精品解析：天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

宝坻一中2024-2025学年度第一学期高二年级 第二次练习数学试卷 一、单选题（共50分） 1. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 2. 两圆和的位置关系是 A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交. 【详解】由题意可得两圆方程为：和 则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和 则圆心距： 则 两圆相交 本题正确选项： 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题. 3. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为,半径为,再求出圆心到直线距离,根据弦长为,即可求得. 【详解】由题,由圆的一般方程可得圆的标准方程为,则圆心为,半径为, 所以圆心到直线距离为, 则弦长为,即,所以, 故选:C 【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的一般方程与标准方程的转化. 4. 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】由于抛物线的准线方程是， 所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为， 则，所以抛物线的标准方程为. 故选：B 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 6. 若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用与的关系，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 经检验，可得. 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，则（ ）． A. 8 B. C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点，直线的方程为， 由，消去并化简得， 设，所以， 所以. 故选：C 8. 双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案. 【详解】，所以，，， 在双曲线上，设，， ①， 由，在中由余弦定理可得： ， 故②， 由①②可得， 直角的面积. 故选：C. 9. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即， 所以. 故选：C. 10. 设，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 所以设（）， 因为椭圆的离心率， 即，解得：， 由于点在第一象限， 所以双曲线的离心率， 因为，则，即， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D. 二、填空题（共30分） 11. 数列，…的一个通项公式an=___________. 【答案】 【解析】 【分析】 将数列的前几项写成，，，即可得结果. 【详解】由已知得，数列可写成，，…，故通项公式可以为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据数列的特殊项，观察得出数列的通项公式，属于容易题. 12. 若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式，结合向量的数量积的坐标运算和向量的摸公式，计算即可求出异面直线所成的角. 【详解】由，，得， ， 设异面直线与的所成的角为，则 . 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 13. 已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则＝________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】由抛物线方程可得，利用焦半径公式|FM|＝，从而可得点M的横坐标，进而可得. 【详解】解：由题意得F(1，0)，设点M(x，±2)(x>0)，则|FM|＝＝6，解得x＝5， 所以点M的坐标为(5，±2)； 由题意，易得点N(5，0)，从而＝(xN－xF)·|MN|＝××2＝4. 故答案为：5；. 14. 直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，消得到，利用韦达定理及抛物线焦点弦的弦公式即可求得，进而可求出结果. 【详解】因为的焦点为，设直线的方程为，， 由，消得到， 由韦达定理得，又， 所以，得到，所以， 又直线与双曲线：的一条渐近线平行，所以， 故双曲线的离心率为， 故答案为：. 15. 设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 用基本量法求出数列的通项公式，由通项公式可得取最小值时的值，从而得的最小值． 【详解】设数列公差为，则由已知得，解得， ∴，，，又，、 ∴的最小值为． 故答案为：．． 【点睛】本题考查等差数列的前项和的最值．首项为负且递增的等差数列，满足的最大的使得最小，首项为正且递减的等差数列，满足的最大的使得最大，当然也可把表示为的二次函数，由二次函数知识求得最值． 16. 已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】运用抛物线定义及作差法比较大小可求得结果. 【详解】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点， 由抛物线的定义可设：，， 因为， 所以由勾股定理可知：， 由梯形中位线的性质可得：， 又因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，， 所以，即，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（共70分） 17. 如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，,，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由平面，平面，则，又， 所以两两垂直，构建如下空间直角坐标系， 则， 故，，， 令是面的一个法向量，则，取，则， 显然，故平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知证明两两垂直，构建空间直角坐标系，应用向量法证明线面垂直； （2）（3）向量法求面面角正弦值、点面距离即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），，， 若是面的一个法向量，则，取，则， 所以，则平面与平面所成夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1），，则点到平面的距离. 18. 椭圆方程 ，左右焦点分别，离心率 ，长轴长为4. （1）求椭圆方程； （2）若直线交椭圆于A， B两点， 直线又与以为直径的圆交于 C， D两点.若 .将下面几个问题的求解过程写在答题纸对应位置. ① 用m表示， 求出m的范围； ② 用m表示， 求出m的范围； ③ 利用已知条件求出直线 的方程. 【答案】（1） （2）①，；②，；③ 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴长列出方程组求解即可； （2）设直线方程，分别求出弦长，利用弦长之间的关系即可求出得解. 【小问1详解】 根据题意，设的坐标分别为， 根据椭圆的几何性质可得， 解得，则， 故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 如图， 直线l为， 则由（1）知的坐标分别为， ①可得以线段为直径的圆为，圆心到直线l的距离， 得，即， 则， ； ②联立得， 设， 则，得， ， ， ； ③由可得， 解得，得. 所以直线 的方程. 19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）前项和 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式； （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和． 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则． 故，解得，，则， ， 由题意，得，解得． ；． 【小问2详解】 由（1）知，．设其前项和为， ，① ，② ①②，得 ． ． 20. 已知椭圆的左顶点为，离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点. （1）求椭圆的方程； （2）设点为的中点. （i）若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），求出点的坐标； （ii）射线（为原点）与椭圆交于点，满足，求正数的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】(I)根据椭圆的左顶点为，离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（Ⅱ）（i）假设轴上存在着点使得,设 ，与椭圆方程联立，求得，利用斜率公式，结合可求得；（ii）设所在直线方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线距离公式结合韦达定理求出，再由可得，解方程即可得结果. 【小问1详解】 由已知得又 椭圆方程为：, 【小问2详解】 （i）假设轴上存在着点使得, 设所在的直线方程为：，点 由解得，, ，, ，, , 解得 轴上存在着点 使得 成立, （ii）设所在直线方程为，则 , 到直线的距离： , , 即,, 解得，. 【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻一中2024-2025学年度第一学期高二年级 第二次练习数学试卷 一、单选题（共50分） 1. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 两圆和的位置关系是 A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 3. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，则（ ）． A. 8 B. C. 16 D. 32 8. 双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共30分） 11. 数列，…的一个通项公式an=___________. 12. 若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于_______. 13. 已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则＝________. 14. 直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为_______. 15. 设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______． 16. 已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____． 三、解答题（共70分） 17. 如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，,，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 椭圆方程 ，左右焦点分别，离心率 ，长轴长为4. （1）求椭圆方程； （2）若直线交椭圆于A， B两点， 直线又与以为直径的圆交于 C， D两点.若 .将下面几个问题的求解过程写在答题纸对应位置. ① 用m表示， 求出m的范围； ② 用m表示， 求出m的范围； ③ 利用已知条件求出直线 的方程. 19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 20. 已知椭圆的左顶点为，离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点. （1）求椭圆的方程； （2）设点为的中点. （i）若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），求出点的坐标； （ii）射线（为原点）与椭圆交于点，满足，求正数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $