精品解析：浙江省卓越中职联盟2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2025年1月高二上学期期末考试 浙江省卓越中职联盟 2024学年第一学期2023级期末考试 数学试卷 姓名__________准考证号__________. 2025-01 本试卷共三大题.全卷共4页.满分100分，考试时间90分钟. 注意事项： 1.所有试题均须在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分.在试卷和草稿纸上作答无效. 2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上. 4.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 一､单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的错涂､多涂或未涂均无分. 1. “”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列叙述正确的是（ ） A. 单位向量是相等向量 B. 零向量没有方向 C. 两个相反向量的和为0 D. 相等的两个向量共线 3. 化简（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 在正方体中，直线与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法确定 6. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的离心率，且一个焦点为，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若点在直线上，直线不在平面内，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 以方程的根为离心率的圆锥曲线为（ ） A. 椭圆和双曲线 B. 椭圆和抛物线 C. 双曲线和抛物线 D. 圆和双曲线 11. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 13. 抛物线上一点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（ ） A. 7 B. C. 5 D. 14. 已知球的体积为，则球的半径为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 9 15. 下列说法错误的是（ ） A. 平行于同一直线的两直线平行 B. 垂直于同一直线的两直线平行 C. 两直线没有公共点，则两直线平行或异面 D. 不共线的三点确定一个平面 16. 以边长为2的正方形的一条边为轴旋转一周得到的圆柱侧面积为（ ） A. B. C. D. 17. 渐近线方程为，且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 18. 各棱长为6的正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19. 已知直线，平面，满足，，则直线与的位置关系为__________. 20. 等轴双曲线离心率为___________. 21. 设点为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的周长为__________. 22. 已知两点，且点为线段的中点，则的坐标为__________. 23. 在正方体中，直线与直线所成的角为__________. 24. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是__________. 三､解答题（本大题共6小题，共46分）解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 25. 已知向量，求： （1）； （2）. 26. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，求： （1）椭圆的标准方程； （2）椭圆的长轴长和离心率. 27. 如图所示，已知直三棱柱的底面为等边三角形，底面边长为2，侧棱长为3. （1）求直三棱柱的表面积； （2）设是的中点，求直线与平面所成角的正切值. 28. 已知抛物线以直线与轴的交点为焦点，顶点为坐标原点，该直线与抛物线相交于两点，求： （1）抛物线方程； （2）弦长. 29. 如图所示，已知底面是正方形，底面，且，求： （1）二面角的大小； （2）点到平面的距离. 30. 已知双曲线经过点，其离心率为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于两点，且点为的中点，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年1月高二上学期期末考试 浙江省卓越中职联盟 2024学年第一学期2023级期末考试 数学试卷 姓名__________准考证号__________. 2025-01 本试卷共三大题.全卷共4页.满分100分，考试时间90分钟. 注意事项： 1.所有试题均须在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分.在试卷和草稿纸上作答无效. 2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上. 4.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 一､单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的错涂､多涂或未涂均无分. 1. “”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可求解. 【详解】因为“” “”，满足充分性， “” “”，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 下列叙述正确的是（ ） A. 单位向量是相等向量 B. 零向量没有方向 C. 两个相反向量的和为0 D. 相等的两个向量共线 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念即可求解. 【详解】由向量的定义，单位向量是模为1的向量，相等向量不仅模相等，还要方向相同，故A错误； 零向量是模为0，方向任意的，故B错误； 相反向量是模相等，方向相反的向量，和为零向量，故C错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，相等向量不仅模相等，还要方向相同，故相等向量共线，故D正确. 故选：D. 3. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 4. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量平行的坐标表示列出方程即可得解. 【详解】因为向量，且，则. 故选：D. 5. 在正方体中，直线与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可证明四边形为平行四边形，据此即可求出两直线平行. 【详解】 观察图形，在正方体中， 直线与直线平行且相等，所以四边形为平行四边形， 故直线与直线平行， 故选：B 6. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程得出焦点位置，求出值即可得解. 【详解】由椭圆方程可知焦点在轴上， 且，则，所以焦点坐标为， 故选：B. 7. 已知椭圆的离心率，且一个焦点为，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出值代入离心率公式求出值，结合求出即可得解. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，则， 离心率，又， 焦点在轴上，所以椭圆方程为. 故选：A. 8. 若点在直线上，直线不在平面内，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线面关系的符号表示即可解得. 【详解】由题，点在直线上可表示为， 直线不在平面内可表示为， 故选：C. 9. 双曲线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程得到顶点在轴上，求出值即可得解. 【详解】由双曲线方程可知顶点在轴上，， 所以顶点坐标为. 故选：. 10. 以方程的根为离心率的圆锥曲线为（ ） A. 椭圆和双曲线 B. 椭圆和抛物线 C. 双曲线和抛物线 D. 圆和双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据每个圆锥曲线离心率的特点，即可选出正确答案. 【详解】方程， 两根为， 椭圆的离心率是0到1之间的数，双曲线的离心率是大于1的数，抛物线的离心率等于1，圆的离心率等于0， 据此可知，以两根为离心率的圆锥曲线为椭圆和双曲线. 故选：A. 11. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标与位置确定值即可得解. 【详解】由抛物线焦点坐标可知抛物线方程为， 焦点为，所以，解得，则抛物线方程为. 故选：C. 12. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的准线方程为 ，即可求得抛物线的准线方程． 【详解】由题知 ， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C 13. 抛物线上一点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（ ） A. 7 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线定义可知，抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离， 已知抛物线方程，准线方程为， 设点的横坐标为， 则. 故选：D. 14. 已知球的体积为，则球的半径为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】代入球的体积公式即可得解. 【详解】设球的半径为， 由球的体积为，得. 故选：C. 15. 下列说法错误的是（ ） A. 平行于同一直线的两直线平行 B. 垂直于同一直线的两直线平行 C. 两直线没有公共点，则两直线平行或异面 D. 不共线的三点确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系及平面的性质即可得解. 【详解】选项，平行于同一直线的两直线平行，正确； 选项，由空间两直线位置关系可知垂直于同一直线的两直线可以是相交直线，可以是平行直线，也可以是异面直线，故错误； 选项，两直线没有公共点，则两直线平行或异面，正确； 选项，不共线的三点确定一个平面，正确. 故选：B. 16. 以边长为2的正方形的一条边为轴旋转一周得到的圆柱侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到圆柱的底面半径和高，代入圆柱侧面积公式即可得解. 【详解】以边长为2的正方形的一条边为轴旋转一周得到底面半径为，高为的圆柱， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D. 17. 渐近线方程为，且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程设出双曲线方程，将点代入即可得解. 【详解】由渐近线方程为，则可设双曲线方程为， 代入点，得， 所以双曲线方程为. 故选：B. 18. 各棱长为6的正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图像，结合正四面体的性质及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示，作出正四面体， 过点作的垂线交于点， 过点作正四面体的高交平面于点， 则点O为底面的中心， 由题意可知，底面是边长为6的等边三角形， 所以高， 则由重心的性质可得， 棱锥的高. 故选：C. 二､填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19. 已知直线，平面，满足，，则直线与的位置关系为__________. 【答案】平行、相交或异面 【解析】 【分析】作出长方体，根据长方体的性质结合线线的位置关系即可得解. 【详解】如图所示，画出长方体，令平面所在的平面为， 当所在的直线为，所在的直线为时，满足满足，，此时直线与的位置关系为相交； 当所在的直线为，所在的直线为时，满足满足，，此时直线与的位置关系为平行； 取中点为，中点，连接，， 又平面，平面，则//平面， 当所在的直线为，所在的直线为时，满足满足，，此时直线与的位置关系为异面. 故答案为：平行、相交或异面. 20. 等轴双曲线离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率的概念和等轴双曲线的特点进行求解. 【详解】等轴双曲线的一般方程为或者， 此时，. 所以，离心率. 故答案为：. 21. 设点为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的周长为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】已知椭圆方程， 则， 根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于， ， 则的周长. 故答案为：12. 22. 已知两点，且点为线段的中点，则的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求出点坐标，结合向量的坐标表示即可得解. 【详解】 是的中点，点坐标为， . 故答案为：. 23. 在正方体中，直线与直线所成的角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再确定直线与直线所成的角的平面角即可得解. 【详解】 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又因为，且， 平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以直线与直线所成的角为. 故答案为： 24. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特点列出不等式组即可得解. 【详解】由已知得，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 三､解答题（本大题共6小题，共46分）解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 25. 已知向量，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标的数乘运算和减法运算即可解得. （2）根据向量坐标的加法运算和模的坐标表示即可解得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， . 26. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，求： （1）椭圆的标准方程； （2）椭圆的长轴长和离心率. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据焦距和椭圆的定义求出即可解得. （2）根据椭圆长轴的定义和椭圆的离心率公式即可解得. 【小问1详解】 由已知得， ， 焦点在轴上，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆的长轴长为， 又知，则离心率为. 27. 如图所示，已知直三棱柱的底面为等边三角形，底面边长为2，侧棱长为3. （1）求直三棱柱的表面积； （2）设是的中点，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据棱柱的表面积公式即可得解. （）根据线面角的定义找到直线与平面所成角即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，侧面积为， 底面为边长是2的等边三角形，其高为， 底面积为， . 【小问2详解】 如图所示，连接， 直三棱柱的底面为等边三角形， 三棱柱为正三棱柱， 侧棱底面，为在平面上的射影， 为与平面所成的角， 为等边三角形，为的中点，， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为. 28. 已知抛物线以直线与轴的交点为焦点，顶点为坐标原点，该直线与抛物线相交于两点，求： （1）抛物线方程； （2）弦长. 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出抛物线焦点，即可求出抛物线方程； （2）先将两方程联立，再根据弦长公式即可求解. 【小问1详解】 已知直线， 令， 所以直线与轴的交点为， 因此抛物线的焦点为， 由于抛物线顶点为坐标原点， 所以抛物线标准形式为：，且， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设， 联立方程组，得， 则， 所以弦长. 29. 如图所示，已知底面是正方形，底面，且，求： （1）二面角的大小； （2）点到平面的距离. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先找到二面角的平面角，进而求解； （2）根据线面垂直的判定定理即可求解. 【小问1详解】 因为底面，平面， 所以， 因为底面是正方形， 所以， 又因为，平面，平面， 所以面， 因为平面，则, 所以为二面角的平面角， 在中，， 为三角形的内角， ， 即二面角的大小为. 【小问2详解】 如图所示，连接与交于点， 因为底面，平面， 所以 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方形的边长为， 则 即点到平面的距离为. 30. 已知双曲线经过点，其离心率为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于两点，且点为的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线上的点求出，再代入已知离心率，根据双曲线之间的关系即可解得. （2）设出交点坐标，根据中点坐标列出等式再代入双曲线方程，结合直线的点斜式方程即可解得. 【小问1详解】 双曲线经过点，，且焦点在x轴， ， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，点为的中点， ， 两点在双曲线上，， 两式相减整理得， ，即直线的斜率为2， 由点斜式方程可得， 即直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $