5.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质（教学课件）数学湘教版必修第一册

5.4 函数的图象 与性质 第5章 三角函数 情境引入 在现实世界中，周期现象比比皆是.例如，在物理和工程技术中，为了表示交流电的电流与时间的关系，简谐振动中位移与时间的关系等，人们往往用形 如(其中，，是常数)的函数来表示. 例如，简谐振动中(如下图)，弹簧下面悬挂着的小球在位置处于平衡状态.将小球竖直向下拉到某个位置，然后放开，小球就在平衡位置的附近往复运动. 情境引入 为了描述小球的坐标位置(又称位移)随着时间的变化图象，我们在小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图象，如下图. 新知探索 我们还可以借助传感器和计算机描绘小球振动的图象，如下图所示. 观察上图可以发现，这与我们熟悉的正弦曲线很相似.思考数与函数 之间有哪些关系呢？显然，前者就是后者在 时的特殊情况.下面，我们来探索函数的图象，并分析参数 ，对的图象的影响. 例析 例 1 在同一直角坐标系中画出，，在上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系. 解 函数，，的周期都是，在上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如下图. 这三个函数的奇偶性、单调区间是一样的吗？ ? 新知探索 观察图象，可以看出： 的图象可以由的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以(到轴的距离放大到原来的倍)得到.因而的周期仍是，最大值和最小值分别变为和，值域变成了，也就是说“振动幅度”扩大到的倍. 新知探索 类似地，的图象可以由的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以(到轴的距离缩短到原来的)得到.因而的周期仍是，最大值和最小值分别变为和，值域变为，“振动幅度”缩小为的倍. 新知探索 一般地，对任意且，函数的图象可以由的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以得到.的周期仍是，值域为，最大值和最小值分别为和. 这个结论可以推广到余弦函数的情况吗？为什么？ ? 例析 例 2 在同一直角坐标系中画出，，在上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系. 解 通过“五点法”作出函数，，在上的简图，如下图. 新知探索 观察图象，可以看出： 的图象可以由的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标除以(到轴的距离缩短到原来的)得到.因而的值域、最大值、最小值都与相同，周期缩短为. 新知探索 的图象可以由的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标除以(到轴的距离扩大到原来的倍)得到.因而的值域、最大值、最小值都与相同，周期扩大为. 新知探索 一般地，对任意且，函数的图象可以由的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标伸长或缩短为原来的而得到.的值域为，周期为. 这个结论可以推广到余弦函数的情况吗？为什么？ ? 例析 例 3 作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并说明的图象是由函数的图象经过怎样的变化而得出的. 解 函数的周期为，在上求出函数图象上的五个关键点，列表如下： 例析 描点，连线，作出函数，的大致图象，如图所示. 例析 从图中可以看出，函数的图象可以用下面的方法得到：先把函数的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点的横坐标不变、纵坐标伸长到原来的倍，即得到函数的图象. 例析 例 4 在同一直角坐标系中画出在一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系. 解 通过“五点法”画出函数，，在一个周期内的简图，如图. 例析 观察上图，可以发现： 的图象可以由的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标减去得到，也就是将的图象向左平移个单位长度得到. 的图象可以由的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标加上得到，也就是将的图象向右平移个单位长度得到. 新知探索 一般地，，常数的图象可以由的图象向左(当)或向右(当)平移个单位长度得到. 这个结论可以推广到余弦函数的情况吗？为什么？ ? 例析 例 5 画出函数的图象，并求出这个函数的周期和值域. 解(方法一) 函数的周期，我们先用“五点法”作出它在一个周期内的图象. 令，得，把作为第一点的横坐标，依次递加一个周期的，即，就可以得到其余四个点的横坐标.列表如下： 例析 作出函数在上的简图，并左右连续地平移，就可以得到这个函数的图象，如下图所示. 函数的值域为. 例析 例 5 画出函数的图象，并求出这个函数的周期和值域. 解(方法二) 先作出函数的图象，将正弦曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，值域仍为，周期仍为. 再将的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，这个函数的值域仍为，周期变成了. 例析 将函数的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标扩大为原来的倍，就得到函数的图象，如图. 函数的周期为，值域为. 新知探索 一般地，设，，是常数，函数的图象可经以下步骤得到： 将正弦曲线向左(当)或向右(当)平移个单位长度； 再将所得曲线上每一点的横坐标伸长()或缩短()为原来的(纵坐标不变)； 进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大()或缩小()为原来的倍(横坐标不变). 函数的值域为，周期为. 新知探索 现在，我们回过头来重新审视本节开头提到的简谐振动的图象(如图).数学上可以证明，这些图象所对应的函数解析式为的形式，而式子中的参数在物理学中有明确的意义.例如简谐振动中，表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅. 若表示时间()，则这个简谐振动的周期是，而表示单位时间内往复振动的次数，称为频率.称为相位.时的相位称为初相. 例析 例 6 下图为某简谐振动的图象，试根据图象回答问题： (1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相； (2)求时，振子相对于平衡位置的位移； (3)写出这个简谐振动的函数解析式. 解(1) 从图象上可以看出，这个简谐振动的振幅为，周期为， 频率为，初相为. (2)由于振动的周期为，因此当时，位移为. 例析 例 6 下图为某简谐振动的图象，试根据图象回答问题： (1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相； (2)求时，振子相对于平衡位置的位移； (3)写出这个简谐振动的函数解析式. (3) 设这个简谐振动的函数解析式为，. 由，得. 又，，于是该简谐振动得函数解析式为，. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)函数的图象及性质； (2)图象变换. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P186的练习1、2题，课本P190的练习1——3题. 谢谢学习 Thank you for learning $$