第05讲 离散型随机变量及其分布列（3大知识点+5大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2019选修三）

第05讲 离散型随机变量及其分布列 目录 题型归纳 1 题型01 离散型随机变量与连续型随机变量的区分 2 题型02 写出简单离散型随机变量分布列 3 题型03 利用随机变量分布列的性质解题 5 题型04 由随机变量的分布列求概率 6 题型05 两点分布 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 12 知识点01随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于 函数的定义域. 区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 知识点02离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)= ，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①0，i=1，2，，n； ②+++=1. 知识点03两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 题型01离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）在下列表述中不是离散型随机变量的是（    ） ①某机场候机室中一天的旅客数量；    ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某篮球下降过程中离地面的距离；    ④某立交桥一天经过的车辆数X． A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示 . 【变式3】（22-23高二上·全国·课后作业）某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数是一个随机变量. (1)写出的所有取值及每一个取值所表示的结果； (2)若记该运动员在5次罚球后的得分为，写出所有的取值及每一个取值所表示的结果. 题型02 写出简单离散型随机变量分布列 【例2】（21-22高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【变式1】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 题型03 利用随机变量分布列的性质解题 【例3】（23-24高二上·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·河南·期末）设随机变量的分布列为，则常数 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求的分布列． 题型04 由随机变量的分布列求概率 【例4】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·广西钦州·阶段练习）已知随机变量的分布列如下： 则的值为 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 题型05 两点分布 【例5】（23-24高二·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【变式1】（23-24高二·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【变式2】（23-24高二上·辽宁·期末）已知服从参数为0.6的两点分布，则 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量X的分布列如表，则m＝（    ） X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 2．（21-22高二上·山东滨州·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下： X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望E(X)等于（    ） A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4 3．（22-23高二上·全国·课后作业）随机变量 的分布列如下表： 0 1 其中，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高二上·全国·课后作业）如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是（    ） A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数 B．ξ取所有可能值的概率之和为1 C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知随机变量ξ的分布列为： ξ －2 －1 0 1 2 3 P 若，则实数的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 三、填空题 7．（21-22高二上·全国·课后作业）随机变量η的分布列如下 η 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则x＝ ，P(η≤3)＝ ． 8．（23-24高二上·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 四、解答题 9．（23-24高二上·上海·课后作业）掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 10．（23-24高二上·上海·课后作业）设袋中装有大小与质地相同的6个白球、4个黑球.现在依次不放回地摸5个球，用X表示摸出的白球个数.求X的分布列. 11．（23-24高二上·上海·课后作业）某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列. 12．（22-23高二·全国·课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 13．（22-23高二·全国·随堂练习）（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列． X −1 0 1 P 试说明该同学的计算结果是否正确． （2）设是一个离散型随机变量，其分布列为： −1 0 1 P ①求q的值； ②求，． 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高二·全国·课后作业）设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） 2 3 4 A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）下列表中能称为随机变量X的分布列的是（    ） A． X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B． X 1 2 3 P 0.4 0.7 C． X 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D． X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 3．（22-23高二上·全国·课后作业）若随机变量的分布列如下表所示，则的最小值为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高二上·全国·课后作业）设随机变量的分布列如下表，且，则（    ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．a＝0.3 B．b＝0.5 C．P(X≤1)＝0.4 D．P(X＞1)＝0.6 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（    ） A． B． C． D．以上均不正确 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为： X 1 2 3 P m 则 ， ． 8．（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ． 四、解答题 9．（22-23高二上·山东潍坊·阶段练习）A，B两个乒乓代表队进行对抗赛，每组三名队员，A队队员为A1，A2，A3，B队队员为B1，B2，B3.按照以往比赛统计，对阵队员之间的胜负的概率如下： 对阵球员 A队队员获胜的概率 B队队员获胜的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场，每场获胜队伍得1分，负队的0分，设A队，B队最后所得总分分别为与，求与的概率分布 10．（23-24高二上·全国·课后作业）现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名，这两名同学都来自甲班的概率为． (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率． 11．（22-23高二·全国·课堂例题）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元． (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若，求的值． 12．（24-25高二上·江苏·假期作业）高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. (1)求，的值； (2)求甲、乙选择不同手机的概率； (3)某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 13．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列（用列表法表示）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 离散型随机变量及其分布列 目录 题型归纳 1 题型01 离散型随机变量与连续型随机变量的区分 2 题型02 写出简单离散型随机变量分布列 5 题型03 利用随机变量分布列的性质解题 8 题型04 由随机变量的分布列求概率 11 题型05 两点分布 13 分层练习 15 夯实基础 15 能力提升 23 知识点01随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于 函数的定义域. 区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 知识点02离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)= ，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①0，i=1，2，，n； ②+++=1. 知识点03两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 题型01离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）在下列表述中不是离散型随机变量的是（    ） ①某机场候机室中一天的旅客数量；    ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某篮球下降过程中离地面的距离；    ④某立交桥一天经过的车辆数X． A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 【答案】C 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案. 【详解】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量. 故选：C 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机变量的定义：可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可. 【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举， ②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举， ③一天之内的温度是连续型变量， ④一次射击中的得分是可一一列举， 由离散随机变量的定义知：①②④. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示 . 【答案】所选3人中至多有1名女生 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据包含或，结合题意分析即可. 【详解】包含两种情况：或. 故表示所选3人中至多有1名女生. 故答案为：所选3人中至多有1名女生. 【变式3】（22-23高二上·全国·课后作业）某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数是一个随机变量. (1)写出的所有取值及每一个取值所表示的结果； (2)若记该运动员在5次罚球后的得分为，写出所有的取值及每一个取值所表示的结果. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】（1）（2）利用离散型随机变量的定义求解即可. 【详解】（1）依题意 ，的可能取值为0，1，2，3，4，5， 则表示5次罚球中命中次. （2）依题意 ，的可能取值为0，2，4，6，8，10. 则表示5次罚球后得分 题型02 写出简单离散型随机变量分布列 【例2】（21-22高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【答案】D 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列. 【详解】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 【变式1】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出． 【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球， 或第一次摸到红球，第二次摸到黑球， 或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球， 故，A错误； BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球， 或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球， 或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球， 故，B错误，C正确； D选项，的所有可能有， 故，D正确． 故选：CD. 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为 【答案】 X 2 3 4 P 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列 【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4. 且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列为： X 2 3 4 P 故答案为： X 2 3 4 P 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 【答案】答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据古典概率公式求，然后可得分布列. 【详解】解：由题意可得，， ，， ，． 因此，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 4 5 P 0 0.025 0.075 0.3 0.5 0.1 题型03 利用随机变量分布列的性质解题 【例3】（23-24高二上·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用分布列的性质，列式计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由离散型随机变量分布列的性质，即概率和等于1，得解. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知，，所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·河南·期末）设随机变量的分布列为，则常数 . 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据随机变量分布列的性质可得结果. 【详解】， 解得， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求的分布列． 【答案】分布列见解析 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据离散性分布列的性质，建立方程，结合题意，可得答案. 【详解】由分布列的性质知， ，得. 列表为： X 0 1 2 3 4 1 3 5 7 9 从而的分布列为： 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 题型04 由随机变量的分布列求概率 【例4】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求. 【详解】，且，解得， . 故选：D. 【变式2】（22-23高二上·广西钦州·阶段练习）已知随机变量的分布列如下： 则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质进行求解即可. 【详解】由随机变量的分布列可知， 所以， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 【答案】分布列见解析 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】由题意随机变量的可能取值为，求出对应可能取值的概率即可得解. 【详解】由题可知知，列表为： X 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 ∴， . 故的分布列为： 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 题型05 两点分布 【例5】（23-24高二·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【答案】D 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布概率公式计算可得结果. 【详解】因为随机变量服从两点分布，则. 故选：D. 【变式1】（23-24高二·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·辽宁·期末）已知服从参数为0.6的两点分布，则 . 【答案】/ 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解 【详解】. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 【答案】分布列见解析 【知识点】两点分布 【分析】先列出随机变量的可能值，然后求出随机变量可能值随对应的概率即可. 【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况． ， 则. 因此X的分布列为： X 0 1 P 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量X的分布列如表，则m＝（    ） X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离散型随机变量分布列的性质概率之和为可求. 【详解】由分布列性质得， 解得. 故选：D. 2．（21-22高二上·山东滨州·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下： X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望E(X)等于（    ） A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4 【答案】D 【分析】根据分布列的性质先求出m，再套用数学期望的公式即可求解 【详解】∵分布列中出现的所有的概率之和等于1， ∴解得 ∴ 故选：D 3．（22-23高二上·全国·课后作业）随机变量 的分布列如下表： 0 1 其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质及条件求得的值，从而得解. 【详解】依题意，得，且， 因为，所以，即，故， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，根据对立事件运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 二、多选题 5．（21-22高二上·全国·课后作业）如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是（    ） A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数 B．ξ取所有可能值的概率之和为1 C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质，以及概率的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量ξ取每一个可能值的概率都是非负实数，所以A正确； 对于B中，根据分布列的性质，则随机变量 ξ取所有可能值的概率之和为1，所以B正确； 对于C中，根据分布列的性质，可得随机变量 ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和，所以C正确； 对于D中，根据分布列的性质，随机变量 ξ在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以D不正确. 故选：ABC. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知随机变量ξ的分布列为： ξ －2 －1 0 1 2 3 P 若，则实数的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】ABC 【分析】根据随机变量ξ的分布列，求出随机变量的分布列，再找出满足的即可. 【详解】由随机变量的分布列，知： 的可能取值为， 且， ， ， ， 则，. 若，则实数的取值范围是. 故选：ABC. 三、填空题 7．（21-22高二上·全国·课后作业）随机变量η的分布列如下 η 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则x＝ ，P(η≤3)＝ ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质求得，结合，即可求解. 【详解】由分布列的性质得，解得， 故. 故答案为：；. 8．（23-24高二上·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 【答案】0.7/ 【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】由分布列的性质可得，，可得， 所以． 故答案为：0.7 四、解答题 9．（23-24高二上·上海·课后作业）掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据掷得每个点数为等可能事件写分布列即可； （2）根据古典概型求概率公式求概率，然后写分布列即可. 【详解】（1）因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数X的分布为． （2）因为，而，所以Y的分布为． 10．（23-24高二上·上海·课后作业）设袋中装有大小与质地相同的6个白球、4个黑球.现在依次不放回地摸5个球，用X表示摸出的白球个数.求X的分布列. 【答案】答案见解析 【分析】根据分布列的求解步骤即可求解. 【详解】因为黑球只有4个，所以变量X的取值范围是1、2、3、4、5. 则，， ，， . 所以X的分布列如下： 11．（23-24高二上·上海·课后作业）某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列. 【答案】答案见解析 【分析】根据分布列的解题步骤计算即可. 【详解】答对试题数X的可能取值为：， 则， . 所以该生答对试题数X的分布列如下： 0 1 2 3 12．（22-23高二·全国·课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 【答案】分布列见解析 【分析】根据古典概型的概率公式求出，，从而得到的分布列. 【详解】由题意知，， 故随机变量的概率分布列如下表所示： 0 1 13．（22-23高二·全国·随堂练习）（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列． X −1 0 1 P 试说明该同学的计算结果是否正确． （2）设是一个离散型随机变量，其分布列为： −1 0 1 P ①求q的值； ②求，． 【答案】（1）不正确；（2），． 【分析】（1）根据分布列中所有概率和是否为1进行判断; （2）由概率和为1求得，再根据分布列求相应概率． 【详解】（1）因为，因此分布列中计算结果错误； （2）由解得（舍去）， 所以，． 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高二·全国·课后作业）设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列概率之和为1，再根据的取值可求得答案. 【详解】因为，所以或， 所以或． 故选:D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）下列表中能称为随机变量X的分布列的是（    ） A． X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B． X 1 2 3 P 0.4 0.7 C． X 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D． X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 【答案】C 【分析】由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1，可得答案. 【详解】对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确； 对于D，由，故D错误. 答案：C 3．（22-23高二上·全国·课后作业）若随机变量的分布列如下表所示，则的最小值为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用分布列的性质得到的关系式与范围，再利用基本不等式即可得解. 【详解】依题意，得，且，即， 所以，则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：. 【详解】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 故选：A 二、多选题 5．（21-22高二上·全国·课后作业）设随机变量的分布列如下表，且，则（    ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．a＝0.3 B．b＝0.5 C．P(X≤1)＝0.4 D．P(X＞1)＝0.6 【答案】ABCD 【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望，列出方程组解出的值即可得到答案. 【详解】根据题意，解得，故A、B正确； 又 故C、D正确. 故选：ABCD. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得， 则. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为： X 1 2 3 P m 则 ， ． 【答案】 / / 【分析】空1：根据分布列的性质，列出方程求得的值；空2：结合，即可求解. 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得， 所以. 故答案为：； 8．（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ． 【答案】{3，5，7，9，11} 【分析】根据离散型随机变量的取值代入，即可求解. 【详解】因为的取值范围是{1，2，3，4，5}， 且， 所以的取值范围是{3，5，7，9，11}． 故答案为：{3，5，7，9，11} 四、解答题 9．（22-23高二上·山东潍坊·阶段练习）A，B两个乒乓代表队进行对抗赛，每组三名队员，A队队员为A1，A2，A3，B队队员为B1，B2，B3.按照以往比赛统计，对阵队员之间的胜负的概率如下： 对阵球员 A队队员获胜的概率 B队队员获胜的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场，每场获胜队伍得1分，负队的0分，设A队，B队最后所得总分分别为与，求与的概率分布 【答案】答案见详解 【分析】分别例举出与的可能取值，再分别求出不同取值的概率，即可得到与的概率分布 【详解】由题意可知的可能取值为3，2，1，0 则， ， ， 由题意可知，所以的可能取值为0，1，2，3 ，， ， 故与的概率分布为： 3 2 1 0 0 1 2 3 10．（23-24高二上·全国·课后作业）现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名，这两名同学都来自甲班的概率为． (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率． 【答案】(1)3人 (2)分布列见解析； 【分析】（1）首先设甲班的学生数为n，由题意得：，再解方程即可. （2）首先根据题意得到的所有可能取值为0，1，2，分别计算，，，再列出分布列和计算即可. 【详解】（1）设甲班的学生数为n， 由题意得：， 整理得，解得或（舍去）． 即7个学生中，有甲班3人． （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2． 所以，，． 的分布列为 0 1 2 由分布列知． 即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为． 11．（22-23高二·全国·课堂例题）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元． (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若，求的值． 【答案】(1)4300 (2) (3)0.4 【分析】（1）根据底薪1000元，每工作1小时获取30元求解； （2）根据底薪1000元，每工作1小时获取30元求解； （3）由（2）得到求解. 【详解】（1）当时，表示工作了110个小时， 所以． （2）由题意得：． （3）因为， 所以， 从而. 12．（24-25高二上·江苏·假期作业）高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. (1)求，的值； (2)求甲、乙选择不同手机的概率； (3)某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 【答案】(1)，； (2)； (3) 700 800 900 1000 【分析】（1）由题意可知，进而求出的值，再根据求出的值即可； （2）利用独立事件的概率乘法公式求解； （3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000，利用独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，再得到的分布列即可． 【详解】（1）由题表中数据及题意，得，所以， 又因为，所以； （2）设甲、乙选择不同手机为事件，则； （3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000， 则，，，， 所以的分布列为： 700 800 900 1000 13．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列（用列表法表示）. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意得的可能取值为0，2，4，6，8，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列. 【详解】（1）由题意得小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为 ； （2）由题意得的可能取值为0，2，4，6，8，则 ，， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 6 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$