第08讲 投影（3个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第08讲 投影（3个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 知识点2．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 知识点3．视点、视角和盲区 （1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点． （2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角． （3）盲区：视线到达不了的区域为盲区． 题型强化 题型一、平行投影 1．（九年级·安徽淮南·阶段练习）下列现象不属于投影的是（   ） A．皮影 B．素描画 C．手影 D．树影 【答案】B 【知识点】平行投影 【分析】根据投影的概念，皮影、树影、手影都是由光线照射形成的，都是投影，而素描画不满足，不是投影，即可得到答案． 【详解】根据平行投影的概念可知，素描画不是光线照射形成的， 故选：B． 【点睛】本题考查了投影的概念，掌握知识点是解题关键． 2．（九年级上·安徽宿州·期末）操场上的篮球架上的篮球板长1.8m,高1.2m,当太阳光与地面成45°角投射到篮板时，它在地面上留下的阴影部分的面积为 ． 【答案】2.16m² 【知识点】平行投影 【分析】根据平行投影，篮板在地面上的阴影部分为矩形，此矩形的长等于篮板长，为1.8m，由于太阳光与地面成45°角，根据等腰直角三角形的性质得矩形的宽等于篮板宽，为1.2m，然后根据矩形得面积公式求解． 【详解】因为太阳光线是平行光线， 所以篮板在地面上的阴影部分为矩形，此矩形的长等于篮板长，为1.8m， 由于太阳光与地面成45°角，则矩形的宽等于篮板宽，为1.2m， 所以篮板长留在地面上的阴影部分面积=1.8×1.2=2.16（m2）． 故答案为2.16m2． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．太阳光线是平行光线． 3．（九年级下·安徽·单元测试）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上． (1)请在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF； (2)若AB＝5米，CD＝3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长． 【答案】(1)图形见解析； (2)木杆AB的影长是米． 【知识点】平行投影 【详解】试题分析：(1)在太阳光下的投影为平行投影，所以两根木杆与影长的对应顶点的连线平行，由此画出平行线即可. (2)设木杆AB的影长为 ，根据同一时刻木杆的高度与影长成比例，可得 ，求解即可. 试题解析：(1)如图所示． (2)设木杆AB的影长BF为x米，由题意得 ，解得 . 所以木杆AB的影长是米． 题型二、中心投影 4．（九年级下·全国·单元测试）如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（   ） A．越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化 【答案】B 【知识点】中心投影 【分析】作图连线，即可找出规律，进行判断. 【详解】由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短， 故选：B． 【点睛】 本题考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度． 5．（九年级上·山东济南·阶段练习）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，同一时刻测得DE影长为4.5m，则DE＝ m． 【答案】6 【知识点】中心投影 【分析】根据平行投影的性质可先连接AC，再过点D作交地面于点F，DF即为所求，根据平行的性质可知，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长. 【详解】，，，， ， ， . 故答案为6. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质. 6．（九年级下·安徽蚌埠·期中）如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面． （1）在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度； （2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的取值范围吗？ 【答案】（1）作图见解析，影子DE的长度为3米；（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化规律为：先变长，后变短；当木棒CD与经过C'点的光线垂直时，影子DE'最长，3米≤影长≤5米． 【知识点】中心投影 【分析】（1）根据中心投影即可在图中画出木棒CD的影子，根据三角形相似即可求出它的长度； （2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化先变长，后变短，根据相似三角形的性质即可求出其影长的取值范围． 【详解】如图， （1）DE即为木棒CD的影子， 根据题意，得 AB=6，CD=3，BD=3． ∵CD∥AB，∴ 即， 解得：DE=3． 所以影子DE的长度为3米； （2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时， 其影子的变化规律为：先变长，后变短； 当木棒CD与经过C'点的光线垂直时，影子DE'最长． 如图DC'⊥AE'，∴∠E'C'D=∠ABE'=90°， ∠C'E'D=∠AE'B，∴△E'C'D∽△E'BA， ∴ 即BE'=2C'E' 设C'E'=x，则BE'=2x， ∴DE'=BE'﹣BD=2x﹣3， 在Rt△DE'C'中，根据勾股定理，得(2x﹣3)2=32+x2 解得：x=0或4， ∴DE'=5， 所以其影长的取值范围是：大于或等于3米，小于或等于5米． 【点睛】考查了中心投影的应用，解题关键是确定影子的最长时点C的位置． 题型三、正投影 7．（九年级下·安徽·单元测试）如图所示，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4m，A′B′＝2，则AB与A′B′的夹角为(    ) A．45° B．30° C．60° D．以上都不对 【答案】B 【知识点】正投影 【详解】解：将线段AB平移，使A点与 点重合，则在 中， ，所以. 故选：B. 8．（九年级下·全国·单元测试）我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面 ，这种投影称为正投影． 【答案】垂直 【分析】根据正投影定义解答即可． 【详解】在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这种投影叫正投影， 故答案为垂直． 【点睛】本题考查了正投影的定义，掌握平行投影的分类及不同投影的定义是解题的关键． 9．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 【答案】见解析 【知识点】正投影 【分析】本题考查作正投影，关键是在画图时要弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线． 【详解】投影线从前向后的正投影是带有两条线的矩形，如图． 题型四、视点、视角和盲区 10．（九年级·全国·专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 【答案】C 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案． 【详解】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C. 【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大． 11．（九年级下·全国·单元测试）小猫在一片废墟中玩耍时发现一只小老鼠，当小老鼠位于点A、B、E和点 时，不易被小猫发现，因为这些点位于小猫的 ，如图所示． 【答案】 C 盲区 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】根据盲区的定义，作出盲区，然后从图上找到位于盲区内的点即可求解． 【详解】分别以小猫的眼睛为端点，分别作出图上3个障碍物后的盲区，通过图示可看出位于盲区内的位置分别是：B，C，A，E． 故答案为C； 原因：这些点位于小猫的盲区． 故答案为C，盲区． 【点睛】本题考查了盲区的定义和盲区的作图．解决本题的关键是根据盲区的定义正确的画出小猫的盲区图． 12．（九年级下·全国·单元测试）如图，是一座商厦的俯视图，AB是正面，一位顾客由远及近走近商厦的过程中，他看到的商厦的侧面个数与区域的范围的情况是怎样的？请在图中画图说明． 【答案】详见解析. 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】根据视点，视角和盲区的定义，画出图形可解决． 【详解】由图可知，在1区域时看到3个侧面，在2区域时只能看到一个侧面，因此看到的侧面由三个面到一个面． 【点睛】此题主要考查视点，视角和盲区． 分层练习 一、单选题 1．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ） A．正方形 B．平行四边形或线段 C．矩形 D．菱形 【答案】B 【分析】根据平行投影定义即可解题. 【详解】解：∵太阳光线属于平行投影, 当正方形和阳光不垂直时,正方形各边依然互相平行 ∴阳光下的投影为平行四边形, 当正方形和阳光垂直时,正方形各边重合, ∴阳光下的投影为线段 故选B. 【点睛】本题考查了平行投影,属于简单题,注意分类讨论是解题关键. 2．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ 　） A．FG B．FH C．EH D．EF 【答案】D 【详解】由图可知，点A、E是对应顶点， 点B、F是对应顶点， 点D、H是对应顶点，所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF， 故选D. 3．中心投影的投影线（    ） A．相互平行 B．交于一点 C．是异面直线 D．在同一平面内 【答案】B 【解析】略 4．如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，请你将它们按时间先后顺序进行排列（    ） A．①②③④ B．①③④② C．②①④③ D．④②①③ 【答案】D 【分析】根据不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向的改变规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 【详解】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：④②①③． 故选∶D． 【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 5．将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状一定不是（　　） A．三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得到正确的选项. 【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，则矩形的纸片在太阳光下的影子得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段，不可能为三角形. 故选A. 【点睛】本题考查了平行投影的特点. 6．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m.同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 （ ） A．1.25m B．10m C．20m D．8m 【答案】C 【详解】设该旗杆的高度为xm， 根据题意得，1.6：0.4=x：5， 解得：x=20（m）． 即该旗杆的高度是20m． 故选：C． 7．灯光下的两根小木棒A和，它们竖立放置时的影子长分别为和，若．则它们的高度为和满足（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】直接根据中心投影的特点作答即可． 【详解】解：∵两根小木棒距离点光源的位置不同， ∴影长的大小不能确定物体的高低． 故选D． 【点睛】本题考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 8．如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH．若量得米，米，则立柱CD的高为（    ）． A．2.5m B．2.7m C．3m D．3.6m 【答案】A 【分析】将太阳光视为平行光源，可得，MD=HE，即可得CM的值，故计算CD=CM+DM即可． 【详解】如图所示，过D点作BG平行线交FE于点H，过E点作BG平行线交CD于点M ∵BG//ME//DH ∴∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90° ∴，MD=HE ∴ ∴ ∴CD=CM+DM=1+1.5=2.5 故答案选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判断即性质，由太阳光投影判断出平行关系进而求得相似是解题的关键． 9．下列说法错误的是（    ） A．高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．方程x2＝x的根是x1＝0，x2＝1 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据中心投影的性质、菱形的判定定理、矩形的判定定理及解一元二次方程的方法对各选项进行判断即可. 【详解】A.高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长，正确，不符合题意， B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故该选项错误，符合题意， C.方程x2＝x的根是x1＝0，x2＝1，正确，不符合题意， D. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意， 故选B. 【点睛】本题考查中心投影的性质、菱形和矩形的判定及解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键. 10．如图所示是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下形成的影子是（    ） A．①和② B．②和④ C．③和④ D．②和③ 【答案】D 【分析】根据光线相交的是灯光光线，光线平行的不是灯光光线逐个判断． 【详解】连接并延长每个标杆影子的末端与标杆的顶端，射线相交的是灯光下形成的影子，不相交的不是灯光下形成的影子． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的定义是解决此类问题的关键． 二、填空题 11．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的 、 完全相同． 【答案】 形状 大小 【详解】根据平行投影特点，当物体的某个面平行于投影面时，即光线垂直这个面；这个面的正投影与这个面的形状、大小相同． 故答案为形状；大小 12．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行投影的知识，根据此时为正午点方向，得出垂直于晷针，再根据平行投影得出，得出结论即可，熟练掌握平行投影的知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知，垂直于晷针， ∵投影为平行投影， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，迎宾公园的喷水池边上有半圆形的石头（半径为1.12m）作为装饰，其中一块石头正前方5.88m处有一彩灯，某一时刻，该灯柱落在此半圆形石头上的影长为0.56πm．如果同一时刻，一直立0.6m的杆子的影长为1.8m，则灯柱的高 m． 【答案】 【分析】如图，OC=OD=1.12m，BD=5.88m，CD的弧长为0.56πm，先利用弧长公式计算出∠DOC=90°，则OC⊥OD，作CE⊥AB于E，则CE=OB=OD+BD=7m，BE=OC=1.12m，接着利用相似比得到，解得AE=，然后计算AE+BE即可． 【详解】 解：如图，OC=OD=1.12m，BD=5.88m，CD的弧长为0.56πm， 设∠COD=n°，则=0.65π，解得n=90， 即∠DOC=90°， ∴OC⊥OD， 作CE⊥AB于E，则CE=OB=OD+BD=1.12m+5.88m=7m，BE=OC=1.12m， ∵同一时刻，一直立0.6m的杆子的影长为1.8m， ∴， ∴AE=， ∴AB=AE+BE=+1.12=（m）， 即灯柱的高为（m） 故答案为：（m）． 【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了弧长公式． 14．一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口． 【答案】3 【分析】根据给出的两个物高与影长即可确定光源的位置； 【详解】如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口， 故答案是3． 【点睛】本题主要考查了中心投影，准确分析判断是解题的关键． 三、解答题 15．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部沿方向走20步到处，发现自己的影子端点落在点处，作好记号后，从点沿方向走4步恰好到达点处，此时他影子的端点在点处，已知在同一水平线上，路灯的灯泡在上，，小王的步间距保持一致． (1)请在图中画出灯泡和影子端点的位置； (2)估计灯泡的高，并求出影长的步数． 【答案】(1)答案见详解； (2)路灯的高为9米，影长为步． 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质， （1）如图所示，延长交路灯灯柱于点O，再连接并延长交延长线于点Q即可； （2）先证明，利用相似三角形对应边成比例可求出，同理证，利用相似三角形对应边成比例求出． 熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，路灯O和影子端点Q为所求； （2）解：根据题意知：，步，步，， ， ， ，即， 解得； ， ， 即， 解得； 答：估计路灯的高为9米，影长为步． 16．数学兴趣小组的同学要测算一盏路灯灯泡的高度． (1)小华（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在同一盏路灯下的影长如图所示，请找出该路灯灯泡的位置； (2)小华身高，影长，小明身高，形长，小华和小明两人相距，求该盏路灯灯泡的高度． 【答案】(1)答案见解析 (2)9米 【分析】本题考查中心投影及其测高，涉及中心投影定义、相似三角形判定与性质等知识，读懂题意，由中心投影定义作出图形确定该路灯灯泡的位置是解决问题的关键． （1）连接并延长、连接并延长，两条延长线交于一点，即为该路灯灯泡的位置，如图所示； （2）由题意，结合（1）中图形可知，利用相似比，代值列方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 图中点为该路灯灯泡的位置； （2）解：由题意，结合（1）中图形可知， 由得到，则①， 由得到，则②； 联立①②，解方程组得， 该盏路灯灯泡的高度为9米． 17．如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2 米）落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是 4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62米要长．” （1）你认为谁的说法对?并说明理由； （2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度． 【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）8米． 【分析】（1）画出解题示意图，利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可； （2）利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可； 【详解】解：（1）小强的说法对； 根据题意画出图形，如图所示， 根据题意，得， ∵DE=0．3米， ∴（米）． ∵GD∥FH，FG∥DH， ∴四边形DGFH是平行四边形， ∴米． ∵AE=4．42米， ∴AF=AE+EH+FH=4．42+0．18+0．2=4．8（米）， 即要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是4．8米， ∴小强的说法对； （2）由（1）可知：AF=4．8米． ∵， ∴米． 答：树的高度为8米． 【点睛】本题考查了太阳光下的平行投影问题，准确理解影长的意义，灵活运用同一时刻，物高与影长成正比是解题的关键． 18．（1）如图①，BE，DF，MN是三根直立于地面的木杆在同一灯光下的影子，请画出第三根木杆，（画出示意图，不用写画法） （2）如图②，小明在阳光下利用标杆AB测量校园内一棵小树CD的高度，在同一时刻测得标杆的影长BE为2 m，小树的影长落在地面上的部分DM为3 m，落在墙上的部分MN为1 m，若标杆AB的长为1.5 m，求小树的高度CD．                 图①                             图② 【答案】(1)见解析；(2) 小树的高度CD为3.25 m． 【分析】（1）连接EA与FC相交于一点，连接该点与点N，过点M作MP垂直于这条直线于点P，PM即所求； （2）根据同一时刻物体的高与影长成正比，先求出小树落在教学楼上的影长落在地面上时的长度，再根据小树的高度与影长的比等于标杆的高度与影长的比，列出比例式求解即可. 【详解】（1）连接EA与FC相交于一点，连接该点与点N，过点M作MP垂直于这条直线于点P， 如图，PM为第三根木杆． （2） 解：由题意可知，． 即． 解得，， 由，得 ． 解得． 答：小树的高度CD为3.25 m． 【点睛】本题考查的是中心投影的相关知识，了解同一时刻物体的高与影长之间的关系是解题的关键. 19．如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 【答案】(1)女孩的影子的长为1米 (2)平方米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案． （2）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， 答：女孩的影子的长为1米； （2）解：∵女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点）， ∴人影扫过的图形的面积平方米． 20．如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米） (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 【答案】(1)线段 (2)米 (3)米 【分析】本题考查相似三角形的应用， （1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）证明，利用对应边成比例可得长； （3）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度； 解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子； （2）根据题意知：，，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：王琳站在处在路灯下的影长为米； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度为米． 21．数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1．5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2．4米，台阶的高度均为0．3米，宽度均为0．5米．求大树的高度． 【答案】米 【分析】根据平行投影性质可得：；. 【详解】解：延长交于点，延长交于． 可求，． 由，可得． ∴． 由，可得． 所以，大树的高度为3．45米． 【点睛】考核知识点：平行投影.弄清平行投影的特点是关键. 22．新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他想测量学校旗杆的高度. 方案如下： 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 侧倾器、皮尺 测量图例 测量方法 在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此刻量出小华的影长；然后，在旗杆落在地面的影子上的点处，安装测倾器，测出旗杆顶端的仰角． 测量数据 小华的影长，小华身高，顶端的仰角为，侧倾器高，，旗台高． 说明 点、、、在同一水平直线上，点、、在同一条直线上，、、均垂直于参考数据：． 请你根据上述信息，求旗杆的高度 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题考查测高，涉及三角函数测高、利用太阳光测高、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，设，在中，解直角三角形得到，从而求出相关线段长，再根据，由相似列式求解即可得到答案，掌握测高题型及解法是解决问题的关键． 【详解】解：过作，如图所示： 设，则， ， ， 在中，，解得， ，即， 在太阳光下，，则， ，解得， 答：旗杆的高度为． 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意，即可解答； （2）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到； （3）①根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论； （2）②先计算出，，，再利用（1）中结论得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是． 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴； ②∵， 而， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 投影（3个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 知识点2．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 知识点3．视点、视角和盲区 （1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点． （2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角． （3）盲区：视线到达不了的区域为盲区． 题型强化 题型一、平行投影 1．（九年级·安徽淮南·阶段练习）下列现象不属于投影的是（   ） A．皮影 B．素描画 C．手影 D．树影 2．（九年级上·安徽宿州·期末）操场上的篮球架上的篮球板长1.8m,高1.2m,当太阳光与地面成45°角投射到篮板时，它在地面上留下的阴影部分的面积为 ． 3．（九年级下·安徽·单元测试）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上． (1)请在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF； (2)若AB＝5米，CD＝3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长． 题型二、中心投影 4．（九年级下·全国·单元测试）如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（   ） A．越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化 5．（九年级上·山东济南·阶段练习）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，同一时刻测得DE影长为4.5m，则DE＝ m． 6．（九年级下·安徽蚌埠·期中）如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面． （1）在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度； （2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的取值范围吗？ 题型三、正投影 7．（九年级下·安徽·单元测试）如图所示，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4m，A′B′＝2，则AB与A′B′的夹角为(    ) A．45° B．30° C．60° D．以上都不对 8．（九年级下·全国·单元测试）我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面 ，这种投影称为正投影． 9．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 题型四、视点、视角和盲区 10．（九年级·全国·专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 11．（九年级下·全国·单元测试）小猫在一片废墟中玩耍时发现一只小老鼠，当小老鼠位于点A、B、E和点 时，不易被小猫发现，因为这些点位于小猫的 ，如图所示． 12．（九年级下·全国·单元测试）如图，是一座商厦的俯视图，AB是正面，一位顾客由远及近走近商厦的过程中，他看到的商厦的侧面个数与区域的范围的情况是怎样的？请在图中画图说明． 分层练习 一、单选题 1．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ） A．正方形 B．平行四边形或线段 C．矩形 D．菱形 2．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ 　） A．FG B．FH C．EH D．EF 3．中心投影的投影线（    ） A．相互平行 B．交于一点 C．是异面直线 D．在同一平面内 4．如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，请你将它们按时间先后顺序进行排列（    ） A．①②③④ B．①③④② C．②①④③ D．④②①③ 5．将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状一定不是（　　） A．三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 6．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m.同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 （ ） A．1.25m B．10m C．20m D．8m 7．灯光下的两根小木棒A和，它们竖立放置时的影子长分别为和，若．则它们的高度为和满足（　　） A． B． C． D．不能确定 8．如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH．若量得米，米，则立柱CD的高为（    ）． A．2.5m B．2.7m C．3m D．3.6m 9．下列说法错误的是（    ） A．高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．方程x2＝x的根是x1＝0，x2＝1 D．对角线相等的平行四边形是矩形 10．如图所示是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下形成的影子是（    ） A．①和② B．②和④ C．③和④ D．②和③ 二、填空题 11．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的 、 完全相同． 12．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 ． 13．如图，迎宾公园的喷水池边上有半圆形的石头（半径为1.12m）作为装饰，其中一块石头正前方5.88m处有一彩灯，某一时刻，该灯柱落在此半圆形石头上的影长为0.56πm．如果同一时刻，一直立0.6m的杆子的影长为1.8m，则灯柱的高 m． 14．一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口． 三、解答题 15．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部沿方向走20步到处，发现自己的影子端点落在点处，作好记号后，从点沿方向走4步恰好到达点处，此时他影子的端点在点处，已知在同一水平线上，路灯的灯泡在上，，小王的步间距保持一致． (1)请在图中画出灯泡和影子端点的位置； (2)估计灯泡的高，并求出影长的步数． 16．数学兴趣小组的同学要测算一盏路灯灯泡的高度． (1)小华（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在同一盏路灯下的影长如图所示，请找出该路灯灯泡的位置； (2)小华身高，影长，小明身高，形长，小华和小明两人相距，求该盏路灯灯泡的高度． 17．如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2 米）落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是 4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62米要长．” （1）你认为谁的说法对?并说明理由； （2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度． 18．（1）如图①，BE，DF，MN是三根直立于地面的木杆在同一灯光下的影子，请画出第三根木杆，（画出示意图，不用写画法） （2）如图②，小明在阳光下利用标杆AB测量校园内一棵小树CD的高度，在同一时刻测得标杆的影长BE为2 m，小树的影长落在地面上的部分DM为3 m，落在墙上的部分MN为1 m，若标杆AB的长为1.5 m，求小树的高度CD．                 图①                             图② 19．如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 20．如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米） (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 21．数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1．5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2．4米，台阶的高度均为0．3米，宽度均为0．5米．求大树的高度． 22．新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他想测量学校旗杆的高度. 方案如下： 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 侧倾器、皮尺 测量图例 测量方法 在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此刻量出小华的影长；然后，在旗杆落在地面的影子上的点处，安装测倾器，测出旗杆顶端的仰角． 测量数据 小华的影长，小华身高，顶端的仰角为，侧倾器高，，旗台高． 说明 点、、、在同一水平直线上，点、、在同一条直线上，、、均垂直于参考数据：． 请你根据上述信息，求旗杆的高度 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$