江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期终教学质量调研测试数学试卷

江苏省无锡市2025届高三上学期期终教学质量调研测试数学题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，，，则    A. B. C. D. 2.设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为    A. B. C. 1 D. 2 3.“”成立的充分不必要条件是    A. B. C. D. 4.在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中x的系数为    A. 40 B. 80 C. D. 5.已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为    A. 3 B. 6 C. D. 6.已知向量，，满足，，且，则向量与的夹角是    A. B. C. D. 7.已知，，则    A. B. C. D. 5 8.若定义在R上的函数满足，是奇函数，且，则的值为    A. 42 B. 45 C. 420 D. 483 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则(    ) A. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D. “在抽到有代数题的条件下，两道题都是代数题”的概率是 10.在棱长为2的正方体中，点P是线段上的动点，则    A. 平面 B. C. 存在点P，使得 D. 三棱锥的体积为定值 11.函数下列说法中正确的有    A. 函数是偶函数 B. ，使为周期函数 C. 当，时，的极小值为1 D. 当，时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量服从正态分布，且，则______. 13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______. 14.数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去.若使前n次操作后所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数n的最小值为          ，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为           四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 某学校对男女学生是否经常锻炼进行了抽样调查，统计得到以下列联表. 男生 女生 合计 经常锻炼 120 不经常锻炼 100 180 合计 200 请完成表格，并判断有多大的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关； 为了鼓励学生经常参加体育锻炼，采用分层抽样的方法从调查的不经常锻炼的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取4人参加座谈会，求“男女生都有人参会”的概率； 用频率估计概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中经常锻炼的人数为X，求X的数学期望. 附表： 附： 16.本小题12分 如图，四棱柱的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面底面ABCD，，，E是线段BC的中点. 求证：平面； 求二面角的余弦值. 17.本小题12分 已知函数 若在处有极小值，求的单调递增区间； 若函数的图像与直线相切，求实数c的值. 18.本小题12分 已知椭圆C：的右焦点为，且过点，直线l与椭圆C交于P，Q两点. 求椭圆C的方程； 若四边形APFQ是平行四边形，求直线l的方程； 若的内心在直线AF上，求证：直线l过定点. 19.本小题12分 从数列中选取第k项、第项、…第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. 求的值，并判断数列的“连续子列”是否是等比数列； 证明：； 若数列满足，且，数列的“连续子列”所有项的和记为，求，并求出满足的所有k和m的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查交集与补集的混合运算，属于基础题. 由补集与交集运算，即可求解. 【解答】 解：因为全集，集合， 所以 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查复数的基本概念，属于基础题. 首先化简复数，根据纯虚数的定义即可得解. 【解答】 解：因为复数为纯虚数， 所以， 所以 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了充分不必要条件的应用，属于基础题. 由题意利用不等式的性质，对数函数的单调性，指数函数的单调性，利用充分不必要条件的概念逐项进行判定. 【解答】 解：对于由可得，不能得出，故A错误； 对于由可得，能得出，但不能得出，故B正确； 对于由可得，是的充要条件，故C错误； 对于由，若，，不能得出，故D错误. 故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数． 【解答】 解：根据的展开式中，二项式系数的和为， 而的展开式中， 通项公式为， 令，求得，可得展开式中x的系数为 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查抛物线方程，双曲线的简单性质，以及点到直线的距离，属于基础题． 根据抛物线的准线方程可得c，再由，得出a、b，再根据点到直线距离公式即可求出结果. 【解答】解：由抛物线，得，则， 因为抛物线的准线方程为， 则由题意知双曲线中， 又双曲线的一条渐近线方程的斜率为， 所以，解得， 可得：顶点到渐近线的距离 故选 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量垂直的性质以及数量积运算和夹角的求解. 利用向量垂直的数量积为0列出方程，再利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．  【解答】 解：设向量和的夹角为   ，  ，解得， 又因为，则， 所以，即，   ，   ， ，   . 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查两角和与差的三角函数公式，属于中档题. 已知，，利用两鱼差的正切公式，可求得。利用两角和的正弦公式和同角三角函数关系，将化简为。将，代入，计算得到结果为。 【解答】 解：已知，， 则， 可得， 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了抽象函数的周期性，奇偶性，对称性的综合应用，属于中档题． 由已知可得函数为周期函数，得到，，，的值，进而即可求解， 【解答】 解：根据，以代换x得：， 所以，可知函数的周期为4， 因为是R上的奇函数，所以，即关于点对称， 于是，， 由， 令，所以，，，，， 于是 故选 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了互斥事件，独立事件的定义，及条件概率的计算，属于中档题. 根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断 【解答】 解：对于A，“第1次抽到代数题”这个事件发生与否对事件“第2次抽代数题”发生的概率有影响， “第1次抽到代数题”发生时，“第2次抽到代数题”的概率是 ， “第1次抽到代数题”不发生时，“第2次抽到代数题”的概率是 ，它们不独立；A错误； 对于B，“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，它们互斥，B正确； 对于C，第1次抽到代数题且第2次也抽到几何题的概率是，C正确； 抽取两次都是几何题的概率是 ，因此有代数题的概率是 ， 对于D，在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是，D正确． 故选： 10.【答案】AB  【解析】解：在正方体中，易得，因为BD不在平面内，在平面内，所以平面，同理可证平面，又，且在平面，故平面平面， 对A选项，因为BP在平面内，所以平面，故A正确； 对B选项，因为，，， 且，， 即，， 因为，均在平面内， 所以平面， 因为BP在平面内， 所以，故B正确； 对C选项，在正方体中，棱长为2，取的中点为M， 则，所以BP的最小值为，故C错误； 对D选项，在正方体中，易得平面， 因为点P是线段上的动点， 故点P到平面的距离为2， 所以三棱锥的体积为，故D错误. 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的恒成立问题，考查函数的奇偶性和周期性，较难. 【解答】 解：对A选项，函数， 所以，，故A正确； 对B选项，因为是周期函数，不是周期函数，故B错误； 对C选项，当，， ， 所以，， 令，解得或或，， 所以在上单增，在上单减， 在上单增，在上单减，则的极小值为，故C正确； 对D选项，令，， 则， 设，则， 设，则， 当时，， 所以，即在上单调递增， 所以， 所以，即在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立，故D正确. 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正态分布的概率计算，正态曲线的性质，是基础题. 由正态曲线的性质，先求得，进而可求解. 【解答】 解：因为， 所以，又， 所以， 解得，则， 故 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两角和的正弦公式，三角形面积，正弦定理，属于中档题. 利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得，求出A和C，利用正弦定理求出c，结合三角形面积公式即可求解. 【解答】 解：， 因为， 即， 即， 因为， 则，， 因为A为三角形内角，故，则， 因为，所以， ， 故 14.【答案】 ；   【解析】解：第一次操作去掉的区间长度为  第二次操作去掉两个长度为 的区间，长度和为  第三次操作去掉四个长度为 的区间，长度和为  第n次操作去掉 个长度为 的区间，长度和为  于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为      ， 由题意，  ，即n     ，化简得 ，又n为整数，所以n的最小值为10； 如图，第八次操作后，最左边区间为， 则第十次操作后，从左到右第四个区间如图， 此时每个小区间长度为，， 所以从左到右第四个区间为 15.【答案】 列联表如下表所示： 男生 女生 合计 经常锻炼 120 100 220 不经常锻炼 80 100 180 合计 200 200 400 ，又， 所以有的把握认为是否经常锻炼与性别有关. 采用分层抽样的方法从调查的不经常的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人 数为4，女生的人数为5， 再从这9人中抽取4人参加座谈会，“男生女生都有人参会”的概率为， 由知，任抽1人经常锻炼的概率，依题意，x∽，所以X的数学期望是  【解析】本题主要考查离散型随机变量期望的求解，以及独立性检验公式，属于中档题． 根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解； ①根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及对立事件概率和为1，即可求解． ②结合二项分布的概率公式，即可求解． 16.【答案】解：连接并交于点F，连接如图， 由四棱柱可知，是平行四边形， 所以F是线段D1C的中点， 因为E是线段BC的中点，所以1. 又因为平面，平面，所以 D1平面 过作于点如图， 则， 所以O是AD的中点，且 因为，侧面底面ABCD，平面，平面平面，所以平面ABCD， 同理可证，平面， 以O为原点，过O与AB平行的直线为x轴，OD、所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，取， 设平面的法向量为，因为， 所以，取， 由题意，，， 因此，二面角的余弦值为  【解析】本题考查线面平行的判定定理，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题. 由线面平行的判定定理可得； 建立坐标系，求得平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量公式可得二面角的余弦值. 17.【答案】解：， 因为在处有极小值，所以， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增. 所以在处有极小值，即 所以的单调递增区间为和 设函数的图像与直线相切与点， 则，得或 若，则，不合题意; 所以，即， 又， 两式相减得，解得舍去或， ，所以  【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值和导数的几何意义，是中档题. 利用导数研究单调性，根据在处有极小值，得出c的值，再得出函数的单调性； 由题意得，结合，联立得出c的值. 18.【答案】解：由题意得，解得，， 所以C的方程为 因为APFQ是平行四边形， 所以线段PQ的中点为， 设1，y1，， 则，两式相减得， 所以，1， 所以，直线I的斜率， 因此，所求直线l的方程为，即 因为的内心在直线AF上，所以，即直线FP和FQ的斜率互为相反数，且直线l的斜率存在. 设直线，联立， 消去y得，， 于是，， 因为， 所以， 即， 整理得，  于是，，整理得，， 所以，直线l的方程为，即过定点  【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、点差法、直线过定点问题，属于中档题. 由题得，椭圆C过点，故，解方程组即可求出椭圆C的标准方程. 若四边形APFQ是平行四边形，故对角线互相平分，即AF的中点为PQ的中点，再用点差法即可求得直线l的方程. 内心是三角形的三个内角的角平分线的交点，若的内心在直线AF上， 则AF为的角平分线，所以，即直线FP和FQ的斜率互为相反数， 易得直线l的斜率存在，设直线，联立方程组即可求得， 再利用，即可求得，故直线过定点 19.【答案】解：由题意，则，，是公比为2的等比数列，且， 所以，， 又，，是公比为的等比数列，，，，不是等比数列.  由题意，，，是公比为的等比数列，所以，  所以， 因此，数列是常数列， 由题意得，， 所以 ，，令，， 则，又， 所以， 所以，数列的“连续子列”所有项的和， ， 因此， 由，得， 解得， 所以， 逐一检验，可得所有k和m的值为或  【解析】本题考查数列的新定义问题，难题. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$