27.2.1 第3课时 相似三角形判定定理3-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形判定定理3 课题 相似三角形判定定理3 课型 新授课 教学内容 教材第35-36页的内容 教学目标 1.掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法以及直角三角形中特有的判定相似的方法。 2.能运用相似三角形的判定方法解决具体问题。 教学重难点 教学重点：掌握相似三角形的判定方法，会运用判定定理判定两个三角形相似。 教学难点：相似三角形判定方法的推导及应用。 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧识，引入课题 问题1：回顾相似三角形的判定定理1，2。 问题2：展示教师用的大三角板（45°和45°) 及学生用小三角尺（45°和45°)，请学生们观察这样的两个三角形相似吗？ 【师生活动】教师简要回顾学过的相似三角形的判定方法1，2后，提出“还有没有其它的方法来判定两个三角形相似呢？”，进而展示所准备好的三角尺，让学生获得感性认识，顺理成章地提出思考，激发学生求知欲望。 2.类比探究，学习新知 【探究1】作△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′,∠B=∠B′，分 别度量这两个三角形的边长，计算的值，你有什么发现？由此你能作出一个怎样的猜想？ 【师生活动】让全班同学动手画图，并按要求独立完成探索过程，获得结论后，与同伴交流；只要画图和测量尽可能准确，则会得到它们的比值相等，从而初步了解“有两个角对应相等的两个三角形相似”的结论。教师巡视，对出现偏差的结论应予以帮助，查找问题，尽量让他们也能获得正确结论。 教师引导学生证明结论：在△ABC中作BC的平行线，使截得的三角形与△A′B′C′全等，共同分析，完成证明，学生书写证明过程。 得出结论：判定定理3： 两角分别相等的两个三角形相似。 【探究2】对于直角三角形，我们知道“有一条直角边和斜 边对应相等的两个直角三角形全等”，那么如果两个直角三角形中，有一条直角边与斜边的比对应相等，这样的两个直角三角形相似吗？ 【师生活动】教师先与学生一道交流，找出两个直角三角形的已知条件有哪些（用图形和符号语言来表述），从这些条件到所探讨的结论之间还缺少什么条件，能否通过推理计算获得相应条件，从而引出利用勾股定理来探讨第三条对应边之间关系而获得结论。然后让学生独立完成，或相互交流获得论证过程。 师生总结：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 3.学以致用，应用新知 考点1 直接利用定理判定两个三角形相似 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8。E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D。求AD的长。 解：∵ED⊥AB， ∴∠EDA=90°。 又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC。 ∴。∴AD==4。 结论：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。 【例2】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°。 (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长。 解： (1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE。 在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE。 (2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE， ∴＝，∴＝，∴x＝9。 即等边△ABC的边长为9。 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列条件中，不能判定△ABC和△DEF相似的是（ ） A.∠A=∠D=70°，∠B=∠E=50° B. ∠A=∠D=70°，∠B=50°，∠E=60° C. ∠A=∠E，AB=12,AC=15,DE=4,EF=5 D. ∠A=∠E，AB=12,BC=15,DE=4,DF=5 答案：D （2）如图，点D在边AB上，当∠1=∠ 时，则△ADC ∽△ACB。 答案：B （3）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为____________． 答案：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝ （4）如图，若∠ADE=∠B，∠BAD=∠CAE，求证：△ADE ∽ △ABC。 解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE， ∴∠DAE=∠BAC，∵∠ADE=∠B， ∴△ADE ∽△ABC。 （5）如图，△ABC的高AD，BE交于点F，写出图中所有与△AFE相似的三角形，并选择一个进行证明。 解：与△AFE相似的三角形有：△BFD，△ACD，△BCE 证明：△ACD∽△AFE。 ∵△ABC的高AD，BE交于点F， ∴∠ADC=∠AEF=90°， ∵∠CAD=∠FAE， ∴△ACD∽△AFE。 5.课堂小结，自我完善 本节课学习了哪些知识？你有什么收获？ 学生自己整理与回顾，师生共同概括总结. （1）学习了哪些判定三角形相似的方法？ （2）判定直角三角形相似时，可以采用什么方法？ （3）通过本节课的学习，你能探究两个等腰三角形相似的方法吗？ 6.布置作业 课本P36练习1-3，P43习题27.2第7题。 通过身边的实际问题引导学生思考、猜想，为探究新知做好铺垫。 教师在引导中解析，在解析中总结，寻找学生易于接受的方法，帮助学生把握判定定理的证明过程。让学生进一步体会结论的正确性、证明的必要性以及证明过程的严谨性。 学生已有前面探究活动的经验，教师提出问题后，学生能自己通过画图获取初步结论，完成探究活动。 熟悉利用“两角相等判定三角形相似”的方法，并得出判定两个直角三角形相似的简单方法。 巩固相似三角形的判定定理，并利用三角形相似求边长。 进一步巩固所学，检测学习效果。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 相似三角形的判定（3） 判定定理3 直角三角形判定相似的方法 教后反思 本课时应强调学生自主探究的原则，让学生通过观察、实验、动手探究等方式掌握判定三角形相似的方法。整堂课应注重转化思想的运用，本课时难点在于探究判定定理3的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽，教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情。 学科网（北京）股份有限公司 $$