28.2.1 解直角三角形-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 课题 解直角三角形 课型 新授课 教学内容 教材第72-73页的内容 教学目标 1.理解解直角三角形的意义和条件。 2.根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素。 教学重难点 教学重点：选择适当的关系式，求出直角三角形中所有未知元素。 教学难点：解直角三角形的简单应用。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 回顾本章引言提出的描述比萨斜塔倾斜程度的问题。 如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =5.2m，AB= 54.5m，你能根据上述条件求出∠A的度数（即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数）吗？与同伴相互交流。 【师生活动】教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知的边和要求的角之间的关系，分析得到通过求∠A的正弦来求∠A的度数，利用计算器求解。 上述问题可以一般化为：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数。 一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2.实践探究，学习新知 【探究1】在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪 些关系？ 【师生活动】学生相互交流获得结论，教师再与学生一道进行系统的总结，完善知识体系。 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么除直角C外的5个元素之间有如下关系： （1） 三边之间的关系：a2+b2=c2 （2） 两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3） 边角之间的关系： sin A=， cos A= =， tan A= =。 教师追问：知道五个元素中的几个，就能求其余元素？ 教师给出结论：在直角三角形中，知道除直角外的五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求其余三个未知元素。 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=,解这个直角三角形。 【师生活动】先由学生找出所有未知元素，AC和BC，然后学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，最后教师给出规范的解题步骤。 解：因为tan A= =, 所以∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， AB=2AC=2。 【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AC=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）。 【师生活动】先让学生参照例1的解题思路，分析本题的解题思路，然后由学生独立完成。教师注意引导学生思考不同的解题方法。 解：∠A=90°-∠B=55°。 因为tan B=， 所以a=≈28.6。 因为sin B=， 所以c=≈34.9。 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在Rt△ABC中，AB=10，cos A=，则AC的长是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 答案：A （2）如图，在△ABC中，∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（ ） A.60sin50° B. C.60cos50° D.60tan50° 答案：A （3）如图，在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，∠ACB=45°，则BC= 。 答案：2+2 （4）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形． ①若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长； ②若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长。 解：①在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36， ∴∠A＝90°－∠B＝60°， ∵cosB＝，即c＝＝＝24， ∴b＝sinB·c＝×24＝12。 ②在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴tanA＝＝， ∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12。 （5）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面积． 解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sinA＝＝， 设BC＝3k，则AB＝7k(k＞0)， 在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°， ∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6， ∴k＝2，∴AB＝14。 在Rt△ABC中，AC＝＝＝4， ∴S△ABC＝AC·BC＝×4×6＝12。 所以△ABC的面积是12。 5.课堂小结，自我完善 请同学们回顾本节课的内容： （1）什么叫解直角三角形？ （2）解直角三角形的条件是什么？ 6.布置作业 课本P74练习，P77习题28.1第1题。 通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，并将其一般化，引入课题。 有条理地梳理直角三角形中五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用。 明确解直角三角形的条件。 通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高分析和解决问题的能力。教师鼓励学生采取不同的方法求解，并引导学生选择简洁的解题途径。 进一步训练解直角三角形的思路和方法，并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解。 设置随堂训练，进一步巩固所学新知，做到真正掌握。 引导学生从知识和方法两个方面总结自己的收获，理清解直角三角形的目的、条件、依据、方法，提升综合运用知识的能力。 板书设计 解直角三角形 含义 依据 条件 教后反思 本节课的设计，力求体现新课程理念，给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性。 利用知识回顾，使学生进一步巩固和深化对锐角三角函数和直角三角形知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $$