27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例 课题 平行线分线段成比例 课型 新授课 教学内容 教材第29-31页的内容 教学目标 1.了解相似三角形的概念及其表示方法。 2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质 定理。 3.掌握相似三角形判定的预备定理。 教学重难点 教学重点：平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理。 教学难点：探索平行线分线段成比例的过程。 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧识，引入课题 问题1：回忆相似多边形的概念及性质。 问题2：如图，在△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似． 【师生活动】教师提出问题，学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善，并给出结论： 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且． 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比． 反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且． 教师追问：如何判定两个三角形相似呢？ 2.类比探究，学习新知 【探究1】如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1， l2相交的平行线l3，l4，l5分别度量AB，BC，DE，EF长度，则相等吗？ 【师生活动】教师指导学生在自己准备的白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论： 当l3∥l4∥l5时，有, ，，等。 教师引导学生初步总结出平行线分线段成比例的基本事实，共同归纳得出基本事实，教师板书： 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 【探究2】如图，当l1//l2//l3时，在（1）中是否仍有在（2）中是否仍有 【师生活动】教师引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全班同学一同分析，得出结论. 教师引导学生关注线段之间的对应关系，列比例式时上与下的对应关系应展现在同一条直线上，同时教师应利用比例的基本性质,指导学生对比例式进行变形训练,进而总结出平行线分线段 成比例的位置规律，如 教师对图形做进一步的变化，只保留三角形部分，如图，指导学生总结平行线分线段成比例的基本事实的推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等. 【探究3】（1）如图1，在△ABC 中，DE// BC，DE分别交AB、AC于D、E，则△ABC与△ADE能相似吗？为什么？ （2）如图2，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反 向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为 什么？ 图1 图2 【师生活动】教师提出问题，学生组内讨论解答，教师适时指导，帮助学生完成证明过程，总结判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3.学以致用，应用新知 考点1 平行线分线段成比例的基本事实 【例1】如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，直线l4、l5交于点O，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24. (1)求的值； (2)求AB的长． 解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝.又∵DF∶DF＝5∶8， ∴EF∶DE＝5∶3，∴＝； (2)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，∴＝＝， ∴BC＝15，∴AB＝AC－BC＝24－15＝9. 考点2 平行线分线段成比例的基本事实的推论 【例2】如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长． 解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝. 考点3 判定三角形相似的预备定理 【例3】如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，AB∥CD， ∴△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC， ∴△DFC∽△EDA， ∵AB＝3BE， ∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，AD∥BE∥CF,点B，E分别在AC，DF上，AB=2,DE=BC=3，则EF长为（ ） A.4 B.2 C. D. 答案：D （2）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 答案：C （3）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，DE∥BC，AE=4，AD=3，CE=2，则BD的长为（ ） A.1.5 B. C. D.2 （4）如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O. ①如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长； ②如果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3，AB＝3，求CD的长． 解：①∵CE＝3，EB＝9，∴BC＝CE＋EB＝12.∵AB∥EF，∴＝，则＝.又∵EF∥CD，∴＝，则＝，∴＝，即＝，∴AF＝6，∴AD＝AF＋FD＝6＋2＝8，即AD的长是8； ②∵AB∥CD，∴BO∶OE＝AB∶EF.又∵BO∶OE＝2∶4，AB＝3，∴EF＝6.∵EF∥CD，∴＝.又∵OE∶EC＝4∶3，∴＝，∴＝，∴CD＝EF＝10.5，即CD的长是10.5. 5.课堂小结，自我完善 本节课学习了哪些知识？你有什么收获？ 学生自己整理与回顾，师生共同概括总结. （1）平行线分线段成比例的基本事实； （2）平行线分线段成比例的基本事实的推论； （3）判定三角形相似的预备定理。 6.布置作业 课本P31练习1，2，P42习题27.2第4，5题。 回顾上节内容，通过所学知识类比，为学习新知做铺垫。 适时给出相似三角形的相关说明，为学习相似三角形的判定做铺垫。 运用了先猜想、再测量、最后论证的方法，用语言把平行线分线段成比例的基本事实进行总 结，使结论的得出有一定的层次性，也使学生在认识问题、理解问題时确定了一种思想方法。 对平行线分线段成比例的基本事实进行延伸，在以后的学习和应用中起到重要的指导作用，让学生从感性认识上升到理性思考。 在由一般到特殊的演化过程中，将平行线分线段成比例的基本事实延伸到三角形中，得到平行线分线段成比例基本事实的推论。 学生经历观察、猜想、动手实践、总结归纳、实践应用等环节，在学习知识的过程中循序渐进,符合学生的认知规律和思维模式．通过对相 似三角形的基本图形的对比理解，更能加深印象。 从本节学习的3个重要知识点出发设置对应例题，发展学生的思维能力，拓宽学生的思路和视野。 进一步巩固所学，检测学习效果。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 平行线分线段成比例 基本事实 推论 判定三角形相似的预备定理 教后反思 本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者。鼓励学生大胆探索，从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新。上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充。教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围。 学科网（北京）股份有限公司 $$