精品解析：四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

自贡市蜀光中学学校2024～2025学年度上期八年级期末考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效． 3.考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共24分） 1. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选D． 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 3. 若三角形三边长为 4 ， ，11 ，则 x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三条边的关系和一元一次不等式的解法，根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，列不等式求解即可得出答案． 【详解】解：根据三角形三边关系可得出， 解得：， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方及积的乘方，整式的运算解答即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能计算，故选项A不符合题意； B. 计算正确，符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（  ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的尺规作图以及垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 尺规作图，可得直线垂直平分，然后根据勾股定理算出，再通过角度计算可知，进而得到即可求出答案． 【详解】根据尺规作图，可得直线垂直平分， ∴，即得，，， ∴根据勾股定理可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，中，是的平分线，于点E，，，则点D到的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过D作于H，由角平分线的性质得到，由三角形面积公式求出，即可得到，于是得到点D到的距离为3． 【详解】解：过D作于H， ∵是的平分线，于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为3． 故选：C． 8. 在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，三角形高线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和是解题关键．由同角的余角相等得出，故①正确；根据角平分线的定义得出，再根据三角形外角的性质得出，，从而即可求出，故②正确；由三角形内角和定理可得出，结合角平分线的定义可得出，又可知，结合和，即可求出，故③正确；由题意易求得，根据同角的余角相等得出，由对顶角相等得出，从而可求出，故④错误． 【详解】解：∵是高线， ∴． ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵是角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵，即， ∴，即， ∴，故②正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上可知正确的是①②③． 故选A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分式有意义的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．解题的关键是掌握：分式有意义的条件是分母不等于零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， ∴分式有意义的条件是． 故答案为：． 10. 计算：＝_____． 【答案】2x 【解析】 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：＝＝2x． 故答案为：2x． 【点睛】本题主要考查了约分，正确掌握分式的性质化简是解题关键． 11. 如图，在中，，垂直平分交于点D，交于点E．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段垂直平分线上的点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 12. 如果二次三项式可以分解为，那么p的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的乘法运算，根据题意正确的计算是解决问题的关键．先计算，即可求解． 【详解】解：∵二次三项式可以分解为， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 13. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：． 所以此多边形的边数为12． 故答案为：12． 14. 如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，取的中点Q，连接，由，推出，推出当时，最小，此时的值最小． 【详解】解：如图， 取的中点Q，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最小，此时的值最小， 在中，∵， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3 【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（共58分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式除以单项式法则计算，然后去括号合并即可得出答案． 【详解】解： ． 16. 解方程： 【答案】. 【解析】 【分析】方程两边同时乘以2(x-1)，把分式方程转化为整式方程求解即可. 【详解】解：方程两边同时乘以2(x-1)，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 经检验，是原方程的根， 所以原方程的解为. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练确定最简公分母是解题的关键，解后要验根是注意事项，不能漏落. 17. 化简：． 【答案】2． 【解析】 【分析】先计算括号内的分式加法，再将分式的除法即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加法与除法，熟记分式的运算法则是解题关键． 18. 已知：，，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，先根据，，推出，再由推出，根据“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）请在图中作出关于x轴对称的图形； （2）写出，，三点坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，网格求三角形的面积； （1）在图中作出关于x轴对称的图形的对应点，再连接各个点即可； （2）直接根据各个点的位置求解即可； （3）直接利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：由图可得，，，； 【小问3详解】 解：． 20. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）； （2）的周长为 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【小问1详解】 解的垂直平分线交于点， ， ， ； 【小问2详解】 解：的周长 ， ，， 的周长． 21. 已知甲加工型零件个所用时间和乙加工型零件个所用时间相同．甲、乙两人每天共加工个零件，设甲每天加工个型零件． （1）求甲、乙每天各加工零件多少个？ （2）根据市场预测，加工型零件所获得的利润为元件()，加工型零件所获得的利润每件比型少元．求甲、乙每天加工的零件所获得的总利润(元)与的函数关系式，并求的最大值和最小值． 【答案】（1）甲每天加工个，乙每天加工个 （2）的最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）设甲每天加工个型零件，则乙每天加工的零件个数为：，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出函数关系，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：甲、乙两人每天共加工个零件， 乙每天加工的零件个数为：； 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：甲每天加工个，乙每天加工个； 【小问2详解】 解：依题意，，即， 在中，的系数，随的增大而增大， 又， 当时，取得最大值，的最大值是， 当时，取得最小值，的最小值是． 即最大值是，最小值是． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出分式方程与函数关系式是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由“”即可证明； （2）结合（1）可得，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 23. 图1是一个长为、宽为长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形面积为______ 用含a，b的式子表示 （2）观察图2，下列三个代数式，，之间的等量关系是______ ． （3）根据（2）中得到的等量关系，若x，y为任意实数，且，，求的值． （4）如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积______ ． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）阴影部分的正方形边长等于小长方形的长减去小长方形的宽，平方即得． （2）图2中大正方形的面积等于阴影部分的正方形的面积加四个小长方形的面积． （3）由（2）中结果得，先求出的值，再开平方即得． （4）设正方形和的边长分别为m和n，根据题意，得，，根据公式变形即得． 本题主要考查了完全平方公式的几何意义．熟练掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系，是解决问题的前提． 【小问1详解】 解：∵阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的正方形面积为， 故答案：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 故答案为：． 小问3详解】 解：由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：设正方形和的边长分别为m和n， 则，， 将等号的两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）求证：； （2）写出线段的长（用含t的式子表示）； （3）连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或8 【解析】 【分析】（1）证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据路程速度时间以及几何关系即可解答； （3）先求出，证明得到，列出方程求解即可． 本题主要考查了平行线的判定定理，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，以及三角形全等的判定定理． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，点P的运动速度为， ∴当时，点P沿运动，（）； 当时，点P沿运动，（）； ∴； 【小问3详解】 当线段经过点C时，如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵点Q从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴， ∴， ∴或， 解得：或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市蜀光中学学校2024～2025学年度上期八年级期末考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效． 3.考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共24分） 1. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形三边长为 4 ， ，11 ，则 x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（  ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 6. 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，是的平分线，于点E，，，则点D到的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分式有意义的条件是________． 10. 计算：＝_____． 11. 如图，在中，，垂直平分交于点D，交于点E．若，则___________． 12. 如果二次三项式可以分解为，那么p的值为 _______． 13. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______． 14. 如图，中，，点D是边上动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是_________． 三、解答题（共58分） 15. 计算：． 16. 解方程： 17. 化简：． 18. 已知：，，．求证． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）请在图中作出关于x轴对称图形； （2）写出，，三点坐标； （3）求的面积． 20. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 21. 已知甲加工型零件个所用时间和乙加工型零件个所用时间相同．甲、乙两人每天共加工个零件，设甲每天加工个型零件． （1）求甲、乙每天各加工零件多少个？ （2）根据市场预测，加工型零件所获得的利润为元件()，加工型零件所获得的利润每件比型少元．求甲、乙每天加工的零件所获得的总利润(元)与的函数关系式，并求的最大值和最小值． 22. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 图1是一个长为、宽为长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形面积为______ 用含a，b的式子表示 （2）观察图2，下列三个代数式，，之间的等量关系是______ ． （3）根据（2）中得到等量关系，若x，y为任意实数，且，，求的值． （4）如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积______ ． 24. 如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）求证：； （2）写出线段的长（用含t的式子表示）； （3）连接，当线段经过点C时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $