7.4 平移（讲练）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）

平移的概念及性质 概念 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移 要素 一是平移的方向,二是平移的距离 性质 平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同 对应边平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)相等 注意： 1、平移的方向是任意的，不限于水平的或竖直的，但必须是直线方向；平移的距离是指连接对应点线段的长度。 2、“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别:前者是由原图形上的点与平移后图形上的对应点连接而成的;而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形之中,是图形的一条边。 【基础练习】 【练习1-1】下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有B选项符合要求， 【练习1-2】如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿直线向右平移得到， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 利用平移作图的一般步骤 定 确定平移的方向和距离 找 找出图形的关键点 作 过这些关键点作与平移方向平行的线段，使这些平行线段的长度都等于平移的距离 连 按原图形顺序连接关键点的对应点 提示：对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等是平移作图的依据. 【基础练习】 【练习2-1】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 【答案】(1)图见解析，平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点连线的关系． 【详解】（1）解：如图，即为所画， 平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． （2）解：由平移的性质得，． 【练习2-2】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、．    (1)画出平移后的（保留作图痕迹）； (2)线段、之间位置及数量关系是__________； (3)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等； (3)见解析 【解析】 【分析】（1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可； （2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出，； （3）根据点B平移到点A是上移4个单元格，右移2个单元格，可得点C向上平移得到的对应点，连接并延长，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所作；   ； （2）解：如图，由平移的性质即可得出，． 故答案为：平行且相等； （3）解：如图所示． 【典例】如图所示的图案分别是四种汽车的车标，其中可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是理解平移变换的定义，属于中考基础题． 根据平移变换的定义可得结论． 【详解】解：由平移变换的定义可知，选项C可以看作由“基本图案”经过平移得到的， 故选：C． 【变式1-1】把如图所示的“调皮”表情进行平移，能得到的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据平移定义可知： “调皮”表情进行平移，能得到的图形是， 故选：C. 【变式1-2】2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在杭州举行，杭州会徽的标志如下图所示，以下通过平移这个标志得到的图形是（    ） A． B． B．C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移后的图形的方向，大小，形状都不变，进行判断即可． 【详解】解：∵平移后的图形的方向，大小，形状都不变， ∴B图形是通过平移这个标志得到的图形； 故选B． 【典例】下列运动属于平移的是（    ） A．荡秋千 B．地球绕着太阳转 C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动 【答案】D 【解析】 【详解】A．荡秋千不属于平移，故本选项不符合题意；     B．地球绕着太阳转不属于平移，故本选项不符合题意； C．风筝在空中随风飘动不属于平移，故本选项不符合题意；     D．急刹车时，汽车在地面上的滑动属于平移，故本选项符合题意； 故选D． 【变式2-1】下列生活现象中，属于平移现象的是（    ） A．急刹车时汽车在地面滑行 B．风车的转动 C．足球在草地上滚动 D．钟摆的摆动 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移运动，掌握定义是解题的关键．“将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动”，根据平移的定义，对选项进行一一分析即可． 【详解】解：A、急刹车时汽车在地面滑行，是平移现象，故本选项符合题意； B、风车的转动，是旋转运动，不属于平移，故本选项不符合题意； C、足球在草地上滚动，方向变化，不符合平移的定义，故本选项不符合题意； D．钟摆的摆动，不沿直线运动，是旋转运动，不属于平移，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】下列现象是数学中的平移的是（    ） A．汽车里的人随汽车在笔直的公路上行驶 B．秋天的树叶从树上随风飘落 C．“北斗”卫星绕地球运动 D．电风扇的叶片慢慢转动 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断即可． 【详解】解：A．汽车里的人随汽车在笔直的公路上行驶属于平移，故符合题意； B．秋天的树叶从树上随风飘落，既有平移也有旋转，故不符合题意； C．“北斗”卫星绕地球运动，属于旋转，故不符合题意； D．电风扇的叶片慢慢转动，属于旋转，故不符合题意； 故选：A． 方法技巧：判断平移的方法 判断两图形之间的变换是不是平移时，只要看对应点所连线段是否平行(或在同一条直线上)且相等.若是,则是平移。 【典例】如图，沿BC方向平移到的位置，若，，则平移的距离是( ) A.6 B.2 C.1 D.3 【答案】D 【解析】 【详解】由平移的性质可得， ，即 ，， ， ，即平移的距离是3， 故选D. 【变式3-1】如图，△DEF可以看作是△ABC沿直线BC平移得到的．如果AB＝9，DG＝5，那么线段GE的长是（　　） A．2.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形平移的性质得出AB＝DE，进而可得出结论． 【详解】解：∵△DEF可以看作是△ABC沿直线BC平移得到的，AB＝9，DG＝5， ∴AB＝DE， ∴GE＝DE﹣DG＝AB﹣DG＝9﹣5＝4． 故选：B． 【变式3-2】在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，然后得到四边形的周长等于的周长与的和，代入数据计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴，， ∴四边形的周长的周长， 故选：． 【典例】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（    ） A．60 B．96 C．84 D．42 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可得，，梯形是直角梯形， ∴． ∵，， ∴， ∵平移距离为6， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-1】如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-2】如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】40 【解析】 【详解】解：如图， 由平移得：，，， ∴，， 即阴影部分是长为，宽为的长方形， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：40． 【典例】如图，某大酒店在装修时，准备在主楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价35元．楼梯宽2米，则地毯的长度为 米，购买这种地毯至少需 元．    【答案】 9 630 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形， 再求得其面积， 则购买地毯的钱数可求. 【详解】如图，    利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为米，米，故地毯的长度为米， 地毯的面积为平方米,， 故购买这种地毯至少需元. 故答案为：；. 【变式5-1】如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 【答案】18 【解析】 【分析】据平移的性质，地毯的长度实际是所有台阶的长加上台阶的高，因此结合题目的条件可得出答案． 【详解】解：根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的水平长度＋台阶的高， 则红地毯至少要(米)． 故答案为：． 【变式5-2】如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯.已知这种地毯每平方米售价160元，主楼梯道宽2.5m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元. 【答案】3200 【解析】 【详解】由题意得： ， （元）， 购买地毯至少需要3200元， 故答案为：3200. 【典例】如图，将沿方向平移，得到，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，角的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据题意可知平移前后对应角相等，即可得到，再利用角度的运算即可得到的度数． 【详解】解：∵沿方向平移，得到，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式6-1】如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】A 【解析】 【详解】由平移得， ， ， 故选：A. 【变式6-2】如图，一把直尺沿直线断开并发生平移，点，，，在同一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：一把直尺沿直线断开并发生平移，则， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【典例】（1）画出三角形平移后的三角形．（与为对应点，保留作图痕迹） （2）过点作的垂线交于点E． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了基础作图： （1）作，取，依次连接，即可求解； （2）延长，过点作的垂线交于点E，即可求解； 熟练掌握基础作图是解题的关键． 【详解】解：（1）作， 取，依次连接， 如图所示，即为所求： （2）延长，过点作的垂线交于点E， 如图所示，即为所求： 【变式7-1】如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为： ， ， ； (2)画出平移后三角形； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【解析】 【分析】本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是根据平移的特点准确作出图形，第三问的解题方法同学们可以参考一下，求解不规则图形面积的时候可以先补全，再减去． （1）先画出平移后的图形，结合直角坐标系可得出三点坐标； （2）根据平移的特点，分别找到各点的对应点，顺次连接即可得出答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）结合所画图形可得：坐标为，点坐标为，坐标为． 故答案为：，，； （2）所画图形如下： （3）． 【变式7-2】如图，在5×5的网格中，每个小方格的边长为1，将三角形ABC向右平移三格，再向上平移两格，得到三角形A1B1C1． （1）画出三角形A1B1C1； （2）求三角形A1B1C1的面积． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所求； （2）三角形A1B1C1的面积＝2×3﹣2××1×2﹣×1×3＝． 方法技巧： 1、(1)图形的平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小; (2)确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其上一个点平移的方向和距离即可. 2、以“点”概“全”定平移法 解决图形的平移问题时，先找到一组对应点，根据这组对应点分析移的方向和距离，由此确定图形平移的方向和距离。 3、网格中平移作图的关键是借助网格,根据已知的平移要求找到对应点的位置，然后顺次连接其对应点，得到平移后的几何图形。 易错警示：把握不准平移的方向和距离而出错 平移作图时，首先确定平移的方向和距离，然后找到原图形的关键点，并按照平移的方向和距离确定这些关键点的对应点，最后将所确定的对应点对照原图形顺次连接起来，进而得到平移后的图形。 【典例】如图，平移得到，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由平移的性质可知：，，， 故选项A，B，D正确. 故选：C. 【变式8-1】如图，已知直线，，点、在边上，且满足，平分．    (1)求的度数； (2)若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化的规律；若不变，求出这个比值． 【答案】(1) (2)不变化，:的值恒等于: 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义解答即可； （2）根据平移的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ，平分， ，， ， ∴，即， ； （2）解：不变化 因为平行移动， ∵， ， ∵， ， ：的值恒等于：． 【变式8-2】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论： ①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD， 其中正确的有 　 　． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据图形平移的性质对各小题进行解答即可． 【详解】解：∵三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF， ∴AD∥BE，BE＝AD，故①④正确； ∵AD∥BE，BE＝AD， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠B＝∠ADE，故②正确； ∵∠BAC＝90°， ∴∠EDF＝90°， ∴ED⊥DF， ∵AC∥DF， ∴DE⊥AC，故③正确． 故答案为：①②③④． 【典例】政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【解析】 【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键． （1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决； （2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可； （3）代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形， 则， 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 则， 故答案为：，； （2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形， 则； （3）当，时， ， 因为铺草地平均每平方米需要花费元， 所以铺设这块草地一共需要花费（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费元． 【变式9-1】图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米）在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）；在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 【变式9-2】如图，直线，点A在直线m上，线段在直线n上，构成，把向右平移线段长度的一半得到（如图①），再把向右平移线段长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是 ．    【答案】8084 【解析】 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：观察图可得，第1个图形中大三角形有2个，小三角形有2个， 第2个图形中大三角形有4个，小三角形有4个， 第3个图形中大三角形有6个，小三角形有6个， … ∴第n个图形中大三角形有个，小三角形有个． ∴第2021个图形中三角形的个数是：个． 故选：D． 1.荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称，平移，旋转 【答案】B 【解析】 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移， 故选：B． 2.下列运动属于平移的是（ ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、冷水加热过程中小气泡变成大气泡不属于平移，故不符合题意； B、乘电梯从一楼到十楼属于平移，故符合题意； C、随风飘动的树叶在空中的运动不属于平移，故不符合题意； D、钟表上走动的分针不属于平移，故不符合题意； 3.如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，继而得出，从而根据得解． 【详解】解：根据平移的性质可得：， 则 又，， ； 故选：C 4.如图，将周长为8的沿方向向右平移单位得到，四边形的周长为13，则平移的距离为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移前后对应边相等得出，进而得出，再根据平移前后对应点连线的长度等于平移距离，即可得出． 【详解】解：∵沿方向向右平移单位得到， ∴，， ∵周长为8， ∴， ∵四边形的周长为13， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（   ）平方米． A．36 B．42 C．56 D．都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．直接利用平移方法，将三条道路平移到图形的一侧，进而求出即可． 【详解】解： （平方米）． 故种植花草的面积是42平方米． 故选：B 6.如图，点，在直线上，直线外有一点，连接，，，是钝角，将三角形沿着直线向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质．掌握平移的性质和恰当分类是解题的关键． 分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ， ， ． 当点在的延长线上时， ∵， ， ， ． 故选：C． 7.如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是16； ④； 其中正确结论的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 【详解】解：设与的交点为H，如图所示： ∵，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接， ∴根据平移的性质知，，，，，故①正确； ∵， ∴，则，故②正确； ∵，， ∴四边形的周长为 ，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∴正确的个数有4个； 故选：D． 8.将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 【答案】B 【解析】 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为40，可得，， 解得：， 如图，∵图2中长方形的周长为58， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ ； 故选：B． 9.一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出，，，试着计算出折线（即楼梯表面）的长度为 ．    【答案】 【解析】 【分析】楼梯长度的和等于楼梯的水平宽度与垂直高度的和． 【详解】解：如下图，过点，，作，，交于点，，，过点，，作，，交于点，，，    由图可知：，，，， ，，，， 折线， 故答案为：． 10.如图，中，．将向右平移得到，边经过的中点．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）连结，则．其中正确的结论有 ．(写出所有正确结论的序号) 【答案】（1）（3）（4） 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质、三角形的外角性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质、三角形的外角性质判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， 故（1）（3）（4）结论正确； 由三角形的外角性质可知，，不一定等于，故（2）结论错误； 故答案为：（1）（3）（4）． 11.如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵从点看，向右移动格，向上移动格即可得到， ∴将向右平移格，再向上平移格得到． 故答案为：， 12.如图所示一个长方形纸片，按图中所示剪成A、B、C、D四块，图中各实线段的长度如图所示，这四块纸片可重新拼成一个正方形．其拼法是：B、D不动，A往下平移3个单位，再往右平移4个单位，则C应往 平移 个单位，再往 平移 个单位． 【答案】 下 9 右 12 【解析】 【分析】首先拼剪正方形，然后利用平移变换的性质求解． 【详解】解：如图，正方形EFGH即为所求． 观察图象可知，C应往下平移9个单位，再往右平移12个单位． 故答案为：下，9，右，12． 13.如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是 ．    【答案】20 【解析】 【分析】利用平移的性质得到，，利用等量代换得到四边形的周长． 【详解】∵向右平移得到， ∴，， ∴四边形的周长． 故答案为：20． 14.将三角形经过平移得到三角形，点和，和，和是对应点，如果，，那么 ， ． 【答案】 /度 /厘米 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质，对应角相等和对应边相等求解即可，解题的关键是熟练掌握平移的性质对应角相等和对应线段平行且相等． 【详解】解：∵三角形经过平移得到三角形， ∴，， 故答案为：；． 15.如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移，线段的和差，解决问题的关键是熟练掌握平移的性质，线段和差的计算．根据平移性质得到，结合，推出． 【详解】解：的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的， ， ， ， 故答案为：． 16.在长为，宽为的一块长方形草坪上修了一条宽的笔直小路（如图a），则草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为的弯路（如图b），则此时余下草坪的面积为 ．    【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可知，图a和图b中的阴影部分面积都可以看做一个长为，宽为的长方形面积，据此求解即可 【详解】解：根据题意由平移的性质可得图a和图b中的阴影部分面积都可以看做一个长为，宽为的长方形面积， ∴图a的草坪的面积可表示为， 图b余下草坪的面积为， 故答案为：，． 17.如图所示是一个楼层的俯视图，中间阴影部分是两条通道，这两条通道把楼层隔出四个小房间，根据图示信息，这四个小房间的总面积可表示为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考出来了平移的性质，根据平移的性质可得，这四个小房间的总面积等于一个长为，宽为的长方形面积，据此可得答案． 【详解】解：由平移的性质可得，这四个小房间的总面积等于一个长为，宽为的长方形面积， ∴这四个小房间的总面积可表示为， 故答案为：． 18.如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)作出三角形向右平移5格，向上平移2格后所得的三角形； (2)，判断与的位置关系，并求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)位置关系：，16 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、平行线的判定，熟练掌握平移的性质以及平行线的判定是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质得到，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；    （2），四边形的面积． 19.如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形沿着方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形，其中． (1)求四边形的面积； (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质： （1）由平移知，，则，因为三角形的面积=三角形的面积，推出四边形的面积四边形的面积，利用梯形面积公式求解即可； （2）由平移知，，，则，再利用角的和与差求解即可． 【详解】（1）解：由平移知，， ∴， ∵三角形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积四边形的面积； （2）解：由平移知，，，    ∴，， ∵， ∴． 20.如图1，已知线段、线段被直线所截于点、点，，的度数是的倍少．    (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点在上，点是上的一点，连接，，，求的度数； (3)如图3，点是线段上一点，点是射线上一点，度数为，度数为，度数为，请直接写出、、之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】 【分析】（1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）过作，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可； （3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可． 【详解】（1）证明：，的度数是的倍少， ， ， ， ； （2）过作，    ， ， ， ， ； （3）， 与（）同理可得：， ， ， ，， ， . 即． 21.图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          22.如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、平行线的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）①如图2，过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3：过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论．③结合①②即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ①如图2，过D作交于F， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，如图3：过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵,即, ∴，解得：； 如图4，过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，或； ③如图3，∵， ∴， ∴，即； 如图4，∵， ∴， ∴，即； 同理，当在下方时，． 综上所述，或或． 故答案为：或∠EDQ=∠Q−∠E或 23.探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【解析】 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 1.（2022·广西·中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，得 不能由平移得到， 故A不符合题意； 不能由平移得到， 故B不符合题意； 不能由平移得到， 故C不符合题意； 能由平移得到， 故D符合题意； 故选D． 2.（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（　　）    A．  B． C．   D．   【答案】B 【解析】 【详解】解：观察图形可知，B中图形能由图形通过平移得到，A，C，D均不能由图形通过平移得到； 故选B． 3.（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 【答案】B 【解析】 【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到， 故平移后点与点重合，则的平移距离为， 故选：B． 4.（2023·四川南充·中考真题）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵沿方向平移至处． ∴， 故选：A． 5.（2023·山东淄博·中考真题）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    【答案】6 【解析】 【详解】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6； 故答案为：6    学科网（北京）股份有限公司 $$ 平移的概念及性质 概念 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移 要素 一是平移的方向,二是平移的距离 性质 平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同 对应边平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)相等 注意： 1、平移的方向是任意的，不限于水平的或竖直的，但必须是直线方向；平移的距离是指连接对应点线段的长度。 2、“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别:前者是由原图形上的点与平移后图形上的对应点连接而成的;而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形之中,是图形的一条边。 【基础练习】 【练习1-1】下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（   ） A． B． C． D． 【练习1-2】如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 利用平移作图的一般步骤 定 确定平移的方向和距离 找 找出图形的关键点 作 过这些关键点作与平移方向平行的线段，使这些平行线段的长度都等于平移的距离 连 按原图形顺序连接关键点的对应点 提示：对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等是平移作图的依据. 【基础练习】 【练习2-1】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 【练习2-2】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、．    (1)画出平移后的（保留作图痕迹）； (2)线段、之间位置及数量关系是__________； (3)过点作的平行线． 【典例】如图所示的图案分别是四种汽车的车标，其中可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】把如图所示的“调皮”表情进行平移，能得到的图形是( ) A. B. C. D. 【变式1-2】2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在杭州举行，杭州会徽的标志如下图所示，以下通过平移这个标志得到的图形是（    ） A． B． B．C． D． 【典例】下列运动属于平移的是（    ） A．荡秋千 B．地球绕着太阳转 C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动 【变式2-1】下列生活现象中，属于平移现象的是（    ） A．急刹车时汽车在地面滑行 B．风车的转动 C．足球在草地上滚动 D．钟摆的摆动 【变式2-2】下列现象是数学中的平移的是（    ） A．汽车里的人随汽车在笔直的公路上行驶 B．秋天的树叶从树上随风飘落 C．“北斗”卫星绕地球运动 D．电风扇的叶片慢慢转动 方法技巧：判断平移的方法 判断两图形之间的变换是不是平移时，只要看对应点所连线段是否平行(或在同一条直线上)且相等.若是,则是平移。 【典例】如图，沿BC方向平移到的位置，若，，则平移的距离是( ) A.6 B.2 C.1 D.3 【变式3-1】如图，△DEF可以看作是△ABC沿直线BC平移得到的．如果AB＝9，DG＝5，那么线段GE的长是（　　） A．2.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式3-2】在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【典例】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（    ） A．60 B．96 C．84 D．42 【变式4-1】如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式4-2】如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【典例】如图，某大酒店在装修时，准备在主楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价35元．楼梯宽2米，则地毯的长度为 米，购买这种地毯至少需 元．    【变式5-1】如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 【变式5-2】如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯.已知这种地毯每平方米售价160元，主楼梯道宽2.5m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元. 【典例】如图，将沿方向平移，得到，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【变式6-2】如图，一把直尺沿直线断开并发生平移，点，，，在同一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例】（1）画出三角形平移后的三角形．（与为对应点，保留作图痕迹） （2）过点作的垂线交于点E． 【变式7-1】如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为： ， ， ； (2)画出平移后三角形； (3)求三角形的面积． 【变式7-2】如图，在5×5的网格中，每个小方格的边长为1，将三角形ABC向右平移三格，再向上平移两格，得到三角形A1B1C1． （1）画出三角形A1B1C1； （2）求三角形A1B1C1的面积． 方法技巧： 1、(1)图形的平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小; (2)确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其上一个点平移的方向和距离即可. 2、以“点”概“全”定平移法 解决图形的平移问题时，先找到一组对应点，根据这组对应点分析移的方向和距离，由此确定图形平移的方向和距离。 3、网格中平移作图的关键是借助网格,根据已知的平移要求找到对应点的位置，然后顺次连接其对应点，得到平移后的几何图形。 易错警示：把握不准平移的方向和距离而出错 平移作图时，首先确定平移的方向和距离，然后找到原图形的关键点，并按照平移的方向和距离确定这些关键点的对应点，最后将所确定的对应点对照原图形顺次连接起来，进而得到平移后的图形。 【典例】如图，平移得到，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是( ) A. B. C. D. 【变式8-1】如图，已知直线，，点、在边上，且满足，平分．    (1)求的度数； (2)若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化的规律；若不变，求出这个比值． 【变式8-2】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论： ①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD， 其中正确的有 　 　． 【典例】政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【变式9-1】图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米）在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）；在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【变式9-2】如图，直线，点A在直线m上，线段在直线n上，构成，把向右平移线段长度的一半得到（如图①），再把向右平移线段长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是 ．    1.荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称，平移，旋转 2.下列运动属于平移的是（ ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 3.如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 4.如图，将周长为8的沿方向向右平移单位得到，四边形的周长为13，则平移的距离为 ． 5.如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（   ）平方米． A．36 B．42 C．56 D．都不对 6.如图，点，在直线上，直线外有一点，连接，，，是钝角，将三角形沿着直线向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 7.如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是16； ④； 其中正确结论的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 9.一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出，，，试着计算出折线（即楼梯表面）的长度为 ．    10.如图，中，．将向右平移得到，边经过的中点．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）连结，则．其中正确的结论有 ．(写出所有正确结论的序号) 11.如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 12.如图所示一个长方形纸片，按图中所示剪成A、B、C、D四块，图中各实线段的长度如图所示，这四块纸片可重新拼成一个正方形．其拼法是：B、D不动，A往下平移3个单位，再往右平移4个单位，则C应往 平移 个单位，再往 平移 个单位． 13.如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是 ．    14.将三角形经过平移得到三角形，点和，和，和是对应点，如果，，那么 ， ． 15.如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点，，，则线段的长为 ． 16.在长为，宽为的一块长方形草坪上修了一条宽的笔直小路（如图a），则草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为的弯路（如图b），则此时余下草坪的面积为 ．    17.如图所示是一个楼层的俯视图，中间阴影部分是两条通道，这两条通道把楼层隔出四个小房间，根据图示信息，这四个小房间的总面积可表示为 ． 18.如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)作出三角形向右平移5格，向上平移2格后所得的三角形； (2)，判断与的位置关系，并求四边形的面积． 19.如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形沿着方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形，其中． (1)求四边形的面积； (2)连接，若，，求的度数． 20.如图1，已知线段、线段被直线所截于点、点，，的度数是的倍少．    (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点在上，点是上的一点，连接，，，求的度数； (3)如图3，点是线段上一点，点是射线上一点，度数为，度数为，度数为，请直接写出、、之间的数量关系．（本题的角均小于） 21.图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 22.如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 23.探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 1.（2022·广西·中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（　　）    A．  B． C．   D．   3.（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 4.（2023·四川南充·中考真题）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（    ）    A．2 B． C．3 D．5 5.（2023·山东淄博·中考真题）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    学科网（北京）股份有限公司 $$