26.2 实际问题与反比例函数（题型梳理）讲义+练习2024-2025学年人教版数学九年级下册

26.2 实际问题与反比例函数 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共8小题） 1．（2024•内黄县模拟）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图象，下列说法正确的是　　 A．海拔越高，大气压越大 B．当海拔为7千米时，大气压约为60千帕 C．图中曲线是反比例函数的图象 D．图象表示大气压与海拔之间的变化关系 2．（2024秋•桂平市期中）某闭合电路的电压，则其电流（A）与电路的电阻之间的函数表达式是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•夏邑县期中）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是　　 A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟 4．（2024秋•双峰县期中）验光师检测发现近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了　　 A．150 B．200 C．250 D．300 5．（2024•万柏林区二模）已知经过闭合电路的电流（单位：与电路的电阻（单位：之间的关系如表所示，则下列说法中错误的是　　 5 4 2 1 0.5 0.25 20 25 30 40 50 100 200 400 A．的值为2.5 B．与之间的函数表达式为 C．当时， D．随的增大而减小 6．（2023秋•连平县期末）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•金凤区校级月考）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 8．（2024•沾化区一模）当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是　　 A．当压力，受力面积为时，物体所受压强为 B．图象位于第一、三象限 C．压强随受力面积的增大而减小 D．图象不可能与坐标轴相交 二、填空题（共10小题） 9．（2024秋•顺义区期末）通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂．已知，，，则的值为 　　． 10．（2024秋•鹤山市期末）某运输公司计划运输一批货物，已知货物总量是定值，每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，根据如表，求出 　　． 每天运输的吨数 250 100 50 运输的天数 2 10 11．（2024•武汉模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 　　． 12．（2024秋•松原期末）负责鱼菜共生系统建设的工程队平均每天的工作量（亩天）与完成建设所需时间（天之间的函数图象如图所示，若该工程队每天最多建设0.5亩，则该工程队完成全部鱼菜共生系统的建设最快需要 　　天． 13．（2024•碑林区校级模拟）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足 　　． 14．（2024秋•浑南区期末）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压超过时，气球会爆炸．由此可判断时，气球 　　爆炸．（用“会”或“不会”填空） 15．（2024秋•广西期中）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：与所受阻力（单位：是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为，则所受阻力为　　． 16．（2024•南充模拟）有一组并联电路，如图所示，两个电阻的电阻值分别为、，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 　　． 17．（2024秋•鼓楼区校级期中）已知一个长方体的体积是，它的长是 ，宽是，高是 ．用式子表示与之间的关系是 　　． 18．（2023秋•广水市期末）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为 　　字． 三、解答题（共8小题） 19．（2024秋•渝中区期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积（单位：变化时，气体密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）当时，求二氧化碳的密度； （3）当时，求的取值范围． 20．（2024秋•灵武市期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）求全天的温度与时间之间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 21．（2024秋•阳江期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 22．（2023秋•洋县期末）某研究所经实验测得，成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）． （1）根据函数图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为　　；下降阶段的函数表达式为　　；（并写出的取值范围） （2）求血液中酒精浓度不低于200微克毫升的持续时间是多少小时？ 23．（2023秋•蓬江区期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求反比例函数解析式和点、的坐标； （2）陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 24．（2024秋•西乡塘区校级期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求关于的函数关系式； （2）药物燃烧后，求关于的函数关系式； （3）研究表明，燃烧后当空气中每立方米的含药量不高于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； 25．（2024秋•前郭县期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例．在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 26．（2024秋•武汉期中）某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒，已知从消毒开始，室内每立方米空气的含药量（单位：和时间（单位：成比例关系随变化而变化的数据见如表），请根据表中的信息，解答下列问题． 0 2 4 6 8 10 12 16 24 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2 （1）当时，与成什么比例关系？写出和的关系式； （2）当时，与成什么比例关系？写出和的关系式； （3）研究表明，当每立方米空气的含药量不低于时，消毒才有效果，那么此次消毒的有效时间范围是第几分钟到第几分钟？ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B C B C B 一、选择题（共8小题） 1．【答案】 【解答】解：、海拔越高，大气压越小，故原说法错误，不符合题意； 、当海拔为7千米时，大气压约为40千帕，故原说法错误，不符合题意； 、和在图象上，明显，图中曲线不是反比例函数的图象，故原说法错误，不符合题意； 、图象表示大气压与海拔之间的变化关系，正确，符合题意． 故选：． 2．【答案】 【解答】解：电流、电阻、电压之间满足关系式、， ， 电流（A）与电路的电阻之间的函数表达式是． 故选：． 3．【答案】 【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为， ； 设药物燃烧后关于的函数关系式为代入为， ， 药物燃烧时关于的函数关系式为；药物燃烧后关于的函数关系式为， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 那么此次消毒的有效时间是15分钟， 故选：． 4．【答案】 【解答】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：闭合电路的电流（单位：与电路的电阻（单位：是反比例函数关系， ， ， 故选项不合题意； 闭合电路的电流（单位：与电路的电阻（单位：是反比例函数关系， 则，把代入得： 故， 即， 故选项不合题意； 当随的增大而减小，故此选项不合题意． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：设，则， ， 故选：． 7．【答案】 【解答】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：．当压力，受力面积为时，，故本选项不符合题意； ．结合实际意义可知，即函数图象位于第一象限，故本选项符合题意； ．压强随受力面积的增大而减小，故本选项不符合题意； ．根据题意可知，，又，由此可得，故图象不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题意． 故选：． 二、填空题（共10小题） 9．【答案】200． 【解答】解：，，，， ， 解得：， 故答案为：200． 10．【答案】5． 【解答】解：每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系， ， ， 故答案为：5． 11．【答案】6． 【解答】解：设反比例函数式． 把代入反比例函数式， ． ， 当时，． 故答案为：6． 12． 【解答】解：由题意，设， 又图象过， ． 函数为． 令， （天． 故答案为：4． 13．【答案】． 【解答】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， 图象过点， ， ， 由已知得图象在第一象限内， 随的增大而减小， 当时，， ，即不小于， 故答案为：． 14．【答案】不会． 【解答】解：设，将代入求出， ， 当时，气球将爆炸， ，即， 解得． ， 气球不会爆炸， 故答案为：不会． 15．【答案】2400． 【解答】解：设功率为，由题得， 将，代入得，， 解得， 反比例函数为， 将代入得， 解得：， 故答案为：2400． 16．【答案】12． 【解答】解：由题意得：， 即， 解得：； 经检验是原分式方程的根， 故答案为：12． 17．【答案】． 【解答】解：由题意得，，． 故答案为：． 18．【答案】200． 【解答】解：设， 把代入，得， ， ， 当时，， ， 在第一象限内，随的增大而减小， 小明录入文字的速度至少为200字． 故答案为：200． 三、解答题（共8小题） 19．【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）设， 由题意得：， 密度关于体积的函数表达式为：； （2）当时，； （3）由图象知，当时，． 把代入得， ． ． 20．【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 直线， 当时， 恒定温度为：． （2）由（1）可知：正比例函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：， （3）当时，， ， 当时，， ， 在20时时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 21．【答案】（1）； （2）小孔到蜡烛的距离为． 【解答】解：（1）根据题意，设， 把，代入，得， 关于的函数解析式为． （2）把代入，得， 小孔到蜡烛的距离为． 22．【答案】（1），； （2）6小时． 【解答】解：（1）当时， 由图象可知，是的正比例函数，令， ， ， ， 当时，与成反比例，令， ， ， ； （2）当，时，则， 解得， 当，时，则， 解得， （小时）， 血液中酒精浓度不低于200微克毫升的持续时间是6小时． 23．【答案】（1）反比例函数解析式为：；，；（2）要是学生注意力指标都不低于32，陈老师可以讲完一道数学综合题． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数解析式得：， ， 反比例函数解析式为：， 当时，， ，； （2）直线过，，，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，则， 根据题意可得：， 解得， 陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟， ， 要是学生注意力指标都不低于32，陈老师可以讲完一道数学综合题． 24．【答案】（1）； （2）； （3）从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． 【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为 ， 药物燃烧时关于的函数关系式为； （2）设药物燃烧后关于的函数关系式为， 经过点， ， ， 药物燃烧后关于的函数关系式为； （3）结合实际，令中得， 答：即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． 25．【答案】； （2）当时，电阻不超过． 【解答】解：（1）设， 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 26．【答案】（1）当时，与成正比例关系，和的关系式为：； （2）当时，与成反比例关系，和的关系式为：； （3）此次消毒的有效时间范围是第3.2分钟到第20分钟． 【解答】解：（1）当时，与成正比例，设， 经过点， ， 解得：， 和的关系式为：； （2）当时，与成反比例关系，设， 经过点， ， 和的关系式为：； （3）当时， ， 解得：； ， 解得：． 答：此次消毒的有效时间范围是第3.2分钟到第20分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.2 实际问题与反比例函数 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】反比例函数图象的识别 3 【题型2】根据实际问题列反比例函数关系 6 【题型3】反比例函数在物理中的应用 9 【题型4】反比例函数在实际生活中的应用 14 1．用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系． （2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示． （3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数． （4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围． （5）解——用函数解析式去解决实际问题． （6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． （7）答——写出实际问题的答案，保证解题的完整性． 2．求反比例函数解析式常用的两种方法： （1）待定系数法 若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． （2）列方程法 若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． 3．实际问题中常见的反比例关系： （1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例． （2）面积型 ①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例． ②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （3）物理应用型 ①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例． ②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例． ③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例． 1．实际问题中的反比例函数的图象一般是双曲线的一支，或一支的一部分． 2．由函数图象确定函数解析式的方法 （1）观察横轴、纵轴表示的含义； （2）观察图象形状，确定函数类型； （3）设函数解析式； （4）选取图象上的点代入解析式求出待定系数． 【题型1】反比例函数图象的识别 例1 （2024•海淀区校级模拟）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间（分钟） 0 2 4 6 8 10 12 16 20 含药量（毫克） 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象正确． 故选：． ◄ 点拨 ► 实际问题中的反比例函数的图象一般是双曲线的一支，或一支的一部分． 【变式1】　（2023•裕华区二模）如图是嘉淇某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量均为，杠杆总长，其余数据如图所示，此时杠杆处于平衡状态，则与的函数图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023•德州）压力、压强、受力面积之间的关系为：，当压力一定时，另外两个变量的函数图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2024秋•鞍山期末）某品牌蓄电池的电压为，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流（单位：关于电阻（单位：函数图象大致是　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【解答】解：左侧每个钩码的质量均为，杠杆总长， ， ， 故与的函数图象可能是选项， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：， 当压力一定时，，此时与符合反比例函数关系，且第一象限内，随的增大而减小， 故选：． 3．【答案】 【解答】解：根据题意得， 电流（单位：关于电阻（单位：函数是反比例函数， 故选：． 【题型2】根据实际问题列反比例函数关系 例2 （2024•兴庆区模拟）在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设克水可溶解氯化钠克，则关于的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意可得：， 故． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．应用反比例函数解决实际问题的基本步骤如下： （1）审清题意，找出题目的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）根据常量、变量之间的关系，设出函数关系式，待定系数用字母表示； （3）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （4）写出函数关系式，并注意关系式中变量的取值范围； （5）用函数关系式解决实际问题． 2．当问题中涉及几何问题时，可根据其图形建模，构造反比例函数解析式，并运用其性质解决问题，但要注意自变量的取值范围． 【变式4】　（2023秋•敦煌市校级期末）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为元，若该厂每月生产只取正整数），这个月的总成本为5000元，则与之间满足的关系为　　 A． B． C． D． 【变式5】　（2022秋•太和县期末）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数与每个月存款额元之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【变式6】　（2024•昭平县三模）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： 15 20 25 30 20 15 12 10 猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式为　　． 4．【解答】解：由题意得：与之间满足的关系为． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：根据题意得：， ． 故选：． 6．【解答】解：由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数， 设， 把，代入得： ， 将其余各点代入验证均适合， 与的函数关系式为：． 故答案为：． 【题型3】反比例函数在物理中的应用 例3 （2024秋•洛阳期末）某光敏电阻因光电效应使其阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻上的光照强度减小，已知电源电压，．当闭合开关时，下列说法错误的是　　 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． 3．当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警． A．当时， B．光照强度越大，电路中的电流越大 C．当报警器报警时，光照强度为 D．烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大 【答案】 【解答】解：根据题意可知，阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位之间成反比例关系， 设与之间的函数解析式为， 把代入解析式得：， 与之间的函数解析式为， 当时，，故正确； 阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位之间成反比例关系， 越大越小， ， 越小越大，故正确； 当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器， ， ， ，故错误； 当烟雾浓度越大，越小，从而越大，故正确， 故选：． ◄ 点拨 ► 1．跨学科问题中常见的反比例关系： （1）压力一定时，压强与受力面积成反比例． （2）当功率一定时，力与速度成反比例． （3）当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例． （4）当电压一定时，电流强度与电阻成反比例． 2．欧姆定理：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 3．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． 【变式7】　（2024秋•双流区期末）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2024秋•新会区期末）已知蓄电池两端电压为定值，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是　　 A．函数表达式为 B．在有效范围内，电流随着电阻的增大而减小 C．当时， D．当时， 【变式9】　（2024秋•永寿县校级期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求这一函数的表达式； （2）已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 7．【答案】 【解答】解：设 有图像给出的信息可得：， ， 当时，， 当时，， ， 气体体积压缩了， 故选：． 8．【答案】 【解答】解：设， 图象过， ， ，故选项正确，不符合题意； 在有效范围内，电流随着电阻的增大而减小，故选项正确，不符合题意； 当时，，故选项错误，符合题意； 由图象知：当时，，故选项正确，不符合题意； 当时，（A）， ，故选项正确，不符合题意； 故选：． 9．【答案】（1）与的函数关系式为； （2）清理完这条河道一共需要6天． 【解答】解：（1）设与的函数关系式为， 把代入得，， 解得， 与的函数关系式为； （2）当时，， 清理完这条河道一共需要6天． 【题型4】反比例函数在实际生活中的应用 例4 （2024秋•黄浦区期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克立方米）与时间（月成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： （1）施工过程中关于的函数解析式是 　　； （2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ （3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．，结果精确到 【答案】（1）施工过程中关于的函数解析式为：； （2）小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住； （3）降低的百分率约为． 【解答】解：（1）当时，设， 经过点， ， 解得：， ； 施工过程中关于的函数解析式为：． 故答案为：； （2）当时，设， 经过点， ， ， 当时，． 答：小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住； （3）当时，， 当时，． 设这两个月降低的百分率为， ， ， 解得：（不合题意，舍去），． 答：降低的百分率约为． ◄ 点拨 ► 1．利用反比例函数的图象和性质，能直观反映两个变量之间的变化规律．通过图象上点的坐标确定反比例函数解析式，因此，解决反比例函数的应用问题，要学会运用数形结合的思想． 2．巧用“转折点” 在分段函数中，用待定系数法求函数解析式时，要特别注意图象的“转折点”，即两个函数图象的公共点，它的横坐标是两个函数自变量取值范围的分界点，也是求函数解析式的关键点． 【变式10】　（2024秋•长沙期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时与的函数关系式； （2）求药物燃烧后与的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【变式11】　（2024秋•东湖区校级期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲18分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【变式12】　（2024秋•温岭市期末）在某一电路中，电源电压（单位：保持不变，电流（单位：关于电阻（单位：的函数图象如图所示． （1）写出关于的函数解析式； （2）如果该电路中的电流不得超过，那么电阻的取值范围是多少？ 10．【答案】（1）药物燃烧时的解析式为； （2）燃烧后的函数解析式为； （3）对病毒有作用的时间长为分钟． 【解答】解：（1）设药物燃烧时的解析式为：， 由题意可得：， ， 答：药物燃烧时的解析式为； （2）设燃烧后的函数解析式为， 由题意可得：， ， 答：燃烧后的函数解析式为； （3）由题意可得： ， 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 11．【答案】（1）第30分钟注意力更集中； （2）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【解答】解：（1）学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律中，为线段，设线段所在的直线的解析式为，把代入得： ， 解得， ； 为双曲线的一部分，设所在双曲线的解析式为，把代入得： ， ， 当时，， 当时，， ， ， 答：第30分钟注意力更集中； （2）令， ， ， 令， ， ， ， 答：经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 12．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）根据题意可知流（A）与电阻之间成反比例关系，即， 过点， ， ； （2）当时，，即． 答：电路中电阻的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$