27.2.1 第2课时 相似三角形判定定理1，2-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形判定定理1，2 课题 相似三角形判定定理1，2 课型 新授课 教学内容 教材第32-34页的内容 教学目标 1. 初步掌握利用三边判定两个三角形相似及利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理。 2. 能运用两个判定定理解决具体问题。 教学重难点 教学重点：掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似。 教学难点：运用两个判定定理解决问题。 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧识，引入课题 问题：判定两个三角形全等我们有SSS，SAS，ASA，AAS等方法，我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例，那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？ 【师生活动】设置疑问，引导学生思考，尝试用类似的思路来判定两个三角形相似，激发求知欲望. 2.类比探究，学习新知 【探究1】在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二 个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数。画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？ 【师生活动】教师将准备好的纸发给学生，指导学生完成作图，测量并比较它们对应角的度数，引导学生判断两个三角形是否相似。学生相互交流、讨论，发现规律并进行有条理的整理总结。 思考：如图，在△ABC和△A′B′C′中，,则△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？ 【师生活动】教师应引导学生通过合理推理进行说明，这时可在A′B′上截取A′D=AB，再过D作DE//B′C′，由 △A′DE～△A′B′C′，再证明△ABC≌△A′DE，则可得到 △ABC～△A′B′C′，这种构造△A′DE作为过渡三角形在以往的学习中很少见，教师注意做好引导。 由此得到利用三边判断三角形相似的定理1： 三边成比例的两个三角形相似。 【探究2】三角形全等有“SAS”的判定发方法，类似地，在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=∠A′， 且,那么△ABC与△A′B′C′是否相似？为什么? 【师生活动】类比探究1，学生画图，自主展开探究活动，模仿上一个定理的证明，讨论证明思路，教师巡视给予指导，最后形成结论，得到判断两个三角形相似的定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 思考：如果定理2中的“夹角相等”换成“其中一边的对角对应相等”，其他条件不变，这样的两个三角形仍能相似吗？ 【师生活动】教师与学生一道回顾“两边对应相等，且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例，使学生能轻松地过渡到判别它们不一定能相似时可能存 在的一种情形，加深对定理中“夹角相等”这一条件的理解。 3.学以致用，应用新知 考点1 直接利用定理判定两个三角形相似 【例1】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： （1）AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm， A′B′=12 cm，B′C′=18 cm，A′C′=24 cm； （2）∠A=120°，AB=7 cm， AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm， A′C′=6 cm。 解：（1）∵, , , ∴。∴△ABC∽△A′B′C′。 （2）∵，, ∴。又∠A=∠A′， ∴△ABC∽△A′B′C′。 【变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？ 解：△ABC∽△EDF. 在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∠C＝90°，由勾股定理得AC＝＝＝8. 在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∠F＝90°，由勾股定理得ED＝＝＝5. 在△ABC和△EDF中，＝＝2，＝＝2，＝＝2， 所以＝＝，所以△ABC∽△EDF. 考点2 添加条件使三角形相似 【例2】如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似。 答案：4或9. 4.随堂训练，巩固新知 （1）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE。 证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5， ∴DB∶AB＝1∶2。 又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2， ∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°， ∴△ABC∽△DBE。 （2）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理， 得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2， ∵＝＝＝＝，∴△ABC∽△DEF。 （3）如图，已知＝＝，找出图中相等的角，并说明你的理由． 解：在△ABC和△ADE中，∵＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC ＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E。 （4）如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的长。 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得 AB＝＝＝5。 ∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得AD＝， ∴CD＝AD＋AC＝＋3＝。 5.课堂小结，自我完善 本节课学习了哪些知识？你有什么收获？ 学生自己整理与回顾，师生共同概括总结. （1）三边成比例的两个三角形相似。 （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 教师强调：相似三角形的判定方法与全等三角形的判定方法的联系和区别。 6.布置作业 课本P34练习1-3，P42习题27.2第1，3题。 采用类比的方法，判定两个三角形全等的方法和判定两个三角形相似的方法之间有着内在的联系。 学生在教师的指导下作图、交流，经历实践、探索的过程，积累数学活动经验。 让学生进一步体会结论的正确性、证明的必要性以及证明过程的严谨性。 学生已有前面探究活动的经验，教师提出问题后，学生能自己通过画图获取初步结论，仿照上一个定理的证明，容易得到这个定理的证明思路，完成探究活动。 类比“两边对应相等且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”，加深相似的判定定理中“夹角相等”的理解，加强对三角形相似条件的理解与记忆。 难易梯度合理的例题设置，帮助学生完善思维、锻炼能力，给予学生层次递进的学习过程，使学生形成对知识的总体把握。 进一步巩固所学，检测学习效果。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 相似三角形的判定（2） 判定定理1 判定定理2 教后反思 本课时教学可采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法。教学时注意突出学生的主体地位，采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，让学生独立完成并相互交流，教师以提问的形式，逐步引导学生去证明命题，教师给予引导并同学生一起归纳，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想，提高学生的推理能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$