精品解析：江苏省凤凰传媒职业学校职教高考联盟2024-2025学年高二上学期期末数学试题

凤凰传媒职业学校职教高考联盟 2024—2025学年度高二年级调研考试 数学试卷 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑） 1. 命题“如果，那么”的逆命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量.若与垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则复数（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和，则该数列的通项（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两直线平行 B. 垂直于同一平面的两直线平行 C. 平行于同一平面的两直线平行 D. 垂直于同一平面的两平面平行 8. 在等差数列中，前15项的和，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 9. 在正方体中，面对角线和所成的角为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为抛物线内一点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知向量，则__________. 12. 已知复数，则__________. 13. 正四棱锥体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为__________. 14. 已知等比数列的前项和为，且，则实数的值为__________. 15. 已知椭圆的两个焦点分别为和为椭圆上一点，且，则的面积为__________. 三､解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知向量，且. （1）求向量的坐标. （2）. 17. 已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且复数满足关系式. （1）求复数及实数的值； （2）计算. 18. 如图，在三棱锥中，. （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：. 19. 已知数列为等差数列，为其前项和，且，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同的渐近线， （1）求双曲线标准方程. （2）双曲线是否存在以点为中点的弦，若存在求出该弦所在的直线方程，若不存在，请说明理由. 21. 已知复数的对应点为，且满足 （1）判断点的轨迹； （2）求的最大值和最小值； （3）求点到直线的最大距离和最小距离. 22. 已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值. 23. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， （1）求点的轨迹曲线方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的值； （3）在（2）的条件下求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤凰传媒职业学校职教高考联盟 2024—2025学年度高二年级调研考试 数学试卷 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑） 1. 命题“如果，那么”的逆命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆命题的概念，结合题意，即可求解. 【详解】由题意，命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据赋值法和不等式的基本性质结合充分性必要性的概念判断即可. 【详解】当时，满足，但，故充分性不成立， 当时，，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知向量.若与垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量垂直的坐标表示，结合题意即可求解. 【详解】因为向量， 所以， 又与垂直， 所以， 所以. 故选：B. 4. 已知，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算先求解，再由共轭复数的概念即可求解复数. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C. 5. 已知数列的前项和，则该数列的通项（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的关系求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 又，也适合上式， ∴，. 故选：C. 6. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的焦距求出值，根据两条直线垂直求出双曲线一条渐近线的斜率，结合即可得解. 【详解】由题意可知，， 直线，则斜率为， 所以双曲线的一条渐近线的斜率为，则， 又因为，解得，则， 所以双曲线方程为， 故选：. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两直线平行 B. 垂直于同一平面的两直线平行 C. 平行于同一平面的两直线平行 D. 垂直于同一平面的两平面平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面位置关系及线面垂直的性质即可解得． 【详解】垂直于同一直线的两直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A错误； 根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两直线平行，故B正确； 平行于同一平面的两直线可能相交，可能平行，也可能异面，故C错误； 垂直于同一平面的两平面可能相交，也可能平行，故D错误. 故选：B. 8. 在等差数列中，前15项的和，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解. 【详解】在等差数列中，前15项的和， ，∴. 故选：C. 9. 在正方体中，面对角线和所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将异面直线通过平行直线平移成相交直线，再根据正方体的性质即可得解. 【详解】连接与， 因为在正方体中，， 所以和所成的角即为和所成的角， 又，，为正方体的面对角线，且， 所以为等边三角形，即， 所以面对角线和所成的角为. 故选：C. 10. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为抛物线内一点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由三点共线即最小求解即可. 【详解】由抛物线方程可得， 焦点坐标，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 若使最小，则有点三点共线，如图： 当时，，解得， 所以此时点，， 所以的最小值为. 故选：B. 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知向量，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及内积的坐标表示即可求解. 【详解】∵，∴， ∴. 故答案为：15. 12. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算及模的公式计算即可. 【详解】，则. 故答案为：. 13. 正四棱锥体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由锥体的体积公式求出正四棱锥的高，再由二面角的定义即可求解. 【详解】设正四棱锥的底面中心为，底面边长为， ∵底面对角线的长为，∴，即， ∵正四棱锥体积为12，高为， ∴，解得， 取边中点M，连接， 则， 可得为侧面与底面所成的二面角， ∴， ∵，∴． 于是得侧面与底面所成的二面角为． 故答案为：． 14. 已知等比数列的前项和为，且，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和，结合等比中项的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列的前项和为，且， 所以，，， 所以，即， 解得. 故答案为：. 15. 已知椭圆的两个焦点分别为和为椭圆上一点，且，则的面积为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意求得，进而利用椭圆的定义与勾股定理得到的关系式，进而得到的值，再利用直角三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为椭圆的方程为，则，，， 所以，设， 由椭圆的定义，得，则， 又因为，所以， 所以，即， 所以的面积为. 故答案为：. 三､解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知向量，且. （1）求向量的坐标. （2）. 【答案】（1）或 （2）5 【解析】 【分析】（1）由题意设，结合求解即可； （2）利用向量的坐标运算及模的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，设， ，， 又，，解得， 或． 【小问2详解】 当时，，则， 当时，，则． 17. 已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且复数满足关系式. （1）求复数及实数的值； （2）计算. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入，利用复数相等求得，则是方程的另一个根，然后利用韦达定理求解； （2）利用复数的运算及模的公式求解. 【小问1详解】 设， ，， ，解得，， 又因为复数是关于的实系数一元二次方程的一个根， 所以复数是关于的实系数一元二次方程的另一个根， 由韦达定理得，，解得. 【小问2详解】 由（1）得，. 18. 如图，在三棱锥中，. （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：. 【答案】（1）. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（）由线面垂直的判定及线面角的定义找出直线与平面所成的角，结合题意即可得解. （）根据线面垂直的判定及性质即可得解. 【小问1详解】 ，，平面，平面， 平面，直线在平面上的射影为， 即为直线与平面所成的角， ，则为等腰直角三角形， . 所以直线与平面所成的角为. 【小问2详解】 ， 平面，平面，， 又，平面，平面， 平面，平面， . 19. 已知数列为等差数列，为其前项和，且，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式求出首项和公差，即可求解通项公式. （2）先求解出数列的通项公式，再由裂项相消的求和方式求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为， ， ，解得， ， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ①， ②， ①②得，，， ，也满足， 又， ， ， 所以数列的前项和. 20. 双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同的渐近线， （1）求双曲线标准方程. （2）双曲线是否存在以点为中点的弦，若存在求出该弦所在的直线方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆的方程确定焦点，再由双曲线的方程确定渐近线，再由列方程求出的值即可. （2）首先设过的直线方程为或，再讨论是否成立，当直线斜率存在时，联立直线方程与双曲线方程，并用韦达定理表示出， 再由中点坐标公式列方程，求出，再验证是否成立即可. 【小问1详解】 由椭圆可知， ， 求得其焦点为， 又双曲线中，， 所以其渐近线为， 所以设双曲线标准方程为 ，解得 所以双曲线标准方程为. 【小问2详解】 设过的直线方程为或， 显然不满足条件， 所以当直线斜率存在时，有， 消去得， ， 以点为中点，则，解得， 又 当时，，所以双曲线不存在以点为中点的弦. 21. 已知复数的对应点为，且满足 （1）判断点的轨迹； （2）求的最大值和最小值； （3）求点到直线的最大距离和最小距离. 【答案】（1）点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. （2）最大值为，最小值为 （3）最大距离为，最小距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合复数模的计算，即可求解； （2）根据题意，结合复数的几何意义及点与圆的位置关系，利用两点之间的距离，即可求解； （3）根据题意，结合直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设， 又复数的对应点满足， 所以 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【小问2详解】 设圆的圆心为,则，半径， 所以, 所以，， 即的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 设圆心到直线的距离为， 则， 所以到直线的最大距离为，最小距离为. 22. 已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件列出方程组，求出数列的首项，公差或公比即可； （2）利用错位相减法求解； （3）数列是等比数列，利用等比数列前项和公式求出，进而可得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 依题意：， 又，得， 即，解得：， 所以. 【小问2详解】 ， ， ， 上面两式相减，得： ， 则， 即， 所以. 【小问3详解】 ∵，，， ∴数列是以1为首项，4为公比的等比数列， ∴， 由得，， 即. 23. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， （1）求点的轨迹曲线方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的值； （3）在（2）的条件下求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合两点之间的距离公式和点到直线的距离，即可列式求解； （2）根据题意，可设出直线方程，与曲线方程联立方程组，结合韦达定理，表示出，即可化简求值； （3）根据题意，结合韦达定理，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出三角形的面积. 【小问1详解】 由题意得， 平方得， 化简整理得， 所以点的轨迹曲线方程为； 【小问2详解】 设过点且斜率为的直线为， 由消得， 由韦达定理得， 因为， 所以，即， 所以， 即， 所以， 整理得，即， 解得，所以（经检验满足）. 【小问3详解】 由（2）得，当时，方程（*）为， 此时， 所以， 直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $