7.3 定义、命题、定理（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解定义、命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论. 2. 会判断真、假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用. 情景导入 在中国古代数学的发展历程中，刘徽有着举足轻重的地位. 在《九章算术》的注释中，他对正负数给出了清晰的定义和解释. 刘徽是这样定义正负数的：“今两算得失相反，要令正负以名之.” 意思是当两种数量具有相反的意义时，就分别用正数和负数来命名它们.他还规定了用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数（或者用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数）. 在方程术的应用中，正负数的定义更是发挥了关键作用. 刘徽与 “正负数” 定义 新知探究 前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描 述．例如： （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； （2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解； （3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个 角的平分线； （4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离． 这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断．例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度； 根据方程的解的定义，可以判断是方程的解． 容易判断，前4个语句都是正确的，第5个语句是错误的．像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误 （或假）的命题叫作假命题． 我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如： （1）等式两边加同一个数，结果仍相等； （2）对顶角相等； （3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （4）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除． 新知探究 由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的．例如，命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是正确的，命题 “如果两个角互补，那么它们是邻补角”是错误的． 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出来，从而将它们写成 “如果……那么……”的形式．例如，命题 “对顶角相等”可以写成 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时 “如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．例如，在上面的命题（3）中， “两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论. 新知探究 例题讲解 下列语句中，是定义的是（ ） A. 点 A 到点 B 的距离是 3 cm B. 两直线平行，同位角相等 C. 直角都相等 D. 可以写成分数形式的数称为有理数 D 补充例题 例1 例题讲解 补充例题 例2 判断下列命题是真命题还是假命题 . (1)两个钝角的和一定大于 180°； (2)异号两数相加和为零； (3)若 a=b，则 a2=b2. (4)同旁内角互补 . 真命题 假命题 真命题 假命题 例题讲解 补充例题 例3 写出下列命题的题设和结论 . (1)如果 a2=b2，那么 a=b； (2)同旁内角互补，两直线平行； (3)同角或等角的补角相等； (4)过两点有且只有一条直线 . 解：(1)题设： a 2=b 2；结论： a=b. (2)题设：同旁内角互补；结论：两直线平行 . (3)题设：两个角是同角或等角的补角；结论：这两个角相等； (4）题设：经过两点作直线；结论：有且只有一条直线 . 课堂练习 1. 举出一些学过的定义的例子. 2. 举出一些学过的真命题的例子. 3.指出下列命题的题设和结论： （1）若a=b，则5a=5b； （2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°； （3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3； （4）两直线平行，同位角相等. 题设 题设 题设 题设 结论 结论 结论 结论 在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题．其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等．还有一些命题，如 “对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”， 它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理．定理也可以作为继续推理的依据． 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.下面以证明命题 “在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明． 例题讲解 课本例题 例 如图，已知直线a⊥b，b∥ c ，求证a⊥c． a b c 1 2 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1=90º （垂直的定义）. ∵ b∥ c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=90º（等式的基本事实）. ∴ a⊥c（垂直的定义）. 由例题可以看出，证明中的每一步推理都要有根据，不能 “想当然”． 这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等． 判断一个命题是错误的，只要举出一个例子 （反例）， 它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 例如，要判定命题 “相等的角是对顶角” 是错误的， 可以举出如下反例： 在图中，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2， 但它们不是对顶角． 1 2 A O C B 例题讲解 补充例题 例4 说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，可以举反例 . 下列表述，不符合举反例要求的是（　　） A. 设这个角是 45°，它的余角是 45°，但 45° =45°，即一个角的余角不大于这个角 B. 设这个角是 30°，它的余角是 60°，但 30°＜ 60°，即一个角的余角不大于这个角 C. 设这个角是 60°，它的余角是 30°，但 30°＜ 60°，即一个角的余角不大于这个角 D. 设这个角是 50°，它的余角是 40°，但 40°＜ 50°，即一个角的余角不大于这个角 解：A. 所设的角与它的余角相等，不符合原结论，符合反例要求，故 A 选项不符合题意； B. 所设的角小于它的余角，和原结论相同，不符合反例要求，故 B 选项符合题意； C. 所设的角大于它的余角，不符合原结论，符合反例要求，故 C选项不符合题意； D. 所设的角大于它的余角，不符合原结论，符合反例要求，故 D 选项不符合题意 . B 知识归纳 判断命题的真假： 真命题——可以用推理的方法 假命题——可以举反例来说明 反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子. 正确的命题就是真命题； 错误的命题就是假命题. 证明的一般步骤： (1)审题，分清命题的题设和结论； (2) 如果与图形有关，要根据题意画图，结合图形写出已知和求证； (3)分析因果关系，找出证明途径； (4)有条理地写出证明过程 . 课堂练习 1.在下面的括号内，填上推理的根据. 如图，∠A +∠B=180°，求证∠C +∠D=180°. 证明：∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥ BC（_________________________）， ∴∠C+∠D=180°（_________________________）. 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 2. 命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例. 解：不正确. 如图，∠1和∠2是同位角， 但它们不相等． 分层练习 基础题 1.下列语句中，是定义的是( ) D A.点到点的距高是 B.两直线平行，同位角相等 C.直角都相等 D.两边相等的三角形是等腰三角形 2.下列语句是命题的是( ) C A.作直线的垂线 B.在线段上取点 C.同旁内角互补 D.垂线段最短吗 3.命题“邻补角的和为 ”的题设是( ) C A.两个角的和是B.和为 的两个角为邻补角 C.两个角是邻补角 D.邻补角的和是 4. 下列句子中，是定义的是( ) A A. 在正数前面加上符号“-”的数是负数 B. ， 两条直线平行吗 C. 画一个角等于已知角 D. 过一点画已知直线的垂线 5. 命题“对顶角相等”是( ) D A. 角的定义 B. 假命题 C. 基本事实 D. 定理 6. [2024襄阳月考] 可以说明“两个负数， 之差是负数”是假 命题的一个反例是( ) C A. ， B. ， C. ， D. ， 7.将“相等的角是对顶角”写成“如果……那么……”的形式： ______________________________________. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 8.下列命题中，是真命题的是( ) D A.相等的角是对顶角 B.同位角相等 C.互补的两个角为邻补角 D.同角的余角相等 9. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角” 是假命题的是( ) A A. ，B. ， C. ，D. ， 10. 判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，请举出一个反例. （1）两个钝角的和一定大于 ； 【解】是真命题. （2）异号两数相加和为零； 是假命题.反例： . （3）整数一定是有理数. 是真命题. 11. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，指出它们的题设和 结论，并判断其真假. （1）有理数一定是自然数； 解：如果一个数是有理数,那么它一定是自然数. 题设：一个数是有理数.结论：这个数一定是自然数.该命题为假命题. （2）两个负数之和仍为负数； 解：如果两个数是负数,那么这两个数之和仍为负数. 题设：两个数是负数.结论：这两个数之和仍为负数.该命题为真命题. （3）等角的余角相等. 解：如果两个角是等角的余角,那么这两个角相等. 题设：两个角是等角的余角.结论：这两个角相等.该命题为真命题. 12. 把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，， ， 是 的平分线.求证： . 等量代换 证明：是 的平分线， _________（角平分线的定义）. 又 ， （__________）. _________（________________________）. （___________________________）. 又 ， _________（同角的补角相等）. （________________________）. 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 同位角相等，两直线平行 综合应用题 13. 下列能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是 ( ) A A. B. C. D. 14.能说明“锐角 、锐角 的和是锐角”是假命题的例证图是( ) C A. B. C. D. 15. [2024北京四中期中] 下列五个命题： ①对顶角相等； ②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角； ③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离； ⑤内错角相等，两直线平行. 其中真命题的个数是 ( ) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 16. 在学习了命题后，七年级（3）班举行了一场知识竞赛，在 “快问快答”环节，小舟选中的一道题目是这样的：“请举一个例子说明 命题‘若，则是假命题.”小舟的回答是“， ”. 你认为主持人接下来会对小舟说的是( ) D A.“回答正确，加10分.” B.“回答错误，例子可以是， .” C.“回答错误，例子可以是， .” D.“回答错误，例子可以是， .” 17. 已知三条不同的直线,, 在同一平面内，下列四个命题， 是假命题的有( ) ①如果,,那么 ; ②如果,,那么 ; ③如果,,那么 ; ④如果,,那么 . A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】①如果,,那么 ,正确，是真命题； ②如果,,那么,正确，是真命题； ③如果, ,那么,③错误，是假命题； ④如果,,那么 ,正确，是真命题. 18. 在同一平面内有三条不重合的直线，， ，有下列四个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么 ； ③如果，，那么； ④如果，，那么 . 其中真命题是________.（填序号） ①②④ 19.判断下列语句是不是命题,若是命题,判断其真假;若是假命题,请举出一个反例. （1）若，则 ； 解：是命题，是假命题.反例：当时， ，但不满足 .（反例不唯一） （2）过线段的中点画这条线段的垂线; 解：不是命题. （3）互为相反数的两数的商是 ; 解：是命题,是假命题.反例:0和0互为相反数,但它们的商不存在. （4）若 , ,则 . 解：是命题,是假命题. 反例:如图, , ,则 ， 即与 不垂直. 20. 如图，现有以下三个论断：；； . 请以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题. （1）你能构造几个命题，分别是哪几个? 【解】能构造3个命题，分别如下：命题1：由①②，得到③; 命题2：由①③，得到②;命题3：由②③，得到①. （2）你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个 真命题加以证明. 【解】构造的3个命题都是真命题. （选择其一证明即可）命题1.证明： ， . 又， . . 命题2.证明：， . ， . . 命题3.证明： ， . 又， . 创新拓展题 21. 如图，，被所截， ， 被所截.请你从以下三个条件： ; ; 中选出两个作为题设， 另一个作为结论，得出一个正确的命题. （1）请按照“如果 ，那么……”的形式，写出所有正确的命题； 解：.如果,,那么 . .如果,,那么 . .如果,,那么 . （2）在（1）的命题中选择一个加以证明，写出推理过程. 解：选择命题 . 证明：, . , . ,即 .（答案不唯一） 习题 复习巩固 1.下列语句哪些是命题？哪些是真命题？ （1）如果a=b，b=c，那么a=c； （2）等角的补角相等； （3）过一点做直线l 的垂线； （4）两个锐角的和是钝角. 是 真命题 是 真命题 不是 是 假命题 2. 如图，用符号表示下列推理过程： （1）因为∠1 和∠2 相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以 AB 和 EF 平行； （2）因为 DE 和 BC 平行，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1 =∠B，∠3 =∠C. 解：（1）∵∠1 =∠2，∴AB∥ EF（内错角相等，两直线平行）. （2）∵DE∥ BC，∴∠1 =∠B，∠3 =∠C（两直线平行，同位角相等）. 综合运用 3. 完成下面的证明. （1）如图（1），AB∥ CD，BC∥ ED. 求证∠B +∠D = 180°. 证明：∵AB∥ CD， ∴∠B =_______（ ）. ∵BC∥ ED， ∴∠C +∠D = 180°（ ）. ∴∠B +∠D = 180°. （1） ∠C 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 （2）如图（2），∠ABC =∠A′B′C′，BD，B′D′ 分别是∠ABC，∠A′B′C′ 的平分线. 求证∠1=∠2. 证明：∵BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线， ∴∠1= ∠ABC，∠2=________ （ ）. 又∠ABC=∠A′B′C′， ∴ ∠ABC = ∠A′B′C′. ∴∠1=∠2（ ）. （2） 等量代换 角平分线的定义 ∠A′B′C′ 拓广探索 4.如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，EG和FH平行吗？为什么？ 解：∵AB∥ CD， ∴∠AEF=∠EFD （两直线平行，内错角相等）. 又EG平分∠AEF，FH平分∠EFD， ∴∠GEF= ∠AEF，∠EFH= ∠EFD （角平分线的定义）. ∴∠GEF=∠HFE，∴EG∥ FH（内错角相等，两直线平行）. 课堂小结 命题 定义 结构 分类 题设 结论 真命题 假命题 判断一件事情的语句 已知事项 由已知事项推出的事项 形式 如果……那么…… 定理 举反例 证明 $$