2025年中考数学一轮专题考点突破：等腰三角形的性质 专项练习

2025年中考数学一轮专题考点突破：等腰三角形的性质 知识回顾：等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 一．选择题（共15小题） 1．等腰三角形的一个内角是40°，则它的底角是（　　） A．70° B．40° C．40°或70° D．30°或75° 2．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 3．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 4．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　） A．BD=CD B．∠BAC=∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD=S△ACD 5．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于G，BC=6，△BCG周长是13，则AB的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知等腰三角形的周长为18，且一边长为4，则腰长为（　　） A．4 B．7 C．10 D．4或7 7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm,则这个三角形的周长是（　　） A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间 8．如图，在等腰△ABC中，顶角∠BAC=40°，过点A作BC的平行线MN，则∠CAN的度数为（　　） A．40° B．60° C．70° D．80° 9．如图，等腰△ABC，AB=AC，点D是AC的中点，点P为线段BC上一动点，连结PA，PD．设BP=x,△APD的面积为y,若y关于x的函数表达式为y=-x+6，则AC的长度为（　　） A． B．5 C． D． 10．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（　　） A．7.5° B．10° C．15° D．18° 11．在△ABC中，AB=BC，中线AD将这个三角形的周长分为15和21两部分，则AC的长为（　　） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 12．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=α，则∠C=（　　） A． B． C．120°-α D．2α-90° 13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动．如图，若∠BDE=84°，则∠CDE的度数是（　　） A．56° B．68° C．72° D．84° 14．如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为（　　） A．100° B．120° C．126° D．135° 15．如图在第一个△A1BC中，∠B=40°，A1B=BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 16．如果等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm,那么这个等腰三角形的周长为______． 17．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 ______条． ​ 18．如图，AB∥CD，点E在AD上，且DC=DE，∠C=80°，则∠A的大小为 ______． 19．如图，在△ABC中，边AB和AC的垂直平分线相交于边BC上的D点，延长CB到点E，使得BE=AB，连接AE，∠E：∠C=5：8，则∠BAD的度数 ______． 20．如图是屋顶的“人字形“钢架，其中斜梁AB=AC，顶角∠BAC=120°，跨度BC=10m,AD为中柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF=______m. 21．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A=50°，AB+BC=6，则△BCF的周长=______，∠E=______°． 三．解答题（共6小题） 22．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：DC=2DB． 23．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A=35°，求∠BPC； （2）若AB=5cm,BC=3cm,求△PBC的周长． 24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是AB边上一点，连接CE，交AD于点F． （1）若AE=AF，∠B=α，直接写出∠BCE的度数；（用含α的式子表示） （2）在（1）的条件下，试用等式表示AF、AB、AD的数量关系，并证明． 25．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高． （1）当D点在BC什么位置时，DE=DF？并证明； （2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 26．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是 ______ （2）问题解决：如图2，求证AD=CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC． 27．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB=AC，∠B=30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 ______； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 2025年中考数学一轮专题考点突破：等腰三角形的性质 (参考答案) 一．选择题（共15小题） 1、C 2、C 3、D 4、B 5、B 6、B 7、B 8、C 9、D 10、C 11、C 12、D 13、B 14、C 15、C  二．填空题（共6小题） 16、15cm； 17、4； 18、20°； 19、50°； 20、5； 21、6；25；  三．解答题（共6小题） 22、解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=（180°-∠BAC）=（180°-120°）=30°， ∵AB的垂直平分线交BC于点D． ∴AD=BD， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+30°=60°； （2）∵∠ADC=60°，∠C=30°， ∴∠DAC=90°， ∴AD=CD，∠BAD=30°， ∴∠B=∠BAD， ∴BD=AD， ∴DC=2DB． 23、解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点， ∴PA=PB， ∴∠ABP=∠A=35°， ∴∠BPC=∠A+∠ABP=70°． （2）∵AC=AB=5cm,BC=3cm, ∴C△PBC=PB+BC+'PC=PA+PC+BC=AC+BC=8cm. 24、解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD， 在Rt△ABD中，∠B=α， ∴∠BAD=90°-α， ∵AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE=（180°-∠BAD）=45°+， ∵∠AEF=∠B+∠BCE， ∴∠BCE=∠AEF-∠B=45°+-α=45°-； （2）AF、AB、AD的数量关系是：AF+AB=2AD，证明如下： 过点D作DH∥CE交AB于H，如图所示： 则∠AEF=∠AHD，∠AFE=∠ADH， ∵在（1）的条件下， ∴AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴∠AHD=∠ADH， ∴AH=AD， ∴AH-AE=AD-AF， 即HE=DF， ∵BD=CD，DH∥CE， ∴DH是△BCE的中位线， ∴BH=HE， ∴BH=HE=DF， ∴BE=2DF， ∴AB+AF=AE+BE+AF=2（AF+DF）=2AD． 25、解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下： ∵D为BC中点， ∴BD=CD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， 在△BED和△CFD中 ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF． （2）DE+DF=CG． 证明：如图，连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD， 即AB•CG=AB•DE+AC•DF， ∵AB=AC， ∴CG=DE+DF． 26、解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD=90°，∠BCD=90°， ∴DA=DC（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE=DF， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°， ∴∠EAD=∠C， 在△DEA和△DFC中， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA=DC； （3）如图，在BC时截取BK=BD，连接DK， ∵AB=AC，∠A=100°， ∴∠ABC=∠C=40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK=∠ABC=20°， ∵BD=BK， ∴∠BKD=∠BDK=80°，即∠A+∠BKD=180°， 由（2）的结论得AD=DK， ∵∠BKD=∠C+∠KDC， ∴∠KDC=∠C=40°， ∴DK=CK， ∴AD=DK=CK， ∴BD+AD=BK+CK=BC． 27、（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠C=∠B=30°，∠BAD=∠BAC， ∴∠BAD==60， ∴α=60°， 故答案为：60°； （2）证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠MAN=∠DAE-∠MAN， 即：∠BAM=∠EAN， 在△BAM和△EAN中， ， ∴△BAM≌△EAN（ASA）， ∴AM=AN； （3）解：①如图1， 当DM=OM时，∠MOD=∠D=30°， ∵∠B=∠D，∠AMB=∠DMO， ∴∠BAD=∠MOD=30°， ∴α=30°， 如图2， 当DM=DO时，∠MDO=∠DOM==75°， ∴α=∠DOM=75°， 如图3， 当OM=OD时，∠OMD=∠D=30°， ∴α=∠DOM=120°， 此时AD和AC重合，这种情形不存在． 综上所述：α=30°或75°． ②如图： 当∠EDP=90°时， ∵∠ABC=ADE=30°， ∴∠ADB=90°-30°=60°， ∴∠BAD=180°-60°-60°=60°， ∵0°＜α＜100°， ∴旋转角α为60°． 学科网（北京）股份有限公司 $$