2025年中考数学一轮复习专项巩固练习40--余弦

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习40--余弦 一、单选题 1．在中，，，，则的值等于（　　） A． B． C． D． 2．在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 3．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 4．如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，，相交于点O，则（   ） A． B． C． D．2 7．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，点的坐标为，轴于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 10．等腰三角形中，如果腰与底边之比为，那么底角的余弦值为 ． 11．如图，在中，，，，则 ． 12．如图，是半圆的直径，点在半圆上，过点作于点．已知，，则的长为 ． 13．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都是格点，则的值为 ．    14．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 15．如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ． 16．如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为 ． 三、解答题 17．计算：． 18．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 19．如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 20．如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 参考答案 1．A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的计算，先求解，再利用余弦的定义可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查解直角三角形，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 3．C 【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解． 【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关， ∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变 故选：C ． 4．C 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可． 【详解】解：连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据题意，结合三角函数的定义，可得的值，进而可得的值． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，由图知α在一个直角边长分别为3和4的直角三角形中，且α的对边长为3， 所以这个直角三角形的斜边长为， ， ． 故． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 通过添加辅助线构造出后，将问题转化为求的值，再利用勾股定理 、锐角三角函数解即可． 【详解】解：连接、，如图： ∵由图可知： ∴， ∴ ∵小正方形的边长为 ∴在中，， ∴ ∴． 故选：B 7．D 【分析】该题主要考查了勾股定理，角的余弦以及坐标系，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理算出，再根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数的定义．设腰长为，底边长，作于E，则，在中，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，中，，作于点， ∵等腰三角形的腰与底边的比是， 设腰长为，底边长， ∴， 在中， ∴， 故答案为：． 11．/ 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记余弦的定义是解题的关键．根据余弦的定义即可求得的值． 【详解】解：在中， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了已知余弦求边长，勾股定理等知识点，熟练掌握余弦的定义及勾股定理是解题的关键． 由可得，再利用勾股定理得出，于是得解． 【详解】解：∵过点作于点，且， ∴在中，， ∵， ∴， 则在中，， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接，    由格点及勾股定理知：，，， ， ， ， ， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键．根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 大正方形的面积是120，小正方形面积是20， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17． 【分析】分别计算余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂等知识．熟练掌握余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂是解题的关键． 18．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正弦函数及余弦函数，熟练掌握二者的定义是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由正弦函数求解即可； （2）根据同角的余角得出，再求余弦值即可； （3）根据正弦函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴； （2）解：∵于，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和三角函数，熟练掌握相关知识即可解题． （1）运用余弦定义得到求得的长，再运用勾股定理即可求得的长； （2）运用，，再结合（1）结论运用勾股定理即可求得的长，从而求得的值． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$