5.1.2 导数的概念及其几何意义 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 册 别：选择性必修二 学 科：高中数学 1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景． 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 学习目标 解决这两类问题时有什么共性？ 思考1 平均速度 瞬时速度 割线斜率 切线斜率 问题1 高台跳水运动员的速度 问题2 抛物线的切线的斜率 ——平均变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——瞬时变化率 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法. 求极限 逼近 求极限 逼近 思考2 一般地，对于函数y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点（如x＝x0）处的瞬时变化率吗？ 为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？ 自变量 x 从 x0 变化到 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？ 为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量 ， 可以是正值，也可以是负值，但不为 0.计算自变量x从x0变化到 这个过 程中函数值的平均变化率. 自变量x： 函数值y： 函数 y＝f (x) 函数y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率： 函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何表示呢？ 无限趋近于 无限趋近于 无限趋近于 函数 y＝f (x) 逼近 取极限 如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值， 即 有极限，则称_________________________， 并把这个确定的值叫做________________________(也称为___________ ) ，记作______或______. 用极限符号表示这个定义，就是____________________________________ 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导 瞬时变化率 y ＝ f (x) 在x＝x0处的导数 导数的定义： 思考3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的增长率等. 解： 思考 你能总结出求函数y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？ 例题1 设 ，求 例题巩固 第一步，写出 并化简； 第二步，求极限 ， 若 存在，则 思考4 你能总结出求函数y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？ 这个实际问题与导数有什么关系？ 例题2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 例题巩固 导数是瞬时变化率的数学表达. 解： 在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和 所以 因为 同理， 表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降. 表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升. 瞬时加速度就是速度的瞬时变化率. 例题3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为 y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 例题巩固 速度与瞬时加速度的关系是什么？ 解： 在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和 所以 因为 同理， P0 P o x y y=f(x) 割线 切线 T 在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0,即Δx→0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. (tangent line). 解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.这时,在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. (2)当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0.这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h’(t2)<0.这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 例5. 如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)(单位:mg/ml)随时间t(单位:min)变化的函数图像,根据图像,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出.(精确到0.1) 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f '(x0) 是一个确定的数. 那么,当x变化时, f '(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数(derived function)(简称导数), y=f(x)的导函数有时也记作y'即: (1)求平均变化率: (2)取极限,得导数: 1.导数的定义 课堂小结 在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是 与 .说明 在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加 ；在第6 s附近，汽车的速 度每秒大约减少 . 思考：如图，观察函数 的图象，平均变化率 表示什么？瞬时变化率 表示什么？ 容易发现，平均变化率 表示割线 的斜率. 割线 的斜率 .记 ，当点 沿着曲线 无限趋近于点 时，即当 时， 无限趋近于函数 在 处的导数.因此，函数 在 处的导数 就是切线 的斜率 ，即 .这就是导 数的几何意义. 例4 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间 变化的函数 的图象.根据图象，请描述、比较曲线 在 附近的变化情况. $$