第04讲 一元二次方程的解法（5个知识清单+6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第04讲 一元二次方程的解法 课程标准 学习目标 1直接开平方法 2配方法 3公式法 4因式分解法 5换元法解一元二次方程 1.学会用直接开平方法解形如的一元二次方程；(重点) 2.理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程.(难点) 3.理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点) 4.会用公式法解一元二次方程；(重点) 5.理解并掌握用因式分解法解方程的依据：(难点) 6.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点) 知识点01直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【即学即练1】 1．（2024春•合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 【即学即练2】 2．（2024春•大观区校级期末）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　　． 知识点02配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【即学即练1】 3．（2024春•蒙城县校级月考）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，变形正确的是（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x+2）2＝1 D．（x+4）2＝1 【即学即练2】 4．（2024春•淮北期末）解方程：x2﹣12x＝﹣32． 知识点03公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【即学即练1】 5．（包河区期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 6．（2024春•金安区校级期末）已知代数式x（2x+4）与代数式x+2的值相等，求x的值． 知识点04因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【即学即练1】 7．（2024春•利辛县月考）解方程（5﹣x）2＝7（x﹣5），选择相对合适的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【即学即练2】 8．（2024春•合肥期中）规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b＝a（a+b），方程（x﹣2）　　． 知识点05换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【即学即练1】 9．（2024春•凤阳县月考）已知关于x的一元二次方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，则方程a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（　　） A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2 【即学即练2】 10．（2023春•贵池区期中）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 题型01 解一元二次方程——直接开平方法 1．（21-22八年级下·安徽池州·期中）方程的适当的解法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）当 时，代数式与的值互为倒数． 3．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）解方程：． 题型02 解一元二次方程——配方法 4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为的形式，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23八年级下·安徽六安·期中）把方程用配方法化为的形式，则的值是 ． 6．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 题型03 公式法解一元二次方程 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）用表示方程的较大的实数根，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 8．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）一元二次方程的解为 ． 9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）用公式法解方程：． 题型04 因式分解法解一元二次方程 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果的值与的值相等，则 ． 13．（23-24八年级下·安徽六安·期末）解方程：． 题型05 换元法解一元二次方程 13．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则的值为 ． 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 题型06配方法的应用 16．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A．1 B． C． D． 17．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）将一元二次方程化成的形式 ． 18．（21-22八年级下·安徽合肥·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为+ ；所以当_______时，代数式有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ； (2)比较代数式与的大小． 一、单选题 1．一元二次方程x2－4x＝12的根是(   ) A．x1＝2，x2＝－6 B．x1＝－2，x2＝6 C．x1＝－2，x2＝－6 D．x1＝2，x2＝6 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（  ） A． B． C．-2或2 D． 4．若，则x的值等于（　　） A． B．3或 C．或5 D．3或5 5．用配方法解方程时，配方后的方程是（    ） A． B． C． D． 6．用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ） A． B． C． D． 7．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 8．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 9．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 10．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，则 ④满足的正整数解共有25个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知非零有理数x、y满足，则＝ . 12．方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解是 ； 13．如果，那么 ． 14．若方程的两个实数根为，则的值为 ． 三、解答题 15．解方程：． 16．解方程：． 17．用配方法解方程：． 18．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 19．解方程： （1）-4=0 （2）+2x-1=0 （3） x（x+1）=x+1 20．解方程： 21．用适当的方法解方程． (1)； (2)． 22．解方程. (1)2(x＋2)2-8＝0; (2)x(x-3)＝x; (3)x2＝6x-; (4)(x＋3)2＋3(x＋3)-4＝0. 23．阅读并回答问题： 小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根． 据此可知： (1)可以运算，例如：，则_________，__________，__________； (2)解方程：（根用表示），请写出解题过程． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次方程的解法 课程标准 学习目标 1直接开平方法 2配方法 3公式法 4因式分解法 5换元法解一元二次方程 1.学会用直接开平方法解形如的一元二次方程；(重点) 2.理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程.(难点) 3.理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点) 4.会用公式法解一元二次方程；(重点) 5.理解并掌握用因式分解法解方程的依据：(难点) 6.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点) 知识点01直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【即学即练1】 1．（2024春•合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，，x2＝﹣1， ∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为：a[（x+2）+m]2+b＝0， 即x+2＝2或x+2＝﹣1， 解得：x1＝0或x2＝﹣3， 故选：D． 【点评】此题主要考查了方程解的定义，掌握直接开平方是关键． 【即学即练2】 2．（2024春•大观区校级期末）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　　． 【分析】利用直接开平方法解方程x2＝a得到方程的两根互为相反数，则2m﹣1+m﹣5＝0，则可计算出m＝3即可． 【解答】解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0， 解得m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 知识点02配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【即学即练1】 3．（2024春•蒙城县校级月考）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，变形正确的是（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x+2）2＝1 D．（x+4）2＝1 【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程x2+4x﹣1＝0， 移项得：x2+4x＝1， 配方得：x2+4x+4＝5， 则（x+2）2＝5． 故选：A． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【即学即练2】 4．（2024春•淮北期末）解方程：x2﹣12x＝﹣32． 【分析】配方法求解可得． 【解答】解：∵x2﹣12x＝﹣32， ∴x2﹣12x+36＝﹣32+36，即（x﹣6）2＝4， 则x﹣6＝2或x﹣6＝﹣2， 解得：x＝8或x＝4． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 知识点03公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【即学即练1】 5．（包河区期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用求根公式求出解即可． 【解答】解：这里a＝3，b＝5，c=1, ∵Δ＝b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0， ∴x＝＝， 故选：A． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 【即学即练2】 6．（2024春•金安区校级期末）已知代数式x（2x+4）与代数式x+2的值相等，求x的值． 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【解答】解：∵代数式x（2x+4）与代数式x+2的值相等， ∴x（2x+4）＝x+2， 整理得：2x2+3x﹣2＝0， Δ＝32﹣4×2×（﹣2）＝25， ∴x＝， ∴x1＝．x2＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，把方程整理成一般形式是关键． 知识点04因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【即学即练1】 7．（2024春•利辛县月考）解方程（5﹣x）2＝7（x﹣5），选择相对合适的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【分析】先移项变形，再提取公因式（5﹣x）即可求解． 【解答】解：（5﹣x）2＝7（x﹣5）， （5﹣x）2+7（5﹣x）＝0， （5﹣x）[（5﹣x）+7]＝0，即（5﹣x）（12﹣x）＝0， ∴最合适的方法是因式分解法， 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【即学即练2】 8．（2024春•合肥期中）规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b＝a（a+b），方程（x﹣2）　　． 【分析】直接根据定义的这种运算的规则求解． 【解答】解：由题意得：（x﹣2）（x﹣2+7）＝0， （x﹣2）（x+5）＝0， x﹣2＝0或x+5＝0， x1＝2，x2＝﹣5． 故答案为：x1＝2，x2＝﹣5． 【点评】本题考查了新定义和解一元二次方程，利用新定义得到方程：（x﹣2）（x﹣2+7）＝0是解题的关键． 知识点05换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【即学即练1】 9．（2024春•凤阳县月考）已知关于x的一元二次方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，则方程a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（　　） A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2 【分析】根据方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，得到x+1＝﹣2，或x+1＝3，即可求解． 【解答】解：∵a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3， ∴a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）中，x+1＝﹣2，或， 解得：x＝﹣3或x＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义． 【即学即练2】 10．（2023春•贵池区期中）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 【分析】（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用公式法求得x的值． 【解答】解：（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0， 整理，得（y+3）（y+1）＝0， 解得y1＝﹣3，y2＝﹣1． 当y＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3， 解得x1＝， 当y＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1， 解得x2＝． 综上所述，原方程的解为x1＝，x2＝； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴x＝±， 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣． 【点评】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 题型01 解一元二次方程——直接开平方法 1．（21-22八年级下·安徽池州·期中）方程的适当的解法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】形如这个类型的方程利用直接开平方法解最佳，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴解此方程的最佳解法是直接开平方法， 故选A 【点睛】本题考查的是选择恰当的方法解一元二次方程，掌握“形如这个类型的方程利用直接开平方法解最佳”是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）当 时，代数式与的值互为倒数． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、倒数 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程． 根据互为倒数的两个代数式的积等于，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵代数式与的值互为倒数， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法解方程． 【详解】解： ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并熟练应用是解题的关键． 题型02 解一元二次方程——配方法 4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为的形式，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法在变形后的方程等式两边同时加上1即可确定、的值．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方的和． 【详解】解： ， ， 即， ，， ． 故选：D． 5．（22-23八年级下·安徽六安·期中）把方程用配方法化为的形式，则的值是 ． 【答案】12 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先把常数项移到方程右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半得平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． ∴，， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法的步骤是解题的关键． 6．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型03 公式法解一元二次方程 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）用表示方程的较大的实数根，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识，解方程得到，根据的定义即可求解． 【详解】解：解方程得， ∵， ∴． 故选：C 8．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】先把方程化为一般式，然后利用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键． 9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）用公式法解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：．变形得：． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，牢记公式是解题关键． 题型04 因式分解法解一元二次方程 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意． 现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：根据定义运算可得， 即为， 即， ，， 则方程的根为或． 故选：． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果的值与的值相等，则 ． 【答案】或1 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识，根据题意得到方程，求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 分解因式得：， ∴，， 解方程得：，． 故答案为：或1． 13．（23-24八年级下·安徽六安·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， ， 或 ∴ 题型05 换元法解一元二次方程 13．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，利用因式分解法解得或（舍去），则． 【详解】解：设，则原方程为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 题型06配方法的应用 16．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键． 17．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）将一元二次方程化成的形式 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】先移项，再在方程的两边都加上1，配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：， 移项得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键． 18．（21-22八年级下·安徽合肥·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为+ ；所以当_______时，代数式有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ； (2)比较代数式与的大小． 【答案】(1)，，，小， (2) 【知识点】配方法的应用 【详解】（1）∵ ∴时，代数式有最小值，这个最小值为； 故答案为：，，，小， （2） ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小． 一、单选题 1．一元二次方程x2－4x＝12的根是(   ) A．x1＝2，x2＝－6 B．x1＝－2，x2＝6 C．x1＝－2，x2＝－6 D．x1＝2，x2＝6 【答案】B 【分析】方程整理后利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程整理得x2﹣4x﹣12=0， 分解因式得（x+2）（x﹣6）=0， 解得x1=﹣2，x2=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将二次项配成完全平方式，再将常数项移项，即得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 3．若，则（  ） A． B． C．-2或2 D． 【答案】C 【分析】这是一道关于解一元二次方程的题利用直接开平方法解方程；据方程的解与选项对照，找出正确的答案即可 【详解】解： 解方程，得. 故选C 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，用直接开平方法解一元二次方程. 4．若，则x的值等于（　　） A． B．3或 C．或5 D．3或5 【答案】B 【分析】先移项，再系数化成1，然后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两个同除以3得：， 开平方得：， 解得：或，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 5．用配方法解方程时，配方后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用配方法进行配方即可． 【详解】解： 移项得：， 配方得：， 合并得： 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等． 6．用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可． 【详解】x2+2x=1， x2+2x+1=2， （x+1）2=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 7．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先移项，然后再运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 所以该方程的解为：或． 故选C． 8．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出． 【详解】方程有两根， 且． 求根公式得到方程的根为，两根互为相反数， 所以，即， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键． 9．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 先移项、然后再给等式两边同时加上4，然后再化简即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选C． 10．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，则 ④满足的正整数解共有25个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①将代入代数式，计算即可；②又可得，再根据题意求解即可；③两方程相加，令，可化为，求解即可；④根据题意可得，列出正整数解，即可． 【详解】解：将代入可得，，即 解得或，即或，①错误； 由可得， ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，②正确； 两式相加可得： 即 令，则，解得， 即或，③错误； 由可得 正整数解为： ，总共有个，④错误 正确的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式． 二、填空题 11．已知非零有理数x、y满足，则＝ . 【答案】0或． 【分析】由已知方程得出（x-y）（x-3y）=0，据此知x=y或x=3y，再分别代入计算可得． 【详解】解：∵非零有理数x、y满足x2-4xy+3y2=0， ∴（x-y）（x-3y）=0， 则x-y=0或x-3y=0， 所以x=y或x=3y， 当x=y时， =0； 当x=3y时，═ ==； 综上，=0或， 故答案为0或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12．方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解是 ； 【答案】x1=，x2=1 【分析】移项后提公因式，然后解答． 【详解】解：移项，得x（2x-1）-（2x-1）=0， 提公因式，得，（2x-1）（x-1）=0， 解得2x-1=0，x-1=0， x1=，x2=1． 故答案为：x1=，x2=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13．如果，那么 ． 【答案】2. 【详解】试题分析：设，则原方程可变为，解得，因为，所以. 故答案为2. 考点：一元二次方程的解法；二次根式的非负性. 14．若方程的两个实数根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】因为方程的两个实数根为m、n，所以，而=，将所得的式子代入计算即可. 【详解】解：∵方程的两个实数根为m、n， ∴， ∴===. 故答案为. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，对于此类题目，一般的思路和方法是先写出两根之和与两根之积，再将所求的式子变形成两根和与积的形式，整体代入求解. 三、解答题 15．解方程：． 【答案】 【分析】用十字相乘法分解因式即可解方程. 【详解】 （x-10）（x+3）=0 ∴ 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，会用十字相乘法进行因式分解是关键. 16．解方程：． 【答案】， 【分析】把方程化为，然后用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： 原方程可化为， ∵，，， ∴， ∴， 即，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的步骤是解题的关键． 17．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 所以， 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 18．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 19．解方程： （1）-4=0 （2）+2x-1=0 （3） x（x+1）=x+1 【答案】（1）x=±2；（2）x1=，-1， x2=--1；（3）x=±1 【详解】试题分析：（1）用直接开平方法解方程即可；（2）用公式法或配方法解方程即可；（3）移项后提公因式（x+1），用因式分解法解方程即可． 试题解析：（1）-4=0，="4" ，x=±2 （2）+2x-1=0，+2x=1，+2x+1=1+1，，x+1=，x=-1，x1=，-1， x2=--1 （3） x（x+1）=x+1，x（x+1）-（x+1）=0，（x+1）（x-1）=0，x=1或x=-1． 考点：解一元二次方程． 20．解方程： 【答案】 【详解】试题分析：运用公式法求解即可. 试题解析：在这里，a=2，b=1，c=-2 b2-4ac=17>0 ∴ 21．用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据根的判别式确定方程根的情况，再利用一元二次方程求根公式求解即可． （2）先移项，再提取公因式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1） 所以，， 即，； （2）移项得， 因式分解，得 于是，得 或， 所以， 【点睛】本题考查了解一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 22．解方程. (1)2(x＋2)2-8＝0; (2)x(x-3)＝x; (3)x2＝6x-; (4)(x＋3)2＋3(x＋3)-4＝0. 【答案】（1）x1＝0,x2＝-4.（2）x1＝0,x2＝4；（3）x1＝,x2＝-（4）x1＝-7,x2＝-2. 【分析】(1)方程整理后,利用平方根定义开方即可求出解;(2)方程整理后,利用因式分解法求出解即可;(3)方程整理后,利用公式法求出解即可;(4)方程利用因式分解法求出解即可. 【详解】(1)整理得(x＋2)2＝4,即x＋2＝±2, ∴x1＝0,x2＝-4.　 (2)整理得x(x-3)-x＝0,即x(x-3-1)＝0,x(x-4)＝0, ∴x1＝0,x2＝4. (3)整理得x2-6x＋＝0,即x2-2x＋1＝0, 由求根公式得x1＝,x2＝-. (4)设x＋3＝y,则原方程可变为y2＋3y-4＝0, 解得y1＝-4,y2＝1,当y＝-4,即x＋3＝-4时,x＝-7,当y＝1, 即x＋3＝1时,x＝-2. ∴原方程的解为x1＝-7,x2＝-2. 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法,公式法,以及直接开平方法,熟练掌握各种解法是解本题的关键. 23．阅读并回答问题： 小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根． 据此可知： (1)可以运算，例如：，则_________，__________，__________； (2)解方程：（根用表示），请写出解题过程． 【答案】(1)1；；； (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，以及配方法． （1）原式各项根据阅读材料中的方法计算即可得到结果； （2）方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：1；；； （2）方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：， 故答案为：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$