精品解析：河北省晋州职教中心2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

晋州职教中心2024-2025学年第一学期期末联考试卷 中职二年级 数学科 （命题范围： 数列、平面向量、圆锥曲线 ） （考试时间120分钟， 满分 120分） 一、单选题（本题共 20 小题，每小题 3 分，共 60 分.） 1. 设向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. “”是“”的（ ）. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在等差数列中，如果，那么（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 4. 设， ，则的坐标是 （ ）. A. B. C. D. 5. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 6. 常数列0，0，0是（ ） A. 首项为0，公差为1的等差数列 B. 首项为0，公差为0的等差数列 C. 首项为0，公比为1的等比数列 D. 首项为0，公比为0的等比数列 7. 1和16的等比中项是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 9. 在等差数列中，若，则（ ） A. 9 B. C. D. 10. 已知，，并且，则（ ）. A. B. C. D. 11. 等比数列中，则（ ）. A. 或 B. C. D. 不确定 12. 已知数列中，则（ ）. A. B. C. D. 13. 已知点，，则向量的坐标是（ ）. A. B. C. D. 14. 设，为椭圆的焦点，为椭圆上的一点，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 15. 椭圆的右焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 16. 已知抛物线方程为，则它的焦点到准线的距离是（ ） A. B. 4 C. 2 D. 6 17. 抛物线的标准方程是，则它的焦点坐标和准线方程分别是（ ）. A. B. C. D. 18. 双曲线的方程是，那么它的焦距是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 19. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 20. 双曲线与有（ ） A. 相同的顶点 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的渐近线 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.） 21. 已知单位向量与的夹角为，那么______． 22. 已知在各项均为正数的等比数列中，若，则______. 23. 已知数列的通项公式为，则前项的和___________． 24. 经过两点的椭圆的标准方程是________. 25. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是____ 三、解答题（本题共 5 小题，共 45 分.） 26. 已知，，与的夹角是. （1）计算：； （2）当为何值时，. 27. 数列，中，为等比数列，且公比为4，首项为2，， （1）求的通项公式； （2）求的前n项和公式. 28. 求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程． 29. 已知抛物线的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，且准线方程是， （1）求抛物线的标准方程； （2）若点为抛物线上一点，已知点到抛物线焦点的距离为5，求点的坐标. 30. 如图所示，已知椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆经过点，求椭圆的标准方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋州职教中心2024-2025学年第一学期期末联考试卷 中职二年级 数学科 （命题范围： 数列、平面向量、圆锥曲线 ） （考试时间120分钟， 满分 120分） 一、单选题（本题共 20 小题，每小题 3 分，共 60 分.） 1. 设向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，且， 则， 解得. 故选：A. 2. “”是“”的（ ）. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合向量相关性质判断即可. 【详解】若，两向量可能不共线， 则“”不能推出“”， 若，则两向量模长相等，即， 则，“”可以推出“”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 3. 在等差数列中，如果，那么（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式可求. 【详解】因为， 有， 则； 故选：B. 4. 设， ，则的坐标是 （ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的坐标，直接计算的坐标. 【详解】已知， ，则 ， 故选：C. 5. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式即可求值. 【详解】已知为等比数列，已知， 则， 即，所以. 故选：B. 6. 常数列0，0，0是（ ） A. 首项为0，公差为1的等差数列 B. 首项为0，公差为0的等差数列 C. 首项为0，公比为1的等比数列 D. 首项为0，公比为0的等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列和等比数列的定义即可判断. 【详解】∵常数列是0，0，0，满足， ∴常数列是0，0，0，是首项为0，公差为0的等差数列. 故选：B. 7. 1和16的等比中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的定义求解. 【详解】令1和16的等比中项是， 根据等比中项的定义，有， 故得到. 故选：C. 8. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用向量的模的公式求出，最后根据向量夹角的运算公式和特殊三角函数的余弦值即可求解. 【详解】由可知，， 且， 所以，且， 所以. 故选：D 9. 在等差数列中，若，则（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求值即可. 【详解】在等差数列中，根据等差数列的性质可知， ， 则由可得， 解得，所以. 故选：C. 10. 已知，，并且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出式子计算. 【详解】已知，，并且，由向量垂直的坐标表示可得， ， 解得， 故选：A. 11. 等比数列中，则（ ）. A. 或 B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质解得，结合得到，从而进行取舍. 【详解】已知等比数列中，设公比为， 则由等比中项可得，解得或， 由于，则，即， 故选：C. 12. 已知数列中，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数列递推公式确定是等差数列，进而得到通项公式. 【详解】已知，，即， 因此数列是公差为的等差数列，通项公式为 ， 则， 故选：C. 13. 已知点，，则向量的坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点、的坐标，计算得到向量的坐标. 【详解】已知点、，则向量的坐标为 ， 故选：D. 14. 设，为椭圆的焦点，为椭圆上的一点，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合题意即可求解. 【详解】因为椭圆方程为， 所以， 又为椭圆上的一点，若， 所以. 故选：D. 15. 椭圆的右焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将方程化为标准方程，再求解右焦点坐标即可 【详解】椭圆化为标准方程为， 其焦点在轴上，，且， 则其右焦点为． 故选：B． 16. 已知抛物线方程为，则它的焦点到准线的距离是（ ） A. B. 4 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程即可得出结论. 【详解】由抛物线方程得， 其中，所以焦点坐标为，准线方程为， 所以抛物线方程的焦点到准线的距离是， 故选：B． 17. 抛物线的标准方程是，则它的焦点坐标和准线方程分别是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线方程直接确定焦点坐标和准线方程. 【详解】抛物线方程为，可得， 焦点坐标为，准线方程为， 故选：A. 18. 双曲线的方程是，那么它的焦距是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知双曲线方程求a，b，c，进而可求焦距. 【详解】双曲线的方程是， ，， ， 焦距：. 故选：D． 19. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将双曲线化为标准式，再得到渐近线的方程. 【详解】将双曲线方程转化为标准方程， ∴焦点在轴上，，， ∴双曲线的渐近线方程是． 故选：C. 20. 双曲线与有（ ） A. 相同的顶点 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的渐近线 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出双曲线与的顶点与焦点，离心率渐近线等，由此确定选项. 【详解】由可知， 则 顶点，焦点，离心率，渐近线. 由可知， 则 顶点，焦点，离心率，渐近线. 综上可知焦点相同. 故选：B. 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.） 21. 已知单位向量与的夹角为，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积求模长即可. 【详解】因为为单位向量，且夹角为， 所以， 所以. 故答案为：. 22. 已知在各项均为正数的等比数列中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数运算性质和等比中项，对式子变形并计算即可. 【详解】因为， 由等比中项的性质，可得， 则. 故答案为：. 23. 已知数列的通项公式为，则前项的和___________． 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式得到，进而得到数列前项和. 【详解】已知等差数列通项公式为，首项，, 则前项和， 故答案为：. 24. 经过两点的椭圆的标准方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】由两点可知，，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】已知椭圆经过， 则为椭圆的两个顶点，又， 所以，焦点在轴， 所以椭圆的标准方程是. 故答案为：. 25. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是____ 【答案】 【解析】 【分析】首先确定双曲线焦点位置和坐标，结合椭圆方程列出式子，并且注意取舍即可. 【详解】双曲线方程为，所以，双曲线的焦点在轴上， 且，， 焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，即， 且， 即， ， 解得（舍去）或. 故答案为：. 三、解答题（本题共 5 小题，共 45 分.） 26. 已知，，与的夹角是. （1）计算：； （2）当为何值时，. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量内积的定义直接计算； （2）由向量垂直的坐标表示，列出式子计算得到答案. 【小问1详解】 由向量内积的定义，可得. 【小问2详解】 要使，则，即， 故， 所以， 得. 27. 数列，中，为等比数列，且公比为4，首项为2，， （1）求的通项公式； （2）求的前n项和公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出，再将其代入即可求出的通项公式. （2）由等差数列的定义证明为等差数列，再由等差数列的前n项和公式求值即可 【小问1详解】 已知为等比数列，且公比为4，首项为2， 则， ，. 【小问2详解】 由（1）可得，， ， 所以， 所以为公差为的等差数列，又， 所以. 28. 求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得双曲线的顶点和焦点，再写出题设要求的椭圆方程即可. 【详解】已知双曲线，双曲线焦点和顶点均在x轴， 则，， 故双曲线的顶点为，焦点为， 设椭圆方程为， 且椭圆顶点为，焦点为， 则，， 故椭圆方程为. 29. 已知抛物线的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，且准线方程是， （1）求抛物线的标准方程； （2）若点为抛物线上一点，已知点到抛物线焦点的距离为5，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由准线方程是，设抛物线的方程为，列出式子解得，进而得到抛物线的方程； （2）运用抛物线的定义，可得点的横坐标，代入抛物线方程得到的坐标. 【小问1详解】 因为抛物线的准线方程为， 所以设抛物线的方程为， 且，解得， 因此，抛物线的标准方程为 . 【小问2详解】 设，则有， 由抛物线的定义，点到准线的距离与点到焦点的距离相等，可得 ， 解得， 将代入，解得， 所以，或. 30. 如图所示，已知椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆经过点，求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程，得到顶点坐标，再根据正三角形的性质，得到的关系，即可求得离心率. （2）根据点的坐标，得到，即可求得标准方程. 【小问1详解】 ∵短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形， 而椭圆与正半轴的交点坐标A为，与正半轴的交点B坐标为， 故. ，即， ∴． 【小问2详解】 ∵椭圆经过点，∴，， ∴椭圆的标准方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $