP=108 -36 =72 , ∴∠BPE=360 -108 -72 -72 =108 =∠A, ∴四边形ABPE是平行四边形. A B C D E P 5.如图,已知E,F,G,H分别是 ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=CG,BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:在平行四边形ABCD中, ∠A=∠C,AD=BC, 又∵BF=DH, ∴AH=CF. 又∵AE=CG, ∴ AEH≌ CGF(SAS), ∴EH=GF. 同理得 BEF≌ DGH(SAS), ∴GH=EF, ∴四边形EFGH是平行四边形. 6.如图,AB、CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E、F分别是OC、OD的中点.求证: (1) AOC≌ BOD; (2)四边形AFBE是平行四边形. 证明:(1)∵AC∥BD, ∴∠C=∠D. 又∵∠COA=∠DOB,AO=BO , ∴ AOC≌ BOD(AAS); (2)∵ AOC≌ BOD, ∴CO=DO. ∵E、F分别是OC、OD的中点, ∴EO=FO. 又∵AO=BO, ∴四边形AFBE是平行四边形. 7.学校买了四棵树,准备栽在花园里,已经栽了三棵(如图),现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形,你觉得第四棵树应该栽在哪里? A1 A3 A2 A B C 课堂小结 平行四边形的判定(1) 定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 18.1.2 平行四边形判定 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下(RJ) 教学课件 第2课时 平行四边形的判定(2) 学习目标 1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定方法.(重点) 2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.(难点) 数学来源于生活,高铁被外媒誉为我国新四大发明之一,我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行,那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢? 情景引入 导入新课 只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了 那这是为什么呢?会不会跟我们学过的平行四边形有关呢? 问题 我们知道,两组对分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边,它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢? 猜想1:一组对边相等的四边形是平行四边形. 讲授新课 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 一 等腰梯形不是平行四边形,因而此猜想错误. 猜想2:一组对边平行的四边形是平行四边形. 梯形的上下底平行,但不是平行四边形,因而此猜想错误. B A 活动 如图,将线段AB向右平移BC长度后得到线段 CD,连接AD,BC,由此你能猜想四边形ABCD的形状吗? D C 四边形ABCD是平行四边形 猜想3:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 你能证明吗? 99 A B C D 证明思路 作对角线构造全等三角形 一组对应边相等 两组对边分别相等 四边形ABCD是平行四边形 如图,在四边形ABCD中,AB=CD且AB∥CD, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证一证 100 A B C D 2 1 证明:连接AC. ∵AB∥CD, ∴∠1=∠2. 在 ABC和 CDA中, AB=CD, AC=CA, ∠1=∠2, ∴ ABC≌ CDA(SAS), ∴BC=DA . 又∵AB= CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 归纳总结 几何语言描述: 在四边形ABCD中,∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 典例精析 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB =CD,EB //FD. 又 ∵EB = AB ,FD = CD, ∴EB =FD . ∴四边形EBFD是平行四边形. 例1 如图 ,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.求证:四边形EBFD是平行四边形. 例2 如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.求证:四边形BFCE是平行四边形. 证明:∵AB=CD, ∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD, 在 ACE和 DBF中, AC=BD ,∠A=∠D, AE=DF , ∴ ACE≌ DBF(SAS), ∴CE=BF,∠ACE=∠DBF, ∴CE∥BF, ∴四边形BFCE是平行四边形. 【变式题】 如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE. (1)求证: ACD≌ CBE; (2)求证:四边形CBED是平行四边形. 证明:(1)∵点C是AB的中点,∴AC=BC. 在 ADC与 CEB中, AD=CE , CD=BE , AC=BC , ∴ ADC≌ CEB(SSS), (2)∵ ADC≌ CEB, ∴∠ACD=∠CBE, ∴CD∥BE. 又∵CD=BE, ∴四边形CBED是平行四边形. 练一练 1.已知四边形ABCD中有四个条件:AB∥CD,AB=CD,BC∥AD,BC=AD,从中任选两个,不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是 ( ) A.AB∥CD,AB=CD B.AB∥CD,BC∥AD C.AB∥CD,BC=AD D.AB=CD,BC=AD C A B C D E F 证明:∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形, ∴AD∥ EF,AD=EF, EF∥ BC, EF=BC. ∴AD∥ BC,AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形,求证:四边形ABCD 是平行四边形. 例3 如图, ABC中,BD平分∠ABC,DF∥BC,EF∥AC,试问BF与CE相等吗?为什么? 解:BF=CE.理由如下: ∵DF∥BC,EF∥AC, ∴四边形FECD是平行四边形,∠FDB=∠DBE, ∴FD=CE. ∵BD平分∠ABC, ∴∠FBD=∠EBD, ∴∠FBD=∠FDB. ∴BF=FD. ∴BF=CE. 平行四边形的性质与判定的综合运用 二 例4 如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.求证:四边形BCED′是平行四边形. 证明:由题意得∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E, ∵DE∥AD′, ∴∠DEA=∠EAD′, ∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA, ∴∠DAD′=∠DED′, ∴四边形DAD′E是平行四边形, ∴DE=AD′. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AB=DC, ∴CE∥D′B,CE=D′B, ∴四边形BCED′是平行四边形. 此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,再结合平行四边形的判定及性质进行解题. 归纳 练一练 1.四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 B O D A C B 2.如图,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,EF,BF,写出图中除 ABCD以外的所有的平行四边形. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∵E,F分别是AB,CD的中点, ∴AE=BF=DE=FC, ∴四边形ADFE是平行四边形,四边形EFCB是平行四边形,四边形BEDF是平行四边形. 当堂练习 1.在 ABCD中,E、F分别在BC、AD上,若想要使四边形AFCE为平行四边形,需添加一个条件,这个条件不可以是 ( ) A.AF=CE B.AE=CF C.∠BAE=∠FCD D.∠BEA=∠FCE B 2. 已知四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,周长为40cm,两邻边的比是3:2,则较大边的长度是( ) A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm C 3.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,HN∥AB,则图中的平行四边形的个数共有_个. 9 4.如图,点E,C在线段BF上,BE=CF,∠B=∠DEF,∠ACB=∠F,求证:四边形ABED为平行四边形. 证明:∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC. 即BC=EF. 又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F, ∴ ABC≌ DEF, ∴AB=DE. ∵∠B=∠DEF, ∴AB∥DE. ∴四边形ABED是平行四边形. 5.如图, ABC中,AB=AC=10,D是BC边上的任意一点,分别作DF∥AB交AC于F,DE∥AC交AB于E,求DE+DF的值. 解:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形, ∴DE=AF. 又∵AB=AC=10, ∴∠B=∠C. ∵DF∥AB, ∴∠CDF=∠B, ∴∠CDF=∠C, ∴DF=CF, ∴DE+DF=AF+FC=AC=10. 6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s). (1)用含t的代数式表示: AP=_; DP=_; BQ=_;CQ=_; tcm (12-t)cm (15-2t)cm 2tcm 能力提升: (2)当t为何值时,四边形APQB是平行四边形? 解:根据题意有AP=tcm,CQ=2tcm, PD=(12-t)cm,BQ=(15-2t)cm. ∵AD∥BC, ∴当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形. ∴t=15-2t, 解得t=5. ∴t=5s时四边形APQB是平行四边形; 解:由AP=tcm,CQ=2tcm, ∵AD=12cm,BC=15cm, ∴PD=AD-AP=12-t, ∵AD∥BC, ∴当PD=QC时,四边形PDCQ是平行四边形. 即12-t=2t, 解得t=4s, ∴当t=4s时,四边形PDCQ是平行四边形. (3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形? 课堂小结 平行四边形的判定(2) 平行四边形的性质与判定的综合运用 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 18.1.2 平行四边形判定 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下(RJ) 教学课件 第3课时 三角形的中位线 学习目标 1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线 定理.(重点) 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(重点) 问题 平行四边形的性质和判定有哪些? 导入新课 复习引入 边: 角: 对角线: B O D A C AB∥CD, AD∥BC AB=CD, AD=BC AB∥CD, AD=BC ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC AO=CO,DO=BO 判定 性质 我们探索平行四边形时,常常转化为三角形,利用三角形的全等性质进行研究,今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧. 思考 如图,有一块三角形蛋糕,准备平分给四个小朋友,要求四人所分的形状大小相同,该怎样分呢? 讲授新课 三角形的中位线定理 一 概念学习 定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. A B C D E 如图,在 ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE.则线段DE就称为 ABC的中位线. 问题1 一个三角形有几条中位线?你能在 ABC中画出它所有的中位线吗? A B C D E F 有三条,如图, ABC的中位线是DE、DF、EF. 问题2 三角形的中位线与中线有什么区别? 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段. 问题3:如图,DE是 ABC的中位线, DE与BC有怎样的关系? D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析: DE与BC的关系 猜想: DE∥BC ? 度量一下你手中的三角形,看看是否有同样的结论?并用文字表述这一结论. 问题4: 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析1: D E 猜想: 三角形的中位线平行于三角形的 第三边且等于第三边的一半. 问题3:如何证明你的猜想? 分析2: D E 互相平分 构造 平行四边形 倍长DE 证明: D E 延长DE到F,使EF=DE. 连接AF、CF、DC . ∵AE=EC,DE=EF , ∴四边形ADCF是平行四边形. F ∴四边形BCFD是平行四边形, ∴CF AD , ∴CF BD , 又∵ , ∴DF BC . ∴ DE∥BC, . 如图,在 ABC中,点D,E分别是AB,AC边的中点, 求证: 证一证 D E 证明: 延长DE到F,使EF=DE. F ∴四边形BCFD是平行四边形. ∴ ADE≌ CFE. ∴∠ADE=∠F 连接FC. ∵∠AED=∠CEF,AE=CE, 证法2: ,AD=CF, ∴BD CF. 又∵ , ∴DF BC . ∴ DE∥BC, . ∴CF AD , 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. D E ABC中,若D、E分别是边AB、AC的中点, 则DE∥BC,DE= BC. 三角形中位线定理: 符号语言: 归纳总结 A B C D E F 重要发现: ①中位线DE、EF、DF把 ABC 分成四个全等的三角形;有三 组共边的平行四边形,它们是 四边形ADFE和BDEF,四边形 BFED和CFDE,四边形ADFE 和DFCE. ②顶点是中点的三角形,我们称之为中点三角形;中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一. 由此你知道怎样分蛋糕了吗 典例精析 例1 如图,在 ABC中,D、E分别为AC、BC的中点,AF平分∠CAB,交DE于点F.若DF=3,求AC的长 解:∵D、E分别为AC、BC的中点, ∴DE∥AB, ∴∠2=∠3. 又∵AF平分∠CAB, ∴∠1=∠3, ∴∠1=∠2, ∴AD=DF=3, ∴AC=2AD=2DF=6. 1 2 3 例2 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、P分别是AD、BC、BD的中点,∠ABD=20 ,∠BDC=70 ,求∠PMN的度数. 解:∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点, ∴PN,PM分别是 CDB与 DAB的中位线, ∴PM= AB,PN= DC,PM∥AB,PN∥DC, ∵AB=CD, ∴PM=PN, ∴ PMN是等腰三角形, ∵PM∥AB,PN∥DC, ∴∠MPD=∠ABD=20 ,∠BPN=∠BDC=70 , ∴∠MPN=∠MPD+(180 −∠NPB)=130 , ∴∠PMN=(180 −130 ) 2 =25 . 例3 如图,在 ABC中,AB=AC,E为AB的中点,在AB的延长线上取一点D,使BD=AB,求证:CD=2CE. 证明:取AC的中点F,连接BF. ∵BD=AB, ∴BF为 ADC的中位线,∴DC=2BF. ∵E为AB的中点,AB=AC, ∴BE=CF,∠ABC=∠ACB. ∵BC=CB,∴ EBC≌ FCB, ∴CE=BF, ∴CD=2CE. F 恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键. 归纳 练一练 1. 如图, ABC中,D、E分别是AB、AC中点. (1) 若DE=5,则BC= . (2) 若∠B=65 ,则∠ADE= . (3) 若DE+BC=12,则BC= . 10 65 8 2.如图,A,B两点被池塘隔开,在A,B外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20m,那么A,B两点间的距离为_m. N M 40 例4 如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 四边形问题 连接对角线 三角形问题 (三角形中位线定理) 三角形的中位线的与平行四边形的综合运用 二 分析: 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴EF∥AC, HG∥AC, ∴四边形EFGH是平行四边形. 顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形. 归纳 【变式题】如图,E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点.求证:四边形EFGH为平行四边形. 证明:如图,连接BD. ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点, ∴EH是 ABD的中位线, FG是 BCD的中位线, ∴EH∥BD且EH= BD, FG∥BD且FG= BD, ∴EH∥FG且EH=FG, ∴四边形EFGH为平行四边形. 证明:∵D、E分别为AB、AC的中点, ∴DE为 ABC的中位线, ∴DE∥ BC,DE= BC. ∵CF= BC, ∴DE=FC; 例5 如图,等边 ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接CD和EF. (1)求证:DE=CF; 例5 如图,等边 ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接CD和EF. (2)求EF的长. 解:∵DE∥FC,DE=FC, ∴四边形DEFC是平行四边形, ∴DC=EF, ∵D为AB的中点,等边 ABC的边长是2, ∴AD=BD=1,CD⊥AB,BC=2, ∴EF=DC= . 练一练 1.如图,在 ABC中,AB=6,AC=10,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形ADEF的周长为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.16 D 2.如图, ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,求 DOE的周长. 解:∵ ABCD的周长为36, ∴BC+CD=18. ∵点E是CD的中点, ∴OE是 BCD的中位线,DE= CD, ∴OE= BC, ∴ DOE的周长为OD+OE+DE= (BD+BC+CD)=15, 即 DOE的周长为15. 当堂练习 2.如图,在 ABCD中,AD=8,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 1.如图,在 ABC中,点E、F分别为AB、AC的中点.若EF的长为2,则BC的长为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 第2题图 第1题图 C C 3.如图,点 D、E、F 分别是 ABC 的三边AB、BC、 AC的中点. (1)若∠ADF=50 ,则∠B= ; (2)已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8, 则 DEF的周长为 . 50 15 A B C D F E 4.在 ABC中,E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点,若AD=3,BC=8,则四边形EFGH的周长是 . A B D C E F G H 11 5.如图,在 ABC中,AB=6cm,AC=10cm,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,BD的延长线交AC于 点F,E为BC的中点,求DE的长. 解:∵AD平分∠BAC,BD⊥AD, ∴AB=AF=6,BD=DF, ∴CF=AC-AF=4, ∵BD=DF,E为BC的中点, ∴DE= CF=2. 6.如图,E为 ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC、BD于点F、G,连接AC交BD于O,连接OF,判断AB与OF的位置关系和大小关系,并证明你的结论. 解:AB∥OF,AB=2OF. 证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC, ∴∠BAF=∠CEF,∠ABF=∠ECF. ∵CE=DC, ∴AB=CE, ∴ ABF≌ ECF(ASA), ∴BF=CF.∵OA=OC, ∴OF是 ABC的中位线, ∴AB∥OF,AB=2OF. 7.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,BD=12,AC=16,E,F分别为AB,CD的中点,求EF的长. 解:取BC边的中点G,连接EG、FG. ∵E,F分别为AB,CD的中点, ∴EG是 ABC的中位线,FG是 BCD的中位线, 又BD=12,AC=16,AC⊥BD, ∴EG=8,FG=6,EG⊥FG, ∴ ∴EG∥AC, FG∥BD, G 课堂小结 三角形的中位线 三角形中位线平行于第三边,并且等于它的一半 三角形的中位线定理 三角形的中位线定理的应用 $$