5.3 一元一次方程的应用 知识清单 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

5.3 一元一次方程的应用 · 列一元一次方程解应用题的步骤 (1)审题：弄清题意及题中的数量关系 (2)设元：用字母设出未知数 (3)列方程：根据题意，找到等量关系，列方程 (4)解方程：求方程的解 (5)检验：检验所求的方程的解是否符合题意 (6)作答. 考点1: 形积变化问题 常见变化 内容详解 周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题 面积不变 图形的形状发生变化，但是面积不改变，运用平移往往可以解决问题，变化前后的面积相等是列方程的关键 体积不变 几何体形状发生变化，但变化前后的体积不变(相等)，可以根据体积不变列方程 (1)列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量； (2)设未知数时多将图形的长、宽、半径等设为未知数； (3)列方程时要注意所有单位要统一. · 几何图形中常用的体积公式 体积公式 图形 体积 长方体 正方体 圆柱 圆锥 · 几何图形中常用的周长、面积公式 面积周长公式 图形 周长 面积 长方形 正方形 圆 三角形 平行四边形 练习1. 1. 在一个底面直径为5厘米，高为18厘米的圆柱形玻璃瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6厘米，高为13厘米的圆柱形杯子中. (1)能否装满圆柱形杯子?为什么? (2)若装不下，那么瓶内的水还有多高?若未能装满，求杯内水面离杯口的距离. 2. 如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条（阴影部分）后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为　　cm2． 3. 如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积为 4. 如图，一圆柱形容器的底面半径为0.5m，高为1.5m，里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，则容器内水面将升高 m。 5. 如图所示是用铁丝围成的一个梯形(单位：cm)，将其改成一个长和宽的比为2：1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少? 考点2: 分配问题 (1)解决分配问题，首先需要找到分配的对象总量，设其中一部分为x，则剩下的另一部分可根据两部分之间的关系用含x的式子表示，再根据题干中的另一等量关系列方程； (2)在配套问题中需要根据匹配的数量来确定等量关系. 如：若m件甲产品与n件乙产品配套，则等量关系为甲产品的数量×n＝乙产品的数量×m. · 配套问题的特点是“几个A配几个B”或“某个部件由几个A和几个B组成”等，题目中的配套关系是列方程时的一个等量关系，审题时，要注意对题目中“恰好”“最多”等关键词的理解 练习2. 1. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何? 其大意为：若3 个人乘一辆车，则空2 辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车的辆数。甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是 ( ) 甲：设车的辆数为x，可列方程为3(x－2)＝2x＋9。 乙：设人数为y，可列方程为 A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 2. 某车间28名工人生产螺栓和螺母,螺栓与螺母个数比为1∶2刚好配套,每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个,求多少人生产螺栓.设有x名工人生产螺栓,其余人生产螺母.依题意列方程为 3. 某服装厂计划若干天完成一批订单任务，如果平均每天生产16套服装，那么就比订单任务少生产80套；如果平均每天生产20套服装，那么就比订单任务多生产20套，该服装厂原计划多少天完成订单任务？ 4. 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人(其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人)准备统一购买服装参加演出.下面是某服装厂给出的演出服装的价格表. 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装一共应付5 000元. (1)甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出? (2)如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案. 5. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房。 (1)该店有客房多少间? 房客有多少人? (2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加。每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4 人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠。若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算? 请写出你作出这种决策的理由。 考点3: 工程问题 (1)工程问题的基本量：工作量、工作效率、工作时间 (2)工程问题的基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间 (3)合作的工作效率＝各单独做的工作效率之和 练习3. 1. 某项工作甲单独做 4 天完成，乙单独做 6 天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，乙工作的天数为________，由此可列出方程________________． 2. 某项工作，甲单独做完需4小时，乙单独做完需6小时，甲先单独做30分钟，然后甲、乙合作，问甲、乙合作还需多少小时才能完成全部工作? 3. 整理一批数据，由一人做需要40h完成。现在计划先由一些人做2h，再增加3人做4h，共完成这项工作 ，则先安排多少人工作？ 考点4: 行程问题 相遇问题：（合走的路程＝时间×速度和） 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离; 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长 追及问题：（追及的路程＝时间×速度差） 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程－慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程－慢者路程＝环形的一周长 顺逆流往返航行问题： 顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度；速度×时间＝路程 练习4. 1. A，B两地相距18 千米。甲、乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，在途中的C地相遇，相遇时甲骑行的时间比乙骑行的时间的3 倍还多4分钟。甲骑车的速度是每分钟360 米，乙骑车的速度是每分钟300米，求甲骑行的距离。 2. 如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为5，1，-7。点A，B，C在数轴上分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向右做匀速运动，设运动的时间为t秒，当点B恰为线段AC 的中点时，则t的值为多少？。 3. 一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要 5 小时 30 分，逆风需要 6 小时，已知风速为每小时 20 千米，则无风时飞机的速度为 千米/时． 4. 一艘船从甲码头到乙码头顺流航行，用了3.2h，从乙码头返回甲码头逆流航行，用了4.8h，已知水流的速度为3km/h，求这艘船在静水中的速度． 5. 某桥长 1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了 50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度． 6. 列方程解应用题：甲、乙两站相距448千米，一列慢车从甲站出发开往乙站，速度为60千米/时;一列快车从乙站出发开往甲站，速度为100千米/时. (1)两车同时出发，出发多少小时后相遇? (2)慢车先出发32分钟，快车开出多少小时后两车相距48千米? 7. 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400m，乙每秒跑6 m，甲每秒跑4 m。 (1)若甲、乙两人在跑道上同时同地反向出发，则经过多少秒两人首次相遇? (2)若甲、乙两人在跑道上同时同地同向出发，则经过多少秒两人首次相遇? 8. 已知甲乙两人在一个 200 米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的 4 段，即两条直道和两条弯道的长度相同.甲平均每秒跑 4 米，乙平均每秒跑 6 米，若甲乙两人分别从A、C 两处同时相向出发（如图），则：（1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置. （2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？ （3）他们第 100 次相遇时，在哪一段跑道上？ 考点5: 销售问题 成本：即进价，商店进货时商品的价格； 标价：商品出售时所标明的价格； 售价：商品出售时的实际价格； 利润率：商品利润与成本的百分比 常用关系式： 1.利润＝商品售价－商品成本； 2.利润率＝ ×100%； 3.打a折销售时，售价＝标价×a 练习5. 1. 某商场为减少库存积压，以每件120元的价格出售两件夹克上衣，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中商场是盈利还是亏损?请求出盈利或者亏损的钱数. 2. 某商品的进价为 1500 元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润为20%，则此商品是按几折销售的？（结果精确到 0.1） 3. 某中学到商店购买足球和排球，购买足球40个，排球30个共花费4000元，已知购买一个足球比购买一个排球多花30元． （1）求购买一个足球和一个排球各需多少元？ （2）学校决定第二次购买足球和排球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，一个足球售价比第一次购买时提高了10%，一个排球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校第二次购买足球和排球的总费用是第一次购买总费用的86%，求学校第二次购买排球多少个？ 4. 某牛奶加工厂有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元，制成酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获利润 2000 元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片每天可加工 1 吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案 1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案 2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么? 5. 现有甲、乙两种金属的合金 10kg，如果加入甲种金属若干，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占 2 份，甲种金属占 3 份，如果加入的甲种金属是第一次加入的 2 倍，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占 3 份，甲种金属占 7 份，第一次加入的甲种金属多少？原来这块合金中甲种金属的百分比是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$