18.1.2 第1课时 平行四边形的判定（1）-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(人教版)

18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定（1） 课题 平行四边形的判定（1） 课型 新授课 教学内容 教材第45-46页的内容 教学目标 1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路. 2.掌握用两组对边或两组对角或两条对角线的关系判定平行四边形的方法，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证. 3.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证能力． 教学重难点 教学重点：平行四边形的判定方法的探究、运用． 教学难点：平行四边形的判定定理的灵活应用． 教 学 过 程 备 注 1.复习反思，引入新课 复习回顾(多媒体展示) 【问题1】通过前面的学习，我们对平行四边形已经有了一些了解，请说说你都知道了哪些? 师生活动:学生回答学习了平行四边形的概念“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，还有平行四边形的性质:对边相等，对角相等，对角线互相平分. 教师追问1：根据以往几何学习的经验，接下来我们应该研究什么呢? 师生活动:学生回答研究平行四边形的判定. 教师追问2：根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形.除了平行四边形的定义，我们如何寻找其他的判定方法呢? 2.经验类比，提出猜想 【问题2】回忆我们的学习经历，如勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定定理、平行线的判定等，我们有过类似的经验吗? 师生活动:在教师的引导下，回忆相关的知识，通过与相应图形性质定理的对比，得到启发：可以尝试从性质定理的逆命题出发研究图形的判定. 教师追问1:对于平行四边形，我们能否也可以通过研究性质定理的逆命题获得判定平行四边形的方法呢? 师生活动:教师顺势给出下表，待学生补充完善后形成猜想，并填入表格. 平行四边形的性质 平行四边形的判定 平行四边形的对边相等 猜想1： 平行四边形的对角相等 猜想2： 平行四边形的对角线互相平分 猜想3： 教师追问2:原命题正确，逆命题一定正确吗? 师生活动:学生回答不一定.教师适时提出得到的猜想是否正确必须经过逻辑推理才能确定. 3.理性思考，证明定理 【问题3】如何证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形？ 师生活动:师生共同画图，写出已知、求证、证明. 已知:如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:连接AC，如图. ∵AB=CD，AD=BC，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA. ∴∠2=∠1，∠3=∠4，∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 总结:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 【问题4】如何证明两组对角分别相等的四边形是平行四边形？ 师生活动:师生共同画图，探讨思路. 如图，在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，那么四边形ABCD一定是平行四边形吗?说说你的理由. 解：四边形ABCD一定是平行四边形.理由如下: ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°， ∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 【问题5】如何证明对角线互相平分的四边形是平行四边形？ 师生活动:教师引导学生画出图形，写出已知、求证. 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形. 教师追问:要证明AB//DC 以及AD//BC，根据平行线的判定，需要利用角的关系进行证明，你能得到相应的角的关系吗? 师生活动:学生回答可利用三角形全等证明内错角相等，从而得到两条直线平行.教师及时强调化四边形为三角形的思想.在此基础上师生共同完成证明过程. 小结:通过推理论证的真命题可以成为定理.我们把上述三个结论称为平行四边形的判定定理.加上平行四边形的定义，我们一共有四种判定平行四边形的方法. 4.学以致用，应用新知 考点1 利用两组对边分别相等判定四边形是平行四边形 【例1】已知四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，并且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是 ( ) A.任意四边形　　　　 B.平行四边形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 答案：B 考点2利用两组对角分别相等判定四边形是平行四边形 【例2】如图，AE，CF分别是▱ABCD的内角∠DAB，∠BCD的平分线.求证:四边形AECF是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD. 又∵∠1=∠DAB，∠2=∠BCD，∴∠1=∠2. ∵AD∥BC，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∴∠3=∠4， ∴∠5=∠6，∴四边形AECF是平行四边形. 考点3利用对角线互相平分判定四边形是平行四边形 【例3】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形． 思路点拨：根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO. 又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO. 又∵BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形． 5.随堂训练，巩固新知 （1）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2 答案：D （2）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件 (写一个即可)，使四边形ABCD为平行四边形． 答案：AD∥BC（答案不唯一） （3）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形． 证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD. ∴OE＝OF.∴四边形AFCE是平行四边形． （4）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.求证：四边形OPMN是平行四边形． 证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5， ∴OM2＋ON2＝42＋32＝25，MN2＝52＝25， ∴OM2＋ON2＝MN2.∴△MON是直角三角形，∠MON＝90°. ∴∠PMO＝∠MON＝90°. 在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x， 由勾股定理，得OM2＋MP2＝OP2，即42＋(11－x)2＝(x－3)2， 解得x＝8.∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3. ∴OP＝MN，MP＝ON.∴四边形OPMN是平行四边形． 6.课堂小结，自我完善 （1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种?这些方法是从什么角度去考虑的? （2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的?这样的探索过程对你有什么启发? 7.布置作业 教材P47练习第1，2，4题； 教材P50习题18.1第4，5题. 通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形判定问题. 从对命题的结构分析中提出猜想;在对原命题正确，而逆命题不一定正确的反思中体会证明的必要性. 帮助学生体会转化思想，即连接对角线将平行四边形问题转化成三角形问题．根据学生的认知水平，学生可能会在推理论证时遇到困难，教师应适当加以引导分析并规范书写推理论证的过程． 引导学生从定义出发，证明逆命题为真，理解平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分)和判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）都是从定义出发经过推理得到的真命题. 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，进一步加深对所学知识的理解和记忆． 板书设计 平行四边形的判定（1） 1．平行四边形的判定定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线相互平分的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的判定定理(1)的应用 例题 练习 教学反思 复习平行四边形的定义和性质，为引入判定做好铺垫，引导学生发现性质与判定的关系.本节课中判定的基本依据是平行四边形的定义.同时利用情景中的探究活动激发学生的思维.在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上． 学科网（北京）股份有限公司 $$