17.2 勾股定理的逆定理-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(人教版)

17.2 勾股定理的逆定理 课题 勾股定理的逆定理 课型 新授课 教学内容 教材第31-33页的内容 教学目标 1.了解互逆命题和互逆定理的概念． 2.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程． 3.会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用． 4.会认识并判别勾股数． 教学重难点 教学重点：勾股定理的逆定理及其应用． 教学难点：勾股定理的逆定理的证明． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入新课 【问题1】前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗? 师生活动:师生共同回忆勾股定理，请同学指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系. 教师追问:我们知道一个直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.反过来，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢?今天我们一起来研究这个问题. 【问题2】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗？ 师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合理的推断．教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论． 2.发现探究，学习新知 【实验操作】(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位:cm）画出三角形:①2.5，6，6.5;②6，8，10. （2）量一量:用量角器测量上述各三角形的最大角的度数. （3）想一想:请判断这些三角形的形状，并提出猜想. 师生活动：教师指导学生按要求画出三角形，并计算三边的数量关系，如2.52＋62=6.52，62+82=102.接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°.在此基础上用《几何画板》软件展示具有a2+b2=c2的三条线段(长度可变，数量关系不变)，并以这三条线段为边作三角形，通过度量发现在最大角都为90，并提出猜想，得到命题2: 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 【问题3】命题1和命题2有怎样的联系？ 教师追问1：命题1和命题2的题设、结论分别是什么？ 师生活动：通过比较题设和结论，引出逆命题的概念，理解逆命题的概念及互逆命题之间的关系. 教师追问2：如何证明命题2？ 师生活动：学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过多媒体资源（或板书）显示图形、已知及求证. 已知:如图，△ABC的三边长a， b，c满足a2+b2=c2. 求证:△ABC是直角三角形. 【问题4】要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°.由命题的已知条件，能直接证明吗? 教师追问:对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办? 师生活动:教师启发，如果能证明△ABC与一个以a，b为直角边长的Rt△A'BC'全等，那么就证明了△ABC是直角三角形.为此，我们可以先构造 Rt△A'B'C'. 如图，在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2， ∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形． 归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.这个定理称为勾股定理的逆定理． 【问题5】(1)如果原命题成立，那么逆命题也一定成立吗？ (2)你能举出互为逆定理的例子吗？ 师生活动：教师出示问题，学会分组探究．教师深入各小组进行帮助和指导．教师汇总学生的讨论结果． 教师引导学生注意在比较中重新认识勾股定理和勾股定理的逆定理： 勾股定理 勾股定理的逆定理 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 题设 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c 三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 这个三角形是直角三角形 用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法 3.学以致用，应用新知 考点1 利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形 【例1】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a＝15，b＝8，c＝17； (2)a＝13，b＝14，c＝15. 解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289， 所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形． (2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225， 所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形． 师生活动：学生说出问题(1)的判断思路，教师板书详细解答过程，部分学生板演问题(2).教师纠正学生出现的问题，最后介绍勾股数的概念. 在活动中教师应重点关注:(1)学生的解题过程是否规范.(2)是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较.(3)是否理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足以下两个条件:①以三个数为边长的三角形是直角三角形;②三个数必须是正整数. 考点2 勾股定理逆定理的实际应用 【例2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 nmile，“海天”号每小时航行12 nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30. ∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90° 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°，则∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 4.随堂训练，巩固新知 （1）以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有( ) ①3，4，5;②1，2，4;③32，42，52;④6，8，10. A.1个 　　　　B.2个 　　　　C.3个 　　　　D.4个 答案：B （2）下列各命题的逆命题成立的是( ) A.对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C.若a＝b，则|a|＝|b| D．全等三角形的对应角相等 答案：B （3）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，且满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是 ( ) A.直角三角形 　B.锐角三角形 C.钝角三角形 　D.等腰直角三角形 答案：A （4）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝2，∠BAC＝45°. ∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°. 5.课堂小结，自我完善 （1）什么是勾股定理的逆定理？如何表述？ （2）判断一个三角形是不是直角三角形有哪些方法？ （3）什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？ 6.布置作业 教材P33练习第1-3题； 教材P34习题17.2第1-5题. 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题. 介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣. 教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论，这种测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何探索过程. 引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务. 本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形.联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点. 通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，进一步理解互逆命题(定理)的概念及互逆命题之间的关系. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，即勾股定理的逆定理及其运用. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 及时反馈教与学双边活动的结果，查缺补漏，培养学生养成系统整理知识的好习惯． 板书设计 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 2.互逆命题与互逆定理 3.勾股数 例题 练习 教学反思 在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求知欲．课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率．学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆． 学科网（北京）股份有限公司 $$