30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数 课题 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P39-40 教学目标 1.知道不共线三点的坐标可以确定一个二次函数. 2.了解用待定系数法求过不共线三点的二次函数的表达式. 教学重难点 重点：用待定系数法求二次函数表达式. 难点：活地根据条件恰当地选取表达式. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾复习，导入新课 我们知道,已知一次函数图像上两个点的坐标,可以用待定系数法求出它的表达式,二次函数的表达式y＝a(x－h)2＋k,y＝ax2＋bx＋c(a≠0)等多种形式,应该怎样求出函数的表达式呢？ （板书课题：30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数） 由已学过的知识引出新问题,体现复习与求新的关系,暗示了探究新知的方法. 2.实践探究，学习新知 【探究1】设一般式求二次函数的表达式 【过渡语】已知两点的坐标，可以确定一次函数，如何由不共线三点的坐标来确定二次函数呢? 在直角坐标系中，由不共线三点的坐标可以确定二次函数的表达式. 已知不共线的三点A(1，3)，B(2，-2)，C(-1，1)，怎样确定过这三点的二次函数y= ax2+bx+c的表达式呢? 联想用待定系数法求一次函数表达式的过程，小亮想到了用待定系数法求二次函数的表达式： 将A，B，C三点坐标代入y = ax2+bx+c,由题意得 解得 所求二次函数的表达式为. 师生活动：这个过程可以由学生自主解答，也可以教师解答让学生谈感受. 【大家谈谈】 用待定系数法求二次函数表达式的过程与求一次函数表达式的过程有哪些相同点与不同点？ 师生活动：学生先想再小组交流，教师进行必要总结指导. 相同点:两种方法都是先确定表达式的形式，再求出待定系数. 不同点:求一次函数表达式需要列出两个方程,求二次函数表达式一般需要列出三个方程. 【教材例题】 例 已知三点A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，求由这三点所确定的二次函数的表达式. 解：设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数表达式中，得 解得 所求二次函数表达式为y＝2x2－3x＋1. 【归纳总结】 已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 【探究2】设顶点式求二次函数的表达式 在二次函数y＝a(x－h)2＋k中,(h,k)就是抛物线顶点的坐标,若知道顶点坐标,再知道一个点的坐标,能求出函数的表达式吗？ 教师提出探究题,让学生讨论解决. 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)求这条抛物线的表达式. 解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入得3=a(0-4)2-1,解得a=， ∴这条抛物线的表达式为：y=(x-4)2-1. 【归纳总结】 在设二次函数表达式时，可设y=a(x-h)2+k.再代入一点的坐标求出a即可得到二次函数的表达式.这种方法称为顶点式法. 【探究3】设交点式求二次函数的表达式 【做一做】 在直角坐标系中，已知点A(，)，B(，0)，C(，0)，求由A，B，C三点所确定的二次函数表达式. 分析：B，C两点是二次函数图像与x轴的交点，所以可设该二次函数表达式为y=a（x-）（x+）. 解：设该二次函数表达式为y=a（x-）（x+）. 将点A(，)的坐标代入y=a（x-）（x+）中，得 =a（-）（+），解得a=. 所求二次函数表达式为y=（x-）（x+），可化简为 y=x2+x-. 【归纳总结】 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点式法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②把另一个点的坐标代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 同一直线上的三点不能构成抛物线，所以需要不共线的三点. 老师提示思路，可以让学生具体操作，锻炼学生会根据题目中不同条件设不同的解析式的能力. 通过二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k不同的形式,让学生学会运用待定系数法求二次函数表达式的同时,提高了学生学习数学知识的兴趣. 通过归纳用待定数法求二次函数表达式的一般方法和过程,使学生对知识的认识得到升华,同时,培养了学生的语言概括能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 设一般式求二次函数的解析式 【例1】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式． 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意得：解这个方程组得：∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4. 考点2 设顶点式求二次函数的解析式 【例2】已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3，依题意得：5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11. 考点3 依据对称轴求二次函数的解析式 【例3】已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式． 分析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数． 解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13. 考点4 用待定系数法求二次函数解析式的实际应用 【例4】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度t/℃ －4 －2 0 1 4 植物高度增长量 l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃. 解析：设l与t之间的函数关系式为l＝at2＋bt＋c，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：解得∴l＝－t2－2t＋49，即l＝－(t＋1)2＋50，∴当t＝－1时，l的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长． 答案：－1 通过例题讲解，巩固理解求二次函数表达式的不同方法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1.已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（　　） A．y＝x²-4x+3 B．y＝x²+4x+3 C.y＝x²﹣3x+4 D.y＝x²+3x+4 答案：A 2.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y=x2-2x+4 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2+2x+1 D．y=x2-2x+1 答案：A 3.已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的解析式为 　 　． 答案：y＝2x2+4x﹣1 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=-x2+bx+ c的图象经过点（-3，0）,（3，3），与y轴交于点C． （1）求抛物线C1的解析式； （2）将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为D，求△ODC的面积． 解：（1）∵y=-x2+bx+c的图象经过点（-3，0），（3，3），∴解得 ∴抛物线C1的解析式为y=-x2+x+. （2）∵y=--x2+x+=-（x-1）2+4， ∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4），y轴交于点C（0，）. ∵将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2， ∴抛物线C2的顶点D的坐标为（-2，2）， ∴△ODC的面积为×2×=． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法． 2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P40习题中的A组T1—T2，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数 提纲挈领，重点突出. 教后反思 1．本节课是选学内容,不作考试要求.从“形”上讲,不共线三点可以确定一条抛物线;从“数”上讲,二次函数有三个系数,需要三个方程来确定. 2.教学过程中，用待定系数法求二次函数解析式时，引导学生要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$