精品解析：北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2025北京延庆高二（上）期末 数学 2025.1 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数，复数的虚部为（ ） A. B. 3i C. 3 D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（ ） A. 平面 B. C. 二面角的大小为 D. 直线与平面所成角的大小不变 8. “”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方体中，，，，，，是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分 （非选择题 共110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 以为直径的两个端点的圆的标准方程是______． 12. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为______． 13. 已知直线与双曲线的一条渐近线垂直，则斜率的一个取值是______． 14. “中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为______，的值为______． 15. 已知曲线，点，下面有四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线与轴围成的封闭图形的面积大于； ③曲线上任意点满足； ④曲线与曲线的交点个数可以是个、个、个、个． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数. （1）若，当时，求的最大值和最小值及相应的； （2）若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间. 17. 在中，为钝角，，． （1）求； （2）若，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，为线段上的中点． （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使得平面，并求直线与平面所成角的正弦值和二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面． 19. 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且椭圆两个焦点之间的距离为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）如果过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，两点，求的面积； （3）如果过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，求直线的斜率． 20. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，． （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线斜率的取值范围； （3）判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论． 21. 设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合. （1）判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明） （2）若集合为集合，求出所有集合，并说明理由； （3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京延庆高二（上）期末 数学 2025.1 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数，复数的虚部为（ ） A. B. 3i C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法对复数进行化简，确定其虚部即可. 【详解】. 所以复数的虚部为. 故选：D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出双曲线的和，即得双曲线的离心率. 【详解】由题意得，，，所以双曲线的离心率为. 故选：A. 3. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离等于半径，列出方程即可得答案； 【详解】圆的标准方程为，有，解得或3． 故选：C 4. 已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，即； 再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求抛物线的焦点的坐标和准线方程，结合抛物线定义求结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 因为到直线的距离为， 所以到准线的距离为， 所以， 故选：A. 6. 已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】根据为等腰直角三角形，故, 故 ， 故选：B 7. 如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（ ） A. 平面 B. C. 二面角的大小为 D. 直线与平面所成角的大小不变 【答案】D 【解析】 【分析】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；先找出二面角的平面角为即可判断选项C，利用向量方法求直线与平面所成角的大小判断D. 【详解】对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，， ，，， 对于选项B：，， 因为， 所以，即， 故选项B正确； 因为，在棱上，所以二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，， 所以二面角的大小为， 故选项C正确， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的的正弦值为， 随的值的变换其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：D. 8. “”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论. 【详解】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得； 当时，方程表示焦点在轴上双曲线， 因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件. 故选：C. 9. 已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得到直线的距离小于或等于，从而建立关于的不等式，求解即可得到答案． 【详解】因为圆的方程为，整理得：， 所以，圆心为，半径． 又因为直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点， 所以，圆心到直线的距离小于或等于， ，化简得，解得，所以的最大值是． 故选：A． 10. 如图，在长方体中，，，，，，是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面中，以的中点为原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，求直线的方程，求点到直线的距离的最小值，结合三角形面积公式求结论. 【详解】在平面中，以的中点为原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系， 因为，，所以， 因为，，， 所以，，，，，， 因为的周长为，， 所以，所以点的轨迹为以为焦点的，长轴长为的椭圆， 设点的轨迹方程为， 则，， 所以点的轨迹方程为， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设点的坐标为，， 则点到直线的距离为， 其中， 所以点到直线的距离最小值为，此时， 又， 所以面积的最小值是. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键在于建立适当坐标系，将几何问题转化为解析问题，利用坐标法求解 第二部分 （非选择题 共110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 以为直径的两个端点的圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】求的中点坐标，求的长度，由此可得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为，即， ， 所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是. 故答案为：. 12. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求抛物线的焦点坐标，再求椭圆的焦点坐标，由条件列方程求，再求抛物线的准线方程. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 椭圆的焦点坐标为，， 由已知，所以， 所以抛物线的方程为，其准线方程为. 故答案为：. 13. 已知直线与双曲线的一条渐近线垂直，则斜率的一个取值是______． 【答案】或（两者填其一即可） 【解析】 【分析】由双曲线方程可求出渐近线方程，再由两直线垂直可得斜率. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为， 由直线与双曲线的一条渐近线垂直，所以可得， 解得. 故答案为：或（两者填其一即可） 14. “中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为______，的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由条件先确定的纵坐标，代入抛物线方程可得的横坐标，由条件结合抛物线定义求的值. 【详解】由已知，，， 所以点的纵坐标为，代入抛物线方程， 可得，所以点的横坐标为， 所以的坐标为， 又抛物线的准线方程为， 且， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 则，， 由抛物线定义可得，， 所以的值为， 所以的值为. 故答案为：，. 15. 已知曲线，点，下面有四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线与轴围成的封闭图形的面积大于； ③曲线上任意点满足； ④曲线与曲线的交点个数可以是个、个、个、个． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④. 【详解】①：在上时，也在上，曲线关于轴对称，故①对； ②：当，此时曲线是焦点为， 长轴长为的椭圆的左半部分及点， 当时，曲线的方程可化为， 对应的曲线为以为焦点的，实轴长为的双曲线位于轴右侧的部分， 所以封闭图形面积大于的面积，面积为，故②对； ③：当时 ，曲线的方程可化为， 当时，， 当 时，， 当时，， 综上，可知曲线上任意点满足，故③错误. ④：方程可化为， 代入可得， 当时，， 当时，该方程无解，当时，， 当或时，， 当或时，， 当时， ， 所以当或时，方程有一个正根， 当或时，方程没有正根， 所以当或时，曲线与曲线有两个交点， 当或时，曲线与曲线没有交点， 当时，可化为， 化简得， 当时，方程的根为（舍去） 当时，方程的根为， 当时，方程没有解， 当时，方程的根为（舍去）或， 当时，方程的根为或， 当时，方程的两个根为（舍去），（舍去）， 当时，方程两个根为（舍去），（舍去）， 当时，方程的两个根为，， 所以当或时，曲线与曲线没有交点， 当时，曲线与曲线有四个交点， 当或时，曲线与曲线有两个交点， 当时，曲线与曲线有三个交点， 综上：当或时，曲线与曲线有两个交点， 当或时，曲线与曲线有四个交点， 当时，曲线与曲线有三个交点， 当时，曲线与曲线没有交点，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：研究曲线的交点问题的关键在于联立方程组，探究方程组的解得个数，由此确定交点个数. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数. （1）若，当时，求的最大值和最小值及相应的； （2）若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间. 【答案】（1）最大值，，最小值，. （2） 【解析】 【分析】（1）由，倍角公式和辅助角公式可得，在结合可得； （2）先根据题意得到，由可得其单调递增区间. 【小问1详解】 ， 当时，， 由，可得， 当时，取最大值，此时， 当时，取最小值，此时. 【小问2详解】 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，且，所以， 由，得， 的单调递增区间为. 17. 在中，为钝角，，． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式以及正弦定理计算可得； （2）结合余弦定理和三角形面积公式计算可得面积. 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 得，则， 由正弦定理得， 解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 当时，由余弦定理， 得，即，解得， 则. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，为线段上的中点． （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使得平面，并求直线与平面所成角的正弦值和二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先根据几何性质得，进而可得平面； （2）条件①可判断错误，条件②、③建立空间直角坐标系，根据坐标法可得. 【小问1详解】 证明： 设交于点，连结. 因为底面为正方形，所以是中点，为线段上的中点 所以是的中位线， 所以，又平面，平面， 所以直线平面． 【小问2详解】 选择①，若平面，平面，则， 故，这与矛盾，故错误. 选择②，，又因为底面为正方形，， 可得，所以，所以平面， 以为原点，，，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 由，得； 设直线与平面所成角为． 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 设二面角的为，为钝角， 平面的法向量为， ， 二面角的余弦值为． 选择③，平面平面， 又因为平面平面，，平面， 所以平面， 以为原点，，，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 由，得； 设直线与平面所成角为． 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 设二面角的为，为钝角， 平面的法向量为， ， 二面角的余弦值为． 19. 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且椭圆两个焦点之间的距离为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）如果过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，两点，求的面积； （3）如果过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，求直线的斜率． 【答案】（1）， （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先设椭圆方程再利用焦点之间距离，及短轴长联立方程得到结果. （2）列过点且斜率为的直线与椭圆联立，求出三角形的高和底边. （3）设，利用“设而不求法”把OP⊥OQ转化为，求出 斜率k，即可求出直线方程. 【小问1详解】 由题意椭圆的焦点在轴上，标准方程设为 所以解得， 所以椭圆C的方程为， 椭圆离线率． 【小问2详解】 过点且斜率为的直线方程为， 联立得． 则，． 的高 【小问3详解】 当直线过点且斜率存在时，设方程为， 联立得． 则，． 因为过点的直线与椭圆相交于点，两点，且， 设，知成立， ，解得，经检验可知 当斜率不存在时，不成立. 20. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，． （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线斜率的取值范围； （3）判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）； （3）点在以为直径的圆的内部，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件结合离心率的定义及椭圆的性质列关于的方程，解方程求，由此可得椭圆方程； （2）解法一：设直线的方程为，，联立方程组结合根与系数关系求，，求直线的方程，代入求点的坐标，同理可求，由列不等式求的范围；解法二：设，联立方程组结合根与系数关系求，，求直线的方程，代入求点的坐标，同理可求，由列不等式求的范围； （3）证法一：先判断点在以为直径的圆的内部，再分别在直线的斜率不存在及直线l的斜率存在时，结合（2）证明，即，由此证明判断；证法二：先判断点在以为直径的圆的内部，再分别在直线的斜率不存在及直线l的斜率存在时，结合（2）证明，即，由此证明判断； 【小问1详解】 设椭圆方程的半焦距为， 根据题意得， 解得，， 因此椭圆； 【小问2详解】 解法一：根据第一问可得， 当直线的斜率存在时，设，其中． 联立，得（*） 显然方程*式的判别式，设， 则，． 直线的方程为， 令，得，即， 同理可得． 所以， 将代入整理得， ， 因为，所以， 解得； 当直线的斜率不存在时，有，， 直线的方程为， 令可得，即点的坐标为， 直线的方程为， 令可得，即点的坐标为， 此时， ． 综上所述，； 解法二：直线的斜率不为零，可设． 根据第一问可得， 联立，得． （*） 显然方程*式的判别式，设， 则，． 直线的方程为， 令，得，即，同理可得． 所以， 将代入整理得， ， 因为，所以，得，即 解得； 【小问3详解】 观察图象可判断，点在以为直径的圆的内部． 证法一：当直线的斜率不存在时，由（2）可知， 则，，故，即． 当直线的斜率存在时，可设，其中． 由（2）可知， ，， 且，． 所以，． 因为 ， 所以， 综上，点在以为直径的圆的内部． 证法二：因直线的斜率不为零，可设． 由（2）可知，，， 且，． 所以，． 因为 ， 所以，点在以为直径的圆的内部． 21. 设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合. （1）判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明） （2）若集合为集合，求出所有集合，并说明理由； （3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数． 【答案】（1）集合是集合，集合不是集合 （2）或，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由集合的定义即可得出答案； （2）由题意可得，不妨设，分类讨论结合集合的性质即可得出答案； （3）根据已知新定义，分类讨论、反证法得矛盾求解证明. 【小问1详解】 对于， 由于当时，此时；当时，此时；当时，此时. 所以集合是集合， 对于， 由于当时，此时； 故不是集合， 综上可知集合是集合，不是集合， 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 不妨设，由集合互异性可知： 则且互为相反数， 若，可得，不符合题意， 则，可得， 当时，，不符合题意， 当时，解得，或，，不符合题意， 当时，解得，或，，不符合题意， 当时，解得，或，，符合题意， 所以集合或， 【小问3详解】 假设中元素全为正实数，不妨设， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， ， 所以， ①当中元素至少个大于时，此时，， ②所以中元素至多个大于，此时， ，， 所以， 可得，可得， 即不成立， ③所以中元素小于等于，即， ， 此时， 包含以下几种情况： 第一种：， 可得，可得， 即不成立， 第二种：当时， 可得，可得， 即不成立， 第三种：当或时， 可得，可得， 即，即不成立， 由①②③都错，可知假设集合中全为正实数为错误命题，所以集合中不全为正实数. 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $