用样本估计整体 专项训练-2025届高三数学二轮复习

用样本估计整体专项训练 用样本估计整体专项训练 考点一 用离散数据估计整体 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知样本的标准差为2，平均数为3，则值为（   ） A．35 B．77 C．49 D．91 2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）第33届夏季奥运会在法国巴黎顺利举行，为此某校举办了“奥运知识知多少”的体育知识竞赛，其中高三（1）班6名参赛选手的成绩（单位：分）分别为：89，92，90，94，97，98.则这6名参赛选手成绩的中位数为（   ） A．92 B．93 C．94 D．92或94 3．（24-25高三上·天津西青·期末）树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 4．（24-25高三上·甘肃白银·期末）如图，这是某城市在2023年12月－2024年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（    ） A．这组数据的极差为470 B．这组数据的众数为365 C．这组数据的中位数为387 D．这组数据的平均数约为360 5．（24-25高三上·辽宁·期末）在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25高三上·黑龙江·期末·多选）现有5个按照从小到大排成的数据：，，，，，下列关于这组数据的样本数字特征的描述，一定可以使这组数据均小于10的有（    ） A．中位数为7，众数为9 B．平均数为3，极差为2 C．众数为5，极差为6 D．平均数为4，方差为2 7．（24-25高三上·山东淄博·期末·多选）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（    ） A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 8．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试·多选）某班有男生人，女生人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为、；方差分别为、，该班成绩的均分和方差为、，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·安徽·阶段练习）数据，，，，，，，，，的第70百分位数是 ． 10．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 ． 考点二 用频率分布直方图估计整体 1．（2024·河南新乡·一模）为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（   ） A．127 B．136 C．133 D．138 2．（24-25高三上·广东汕头·期末）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（    ） A．100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 B．100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过 C．100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间 D．100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间 3．（24-25高三上·天津河西·期末）某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（    ） A．85 B．86 C．87 D．88 4．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（   ） A．图中a的值为0.15 B．估计样本数据的分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 5．（24-25高三上·安徽阜阳·期末·多选）“百节年为首，四季春为先”，2024年12月4日，中华民族传统佳节——春节申遗成功.为庆祝春节申遗成功，某校组织500名学生参加中华优秀传统文化知识竞赛，经统计，这500名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：.得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列选项正确的有（    ） A．的值为0.02 B．这500名学生中，成绩在区间内的人数最少 C．这500名学生中，成绩不低于70分的人数约为350 D．这500名学生成绩的第80百分位数约为80 6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习·多选）某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．频率分布直方图中的值为0.004 B．估计这20名学生考试成绩的平均数为76.5 C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习·多选）为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是（　 　） A．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 B．乙班成绩的第75百分位数为79 C．甲班成绩的中位数为74 D．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值 8．（24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 9．（2024·上海崇明·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 10．（2024·上海虹口·一模）2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． (1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； (2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； (3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$用样本估计整体专项训练 用样本估计整体专项训练 考点一 用离散数据估计整体 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知样本的标准差为2，平均数为3，则值为（   ） A．35 B．77 C．49 D．91 【答案】D 【详解】由题意，， 所以， 又由， 所以， 解得， 故选：D 2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）第33届夏季奥运会在法国巴黎顺利举行，为此某校举办了“奥运知识知多少”的体育知识竞赛，其中高三（1）班6名参赛选手的成绩（单位：分）分别为：89，92，90，94，97，98.则这6名参赛选手成绩的中位数为（   ） A．92 B．93 C．94 D．92或94 【答案】B 【详解】将这6名参赛选手的成绩从小到大排列，得89，90，92，94，97，98， 故中位数为. 故选：B. 3．（24-25高三上·天津西青·期末）树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【详解】由题可得极差是，该组数据的中位数是极差的， 列出等式，解得， 因为， 故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即， 所以该组数据的第40百分位数是. 故选：A. 4．（24-25高三上·甘肃白银·期末）如图，这是某城市在2023年12月－2024年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（    ） A．这组数据的极差为470 B．这组数据的众数为365 C．这组数据的中位数为387 D．这组数据的平均数约为360 【答案】C 【详解】将这13个数据从小到大排列：． 这组数据的极差为，众数为420，第7个数387为中位数， 平均数为． 故选:C． 5．（24-25高三上·辽宁·期末）在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以，即， 因为，所以的值可能是13，14，15， 当时，， 因为，且，为整数，所以不可能； 当时，，因为， 且，为整数，所以不可能； 当时，， 因为，且，为整数， 所以当且仅当，时，， 所以所求极差为. 故选：C. 6．（24-25高三上·黑龙江·期末·多选）现有5个按照从小到大排成的数据：，，，，，下列关于这组数据的样本数字特征的描述，一定可以使这组数据均小于10的有（    ） A．中位数为7，众数为9 B．平均数为3，极差为2 C．众数为5，极差为6 D．平均数为4，方差为2 【答案】ABD 【详解】对于A，中位数是7，众数是9，易得第3个数是7，第4，5个数为9，所以5个数据都小于10，故A正确； 对于B，易得，，，若，则，与平均数为3矛盾，故B正确； 对于C，如5，5，9，10，11满足选项，此时第4、5个数据均不小于10，故C错误； 对于D，易得，，若，则，，矛盾，故D正确. 故选：ABD. 7．（24-25高三上·山东淄博·期末·多选）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（    ） A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABD 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲：，乙：， 故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为，乙的中位数为，故A正确； 甲的极差为，乙的极差为，故B正确； ，所以甲的第75百分位数为，乙的第75百分位数为，故C错误； 由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确. 故选：ABD 8．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试·多选）某班有男生人，女生人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为、；方差分别为、，该班成绩的均分和方差为、，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由平均数公式可得，则A正确，B错误； 由方差公式可得， 当且仅当时，等号成立， 但因，则等号不成立，故，则C错误D正确. 故选：AD. 9．（24-25高三上·安徽·阶段练习）数据，，，，，，，，，的第70百分位数是 ． 【答案】 【详解】将数据从小到大排序得， 因为， 所以这组数据的第百分位数为从小到大排列的第、两数的平均数， 即为. 故答案为：. 10．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 ． 【答案】 【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为． 故答案为：． 考点二 用频率分布直方图估计整体 1．（2024·河南新乡·一模）为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（   ） A．127 B．136 C．133 D．138 【答案】D 【详解】该班共有人， 因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得. 故选：D. 2．（24-25高三上·广东汕头·期末）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（    ） A．100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 B．100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过 C．100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间 D．100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间 【答案】C 【详解】由频率分布直方图可知， ， 解得， 对于A，月均用水量在的频率为， 月均用水量在的频率为， 所以100户居民的月均用水量的中位数在，故A错误； 对于B，因为100户居民的月均用水量低于16.2的用户的频率为 ， 所以100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例为，故B错误； 对于C，由图知，极差的最大值为，最小值为， 所以100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间，故C正确； 对于D，100户居民的月均用水量的平均值为 t，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高三上·天津河西·期末）某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（    ） A．85 B．86 C．87 D．88 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 所以前两组的频率和为，前三组的频率和为， 设这组样本数据的分位数为，则， 解得. 故选：C. 4．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（   ） A．图中a的值为0.15 B．估计样本数据的分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】C 【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，， 解得，A选项错误； B选项，前个矩形条的面积为， 前个矩形条的面积为：， 故样本数据的分位数落在中，设样本数据的分位数为， 于是，解得，B选项错误； C选项，根据直方图可以看出，低于分的频率为：， 于是估计全市学生不及格的人数为：，C选项正确； D选项，由题意，平均数为： ，D选项错误. 故选：C. 5．（24-25高三上·安徽阜阳·期末·多选）“百节年为首，四季春为先”，2024年12月4日，中华民族传统佳节——春节申遗成功.为庆祝春节申遗成功，某校组织500名学生参加中华优秀传统文化知识竞赛，经统计，这500名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：.得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列选项正确的有（    ） A．的值为0.02 B．这500名学生中，成绩在区间内的人数最少 C．这500名学生中，成绩不低于70分的人数约为350 D．这500名学生成绩的第80百分位数约为80 【答案】ABC 【详解】对于A，由，解得，故A正确 对于B，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，故B正确； 对于C，成绩不低于70分的学生频率为， 成绩不低于70分的人数约为，故C正确； 对于D，因为第五个组的频率为， 所以这500名学生成绩的第80百分位数约为90，故D错误. 故选：ABC. 6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习·多选）某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．频率分布直方图中的值为0.004 B．估计这20名学生考试成绩的平均数为76.5 C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 【答案】BD 【详解】对A，由可得，故A错误； 对B，这20名学生考试成绩的平均数为： 分，故B正确； 对C，这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误； 对D，总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确. 故选：BD 7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习·多选）为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是（　 　） A．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 B．乙班成绩的第75百分位数为79 C．甲班成绩的中位数为74 D．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值 【答案】ABC 【详解】对于A，由题图知甲班成绩的众数为79，乙班成绩的众数为75，故A错误． 对于B，因为，所以乙班成绩的第75百分位数为80，故B错误． 对于C，甲班物理成绩从小到大排序的第10个、第11个数都是79，故中位数为79，故C错误． 因为甲班成绩平均数为： ， 乙班物理成绩的平均数的估计值为： ，故D正确． 故选：ABC 8．（24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）， 故均值为29． （2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则， ； ， 列的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 9．（2024·上海崇明·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 【答案】(1)74.5 (2) (3) 【详解】（1）由题意得，解得 所以平均数等于 （2）由题意，内有8人，内有2人， 所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率为. （3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 由题意，第二组、第四组分别有10人和8人， 所以成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. 10．（2024·上海虹口·一模）2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． (1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； (2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； (3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 【答案】(1) (2) (3)这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，. 【详解】（1）∵， ∴第35百分位数为第两个数的平方数 （2）由图1可知，图2中有2人， 所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件， 所以. （3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7， 位于上的均值为73，方差为134.6， 所以， 设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为， 所以，解得：， ， 解得：. 这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$