精品解析：福建省漳州市第三中学2024-2025学年高一上学期12月阶段考试数学试卷

漳州三中2024-2025学年12月阶段考试高一数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合在上为增函数，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知命题和命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知点在第二象限，则角的终边位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，，，，则方程的根落在区间（ ）． A. B. C. D. 5. 若a＝，b＝log0.52402，c＝log0.030.02，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围为（   ） A. B. C. D. 7. 已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（ ） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 8. 设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④； 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（ ） A. ② B. ①③ C. ②④ D. ②③ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在定义域上为减函数 C. 函数的值域为 D. 当时， 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数，若该函数存在最小值，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 3 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简______． 13. 若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是______． 14. 已知的终边与单位圆交于点,点关于直线对称后的点为,点关于轴对称后的点为,设角终边为射线. （1）与的关系为______; （2）若,则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､正明过程或演算步骤. 15. 已知α为第一象限角，且tanα＝. (1)求的值； (2)求2sinα－cosα的值. 16. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 17. 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数； （2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 18. 已知定义域为的奇函数的图像经过点. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）证明：. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）若函数是否满足性质？请说明理由. （2）若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）； （3）在（2）的条件下，已知，，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2024-2025学年12月阶段考试高一数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合在上为增函数，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将集合化简，结合交集、子集的概念即可求解. 【详解】在上为增函数， 所以，其子集个数为. 故选：D. 2. 已知命题和命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解命题，再根据充分条件和必要条件的定义即可得到结果 【详解】命题即 命题即，所以，p是q的充分不必要条件 故选：A 3. 已知点在第二象限，则角的终边位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据象限内的点的坐标特征得到三角不等式组，结合三角函数在各象限的符号即得. 【详解】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. 4. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，，，，则方程的根落在区间（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程在区间（a，b）上有零点，则f（a）f（b）＜0，对各点的函数值的符号进行判断，即可得到答案． 【详解】∵二分法求方程在（1，3）内近似解的过程中， f（1）＞0，f（1.5）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0， 故方程的根落在区间（1，1.5） 故选：C． 【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，考查函数零点的判定定理，属于基础题. 5. 若a＝，b＝log0.52402，c＝log0.030.02，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质比较即可. 【详解】因为函数,,都是减函数， 所以，，， 所以. 故选：A. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式可得为增函数，且为偶函数，根据单调性、奇偶性解不等式即可. 【详解】在上单调递增，为增函数， 所以在上单调递增， 又，且的定义域为，所以为偶函数， 又， 所以，即， 所以，得， 即，解得或. 故选：. 7. 已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（ ） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万辆， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万辆． 故选：B． 8. 设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④； 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（ ） A. ② B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可. 【详解】①，而，故①不是集合X上的拓扑的集合； ②，满足：①X属于，属于； ②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于， 因此②是集合X上的拓扑的集合； ③，满足：①X属于，属于； ②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于， 因此③是集合X上的拓扑的集合； ④，而，故④不是集合X上的拓扑的集合； 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②③. 故答案为：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在定义域上为减函数 C. 函数的值域为 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可. 【详解】设幂函数为 将代入解析式得，故，所以， 定义域为， 因为，故函数为奇函数，故A正确； 函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误； 显然的值域为，故C错误； 当时，， 即满足，故D正确 故选：AD 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对两边平方得，结合的范围得到，AD正确；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误. 【详解】，两边平方得：， 解得：，D正确； 故异号， 因为，所以，A正确； 因为，结合，得到， 解得：，故，BC错误. 故选：AD 11. 函数，若该函数存在最小值，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】结合一次函数、指数函数的性质，分、、、、分别求出的值，即可得解. 【详解】由题可知且， 当时，函数在上单调递减，且,； 此时函数在,单调递减， 要使函数有最小值，则，解得，所以； 当时，函数在,上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 要使函数有最小值，则，解得，不满足； 当时，，此时函数有最小值2，满足题意； 当时，，函数无最小值，不满足题意； 当时，函数在,和上单调递增，不满足题意； 综上，或. 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】. 故答案为：1. 13. 若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】因为“，使得”是假命题， 所以“，使得”是真命题， 所以，解得， 故答案为: . 14. 已知的终边与单位圆交于点,点关于直线对称后的点为,点关于轴对称后的点为,设角终边为射线. （1）与的关系为______; （2）若,则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】（1）与的关系为 由题意可得：点为单位圆上点，并且以射线为终边的角的大小为， 所以 又因为 两点关于直线 对称， 所以 即即 （2） 故 即答案为(1). (2). 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､正明过程或演算步骤. 15. 已知α为第一象限角，且tanα＝. (1)求的值； (2)求2sinα－cosα的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）分子分母同除以，利用同角三角函数的商数关系化弦为切，代入计算即得； （2）根据利用商数关系得到，结合平方关系，并注意到角所在的象限，解方程组求得α的正余弦，进而得解. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以. 又，所以. 因为为第一象限角，所以，， 故. 16. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式的解法以及对数函数的单调性可得出原不等式的解集； （2）令，由题意可得出，求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由，可得，解得， 因此，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，令， 由可得，可得， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 17. 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数； （2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】（1）， （2）6.25万元，4.0625万元 【解析】 【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式； （2）设B产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出，换元后，配方得到时，y取得最大值4.0625. 【小问1详解】 因为A产品的利润与投资额成正比，故设， 将代入，解得：， 故， 因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设， 将代入，解得：，解得：， 故； 【小问2详解】 设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y万元， 则. 令，可得， 即. 当，即时，y取得最大值4.0625. 答：当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元. 18. 已知定义域为的奇函数的图像经过点. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）证明：. 【答案】（1） （2）83 （3）证明：因为在上均单调递增， 则在上单调递增，而， 根据“川”字型函数特点知的值域为. 由（2）可得 ， 所以. 又在上单调递增，所以. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数特点并代入得到方程组，解出后再检验即可； （2）代入计算得，最后再化简即可； （3）首先得到的单调性和值域，再作差证明恒大于0即可. 【小问1详解】 由题意得得 所以. 经检验为奇函数，故. 【小问2详解】 由题意得，则， 所以. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）若函数是否满足性质？请说明理由. （2）若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）； （3）在（2）的条件下，已知，，若，证明：. 【答案】（1） 当时， ，所以满足性质. （2） 当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； （3） 已知，，若， ， ， ∵在上是单调函数， ，， ∵，当且仅当，即时，取等号， 又∵，∴. 【解析】 【分析】（1）通过验证函数在定义域上是否满足，即可判断； （2）由函数满足性质，求得的值，由函数在的不等式得到函数单调性，从而将函数值不等式转化为自变量的不等式，通过分类讨论来解答含参二次不等式，求得解集； （3）由（2）得到函数满足且，从而得到，再由基本不等式求得，得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若满足性质， 时，得到， 在上单调，在时恒有， 所以在上是单调减函数， 得到，即， 所以，即，即， ①当时，即时，不等式为，不等式解集为； ②当时，，不等式解集为； ③当时，，不等式解集为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛，本题对函数的性质做了新的定义，我们要验证函数是否满足这个性质就得严格按照定义进行证明；同理在已知函数满足这个性质的时候，定义中的等量关系就是我们去解题的关键.所以在解决这类题目的时候应该认真阅读定义，并灵活运算相关知识进行运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $