(新课预习衔接)第2单元比例 高频易错拓展培优(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学北师大版

比例 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：在一幅比例尺是1：3000000的地图上，量得A、B两地的距离是9厘米。一辆小轿车和一辆大客车同时从两地相对开出，经过2小时相遇，轿车平均每小时行驶70千米，客车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】65千米。 【分析】已知比例尺和图上距离求实际距离，求出实际距离，再根据：路程÷相遇时间＝速度和，速度和﹣轿车速度＝客车速度，解决问题。 【解答】解：927000000（厘米） 27000000厘米＝270千米 270÷2﹣70 ＝135﹣70 ＝65（千米/时） 答：客车平均每小时行驶65千米。 【点评】此题主要考查比例尺的意义及已知比例尺和图上距离求实际距离，注意单位的换算。 例题2：一块三角形零件片的底长8毫米，这条底上的高是4.8毫米。现要把这块零件片画在比例尺为25：1的图纸上，画出的三角形面积是多少？ 【答案】12000平方毫米。 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出实际距离，再根据三角形面积＝底×高÷2，即可解答。 【解答】解：8200（毫米） 4.8120（毫米） 200×120÷2 ＝24000÷2 ＝12000（平方毫米） 答：画出的三角形面积是12000平方毫米。 【点评】本题考查的是比例尺应用题，掌握实际距离＝图上距离÷比例尺是解答关键。 例题3：在比例尺是1：50000的地图上，量的一块长方形地的周长是32厘米，长和宽的比是5：3。如果这块长方形地的20%被绿化，那么这块长方形地实际绿化面积是多少平方米？ 【答案】3000000平方米。 【分析】依据长方形的周长公式求出长方形的长与宽的和，根据长与宽的比是5：3，求出长方形的长和宽的值；依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出这块菜地的长和宽的实际长度，从而利用长方形的面积公式求出实际面积然后乘20%即可求出这个长方形的实际绿化面积是多少。 【解答】解：32÷2＝16（厘米） 1610（厘米） 166（厘米） 10500000（厘米） 500000厘米＝5000米 6300000（厘米） 300000厘米＝3000米 5000×3000×20%＝3000000（平方米） 答：那么这个长方形的实际绿化面积是3000000平方米。 【点评】此题主要考查长方形的周长和面积的计算方法在实际生活中的应用以及图上距离、实际距离和比例尺的关系。 例题4：一块长方形的草坪用1：2000的比例尺画在纸上，量得这块草坪的图上周长是36厘米，并且长和宽的比是5：4，这块草坪的实际面积是多少平方米？合多少公顷？ 【答案】32000平方米；3.2公顷。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先换算出草坪实际周长，周长÷2＝长宽和，将比的前后项看成份数，长宽和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长和宽的对应份数，求出长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出草坪的实际面积，根据1公顷＝10000平方米，统一单位即可。 【解答】解：3636×2000＝72000（厘米） 72000厘米＝720米 720÷2÷（5+4） ＝360÷9 ＝40（米） 40×5＝200（米） 40×4＝160（米） 200×160＝32000（平方米） 32000平方米＝3.2公顷 答：这块草坪的实际面积是32000平方米，合3.2公顷。 【点评】解答此题的关键是先求出草坪的实际长和宽，进而求出其实际面积。 例题5：在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得A、B两城之间的距离是9cm。货车和客车同时从A、B两城相向开出，5时相遇。货车和客车的速度比是7：8。客车每时行多少千米？ 【答案】客车每时行48千米。 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离。再根据“速度和＝路程÷相遇时间”即可求出两车的速度和，两车的速度比已知，利用按比例分配的方法就能求出客车的速度是多少。 【解答】解：945000000（厘米） 45000000厘米＝450千米 450÷5＝90（千米/时） 9048（千米/时） 答：客车每时行48千米。 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，以及相遇问题中的基本数量关系“速度和＝路程÷相遇时间”的灵活应用。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、比例的意义和基本性质 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16 二、解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项 （2）求未知内项 三、比例的应用 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解． 四、图形的放大与缩小 1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形相比，形状相同，大小不同． 2．方法：一看、二算、三画． 五、比例尺 1．比例尺： 表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺分类： 比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺： （1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比． （2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离． 2．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式： 图上距离＝实际距离×比例尺 实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺＝图上距离÷实际距离． 六、图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 在比例尺计算中要注意单位间的换算：1公里＝1千米＝1×1000米＝1×100000厘米 图上用厘米，实地用千米，厘米换千米，去五个零； 千米换厘米，在千的基础上再加两个零． 七、比例尺应用题 比例尺分类： 分数比例尺和线段比例尺 缩小比例尺和放大比例尺 比例尺各部分的关系： 图上距离：实际距离＝比例尺 图上距离：比例尺＝实际距离 实际距离×比例尺＝图上距离． 第四部分 高频真题 一．选择题（共7小题） 1．一只蜜蜂长8毫米，图片上它的长是4厘米，这张图片的比例尺是（　　） A．1：5 B．1：50 C．5：1 D．50：1 2．在比例尺是1：20000000地图上量得甲、乙两地相距7厘米，一辆汽车按3：2分两天行完全程，那么第二天行的路程是（　　） A．5.6千米 B．56千米 C．560千米 D．5600千米 3．在比例尺是100：1的图纸上，量得零件的长是50cm，这个零件的实际长度是（　　）cm。 A．0.05 B．0.5 C．5 D．500 4．把一个直径是4mm的手表零件画图纸上，直径是8cm，这幅图纸的比例尺是（　　） A．20：1 B．2：1 C．1：2 D．1：20 5．一幅地图上2厘米线段表示实际距离40千米。这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D．200000：1 6．已知4：x＝y：8，且x、y均不为0，则xy的值是（　　） A．4 B．12 C．32 D．2 7．A地到B地的距离是420千米，如果画在比例尺是的地图上，应画（　　）长。 A．8.4厘米 B．8.4千米 C．4.2厘米 D．4.2千米 二．填空题（共6小题） 8．甲数的等于乙数的，乙数是56，甲数是 　 　。 9．甲数的等于乙数的，甲数：乙数＝　 　：　 　，甲数是乙数的 　 　。 10．在一幅比例尺为1：30000的地图上，北京地铁2号线的长度大约是77cm。北京地铁2号线的实际长度大约是 　 　千米。 11．甲、乙两座城市的实际距离是180千米，在一幅地图上量得两地间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是 　 　。 12．该线段比例尺表示实际距离是图上距离的 　 　倍。改写为数值比例尺是 　 　。 13．上午11：00在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是 　 　米． 三．判断题（共7小题） 14．在20：1的图纸上量得一个零件的长为8cm，则零件的实际长度为160cm。 　 　 15．在比例尺是的地图上，图上距离与实际距离的比是1：40。 　 　 16．在比例中，如果两内项互为倒数，那么两外项也互为倒数．　 　． 17．在3：8中，前项加上9，要保持比值不变，后项需要扩大3倍．　 　． 18．一个零件按10：1的比例尺画在图纸上，它表示实际长度是图上长度的10倍。 　 　 19．比例的两个内项互为倒数，那么它的两个外项也互为倒数．　 　． 20．在同一幅地图上，甲乙两地的图上距离越长，两地的实际距离也就越长．　 　． 四．计算题（共1小题） 21．求解未知数。 5x﹣4.8＝11.2 0.8：x＝1.5：4.5 五．应用题（共23小题） 22．在比例尺1：4000000的地图上，量得甲、乙两城之间的距离是2.4cm。在甲、乙两城之间有一站点A，甲乙两城到A站的距离比是3：5，一辆公共汽车从乙城到A站共用0.5小时，求这辆公共汽车的速度是多少？ 23．一块正方形地，把它的边长缩小到原来的后，画在图纸上，边长是2dm，这块地的实际面积是多少平方米？ 24．在一幅比例尺是1：20000000的地图上量得A，B两城的距离是6厘米．甲，乙两辆汽车同时从两地相对开出，经过7.5小时后两车相遇．已知甲、乙两车的速度比是7：9，甲，乙两车每小时各行多少千米？ 25．在比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两地相距25厘米。两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出。已知从甲地开出的火车每小时行135千米，从乙地开出的火车每小时行115千米，几小时后两车相遇？ 26．学校童耕园里有一块油菜地，长与宽之比是7：3，已知油菜地长8.4米，在童耕园平面图中画出的长度是14厘米。 （1）油菜地的宽是多少？ （2）这幅平面图的比例尺是多少？ 27．从一幅比例尺为1：6000000的地图上，量的A地到B地的距离为1.8cm，A地到B地的实际距离是多少千米？ 28．在比例尺为1：50000的地图上，量得一个长方形的周长是32厘米，长与宽的比是5：3．如果这个长方形的25%被绿化，那么这个长方形的实际绿化面积是多少平方千米？ 29．在一幅1：40000000的地图上，量得甲、乙两地机场的距离为8厘米，一架飞机以每小时800千米的速度从甲机场飞往乙机场，需要飞行几小时？ 30．铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天多铺20%，这样可以提前几天完成？（用比例的知识解） 31．淘气在一张地图上量得美国到中国的空中直线距离是7厘米，预计飞行时间是14小时，请问飞机的飞行速度是多少？（比例尺为1：200000000） 32．在一幅比例尺是1：20000000的地图上，量得A、B两地的距离是6cm。甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，经过6小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是2：3，相遇时甲、乙两车各行驶了多少千米？ 33．杭州塘栖枇杷节以“云上卖枇杷，擦亮金名片”为主题，帮助农户线上销售枇杷。甲、乙两个农户开市前采摘的枇杷产量比是4：3。开市第一天上午甲农户卖出400千克，乙农户卖出450千克，则此时甲、乙农户剩下的枇杷质量比是8：5。甲、乙两个农户开市前的枇杷产量各是多少千克？（方程解答） 34．2023年9月28日，我国首条设计时速为350千米/小时的跨海高铁——福厦高铁正式开通运营。福厦高铁北起福州，南至厦门和漳州，全长277千米，是我国“八纵八横”高速铁路网中沿海通道的重要组成部分。若把这条跨海高铁画在比例尺是1：5000000的地图上，应画多少厘米？ 35．在比例尺是1：5000000的地图上，量得南京到北京两地相距18厘米，如果两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行65千米，经过几小时相遇？ 36．王师傅要加工一个超大型沙盘，供游客参观。在比例尺是1：1000的图纸上，量得长是3.5厘米，宽是2厘米，这个沙盘的实际面积是多少平方米？ 37．在比例尺是的学校平面图上，量得长方形操场的长是8厘米，宽是5厘米，那么该学校操场的实际面积是多少平方米？ 38．在一幅比例尺为1：6000000的地图上，量得A地到B地的高速公路长4.5cm。王师传开车从A地出发，按每小时80km的速度行驶了2小时，为了尽快到达B地，他在不超速的情况下将速度提高了30%，剩下的路程1小时能行完吗？ 39．在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地的距离是5厘米，货车和客车分别从两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知货车和客车的速度比是2：3，货车的速度是多少？ 40．在比例尺1：2000000的地图上量得AB两地距离是5厘米。甲乙两车相向而行，3小时后还相距10千米，已知乙车速度是甲车的，甲乙两车每小时各行多少千米？ 41．某学校的操场是一个长160米，宽80米的长方形，这块操场的面积是多少？如果把它的长和宽各缩小到它的画在一张纸上，画在纸上的操场长、宽各应画多少厘米？ 42．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，直延伸到欧洲，在一幅比例尺为1：8000000的地图约长85厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 43．在比例尺为1：5000000的地图上量得甲、乙两地的距离是4厘米，甲、乙两地实际距离是多少千米？把它画在1：4000000的地图上，应画多少厘米？ 44．在一幅比例尺是1：200的平面图上，量得一块平行四边形菜地的底是6cm，对应的高是4cm。如果实际每平方米可种生菜30棵，这块菜地一共可种多少颗生菜？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．一只蜜蜂长8毫米，图片上它的长是4厘米，这张图片的比例尺是（　　） A．1：5 B．1：50 C．5：1 D．50：1 【答案】C 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，代入数据解答即可。 【解答】解：4厘米：8毫米 ＝40毫米：8毫米 ＝5：1 所以这张图片的比例尺是5：1。 故选：C。 【点评】熟练掌握比例尺的意义是解题的关键。 2．在比例尺是1：20000000地图上量得甲、乙两地相距7厘米，一辆汽车按3：2分两天行完全程，那么第二天行的路程是（　　） A．5.6千米 B．56千米 C．560千米 D．5600千米 【答案】C 【分析】这道题是已知比例尺、图上距离，求实际距离，根据图上距离÷比例尺＝实际距离列式求得实际距离．再把全程按照3：2的比例分配即可。 【解答】解：7140000000（厘米） 140000000厘米＝1400千米 3+2＝5 1400÷5×2＝560（千米） 答：第二天行的路程是560千米。 故选：C。 【点评】本题先利用比例尺求出实际的全程，再把全程按比例分配。 3．在比例尺是100：1的图纸上，量得零件的长是50cm，这个零件的实际长度是（　　）cm。 A．0.05 B．0.5 C．5 D．500 【答案】B 【分析】图上距离：实际距离＝比例尺，由题意可得，图上100厘米表示实际1厘米。 【解答】解：50÷100＝0.5（厘米） 答：这个零件的实际长度是0.5厘米。 故选：B。 【点评】熟悉比例尺的意义是解决本题的关键。 4．把一个直径是4mm的手表零件画图纸上，直径是8cm，这幅图纸的比例尺是（　　） A．20：1 B．2：1 C．1：2 D．1：20 【答案】A 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。 【解答】解：8厘米＝80毫米 80毫米：4毫米 ＝80：4 ＝20：1 答：这幅图纸的比例尺是20：1。 故选：A。 【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。 5．一幅地图上2厘米线段表示实际距离40千米。这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D．200000：1 【答案】C 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，代入数据解答即可。 【解答】解：2厘米：40千米 ＝2厘米：4000000厘米 ＝2：4000000 ＝1：2000000 答：这幅地图的比例尺是1：2000000。 故选：C。 【点评】熟练掌握比例尺的意义是解题的关键。 6．已知4：x＝y：8，且x、y均不为0，则xy的值是（　　） A．4 B．12 C．32 D．2 【答案】C 【分析】在比例里，两个外项之积等于两个内项之积，据此计算即可解答。 【解答】解：4：x＝y：8 xy＝32 故选：C。 【点评】此题考查比例的基本性质。掌握比例的基本性质是解答的关键。比例的基本性质：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积。 7．A地到B地的距离是420千米，如果画在比例尺是的地图上，应画（　　）长。 A．8.4厘米 B．8.4千米 C．4.2厘米 D．4.2千米 【答案】A 【分析】线段比例尺表示图上距离1cm等于实际距离50km，用实际千米数除以50即可求出图上距离多少厘米。 【解答】解：420÷50＝8.4（cm） 答：应画8.4cm长。 故选：A。 【点评】解答此题的关键是掌握比例尺的相关公式。 二．填空题（共6小题） 8．甲数的等于乙数的，乙数是56，甲数是 　35　。 【答案】35。 【分析】乙数是56，乙数的是567；也就是甲数的等于7，求甲数是多少，用7计算。 【解答】解：甲数56 甲数＝7 ＝35 甲数是35。 故答案为：35。 【点评】本题考查了分数乘除法的意义及计算方法。 9．甲数的等于乙数的，甲数：乙数＝　35　：　16　，甲数是乙数的 　　。 【答案】35；16；。 【分析】先把甲数的等于乙数的，写成等式甲数乙数，根据比例性质的逆运用，把这个等式改写成一个外项是甲数，一个内项是乙数的比例，则和甲数相乘的数就作为比例的另一个外项，和乙数相乘的数就作为比例的另一个内项，据此写出比例，进而化简比即可；最后根据分数除法的意义即可求出甲数是乙数的几分之几。 【解答】解：甲数乙数， 甲数：乙数：35：16 35÷16 答：甲数的等于乙数的，甲数：乙数＝35：16，甲数是乙数的。 故答案为：35；16；。 【点评】此题主要考查了比例的基本性质的逆运用，在改写时，要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项。 10．在一幅比例尺为1：30000的地图上，北京地铁2号线的长度大约是77cm。北京地铁2号线的实际长度大约是 　23.1　千米。 【答案】23.1。 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，据此解答即可。 【解答】解：772310000（厘米） 2310000厘米＝23.1千米 答：北京地铁2号线的实际长度大约是23.1千米。 故答案为：23.1。 【点评】本题考查比例尺知识点，运用比例尺公式解决问题。 11．甲、乙两座城市的实际距离是180千米，在一幅地图上量得两地间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是 　1：3600000　。 【答案】1：3600000。 【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离；代入数据解答即可。 【解答】解：5厘米：180千米 ＝5厘米：18000000厘米 ＝1：3600000 答：这幅地图的比例尺是1：3600000。 故答案为：1：3600000。 【点评】解答此题的关键是掌握比例尺＝图上距离÷实际距离这个公式。 12．该线段比例尺表示实际距离是图上距离的 　5000　倍。改写为数值比例尺是 　1：5000　。 【答案】见试题解答内容 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离50米，50米＝5000厘米，用5000厘米除以1厘米就是实际距离是图上距离的倍数；根据比例尺＝图上距离：实际距离代入数据解答即可。 【解答】解：50米＝5000厘米 5000÷1＝5000 1厘米：50米 ＝1厘米：5000厘米 ＝1：5000 答：实际距离是图上距离的5000倍。改写为数值比例尺是1：5000。 故答案为：5000，1：5000。 【点评】熟练掌握比例尺、线段比例尺、数值比例尺的意义是解题的关键。 13．上午11：00在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是 　9　米． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据在同时、同一地点，影长与实际长度的比值一定，由此判断物体的影长与实际高度成正比例，由此列出比例解决问题． 【解答】解：设学校旗杆的高度是x米， 25：50＝4.5：x， 25x＝50×4.5， x， x＝9； 答：学校旗杆的高度是9米， 故答案为：9． 【点评】解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可． 三．判断题（共7小题） 14．在20：1的图纸上量得一个零件的长为8cm，则零件的实际长度为160cm。 　×　 【答案】×。 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，代入数据解答即可。 【解答】解：80.4（厘米） 零件的实际长度为0.4cm，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】熟练掌握比例尺、图上距离、实际距离三者间的关系是解题的关键。 15．在比例尺是的地图上，图上距离与实际距离的比是1：40。 　×　 【答案】× 【分析】依据比例尺的意义，即图上距离与实际距离的比即为比例尺，将线段比例尺化成数值比例尺，即可进行判断． 【解答】解：由题意可知：图上距离1厘米表示实际距离40千米， 又因40千米＝4000000厘米， 所以1厘米：4000000厘米＝1：4000000， 因此图上距离与实际距离的比为：1：4000000； 原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题主要考查比例尺的意义以及线段比例尺与数值比例尺的转化方法． 16．在比例中，如果两内项互为倒数，那么两外项也互为倒数．　√　． 【答案】见试题解答内容 【分析】在一个比例中，如果两内项互为倒数，根据比例的基本性质，可知这个比例的两个外项也互为倒数；据此进行判断． 【解答】解：根据比例的基本性质，可知在比例中，如果两内项互为倒数，那么两外项也互为倒数； 故答案为：√． 【点评】此题考查比例基本性质的运用：在比例里，两个外项的积等于两内项的积；也考查了倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数． 17．在3：8中，前项加上9，要保持比值不变，后项需要扩大3倍．　×　． 【答案】见试题解答内容 【分析】在3：8中，如果前项加上9，由3变成12，相当于前项乘4，根据比的性质，要使比值不变，那么后项也得乘4，也就是后项扩大4倍． 【解答】解：在3：8中，前项加上9是12，相当于前项扩大了4倍． 要使比值不变，那么后项也得扩大4倍． 故答案为：×． 【点评】此题主要利用比的性质解决问题，像此类题由“加上”或“减去”一个数，推出是原数乘或除以哪一个数，再根据比的性质解答． 18．一个零件按10：1的比例尺画在图纸上，它表示实际长度是图上长度的10倍。 　×　 【答案】× 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，据此判断即可。 【解答】解：由分析可知： 一个零件按10：1的比例尺画在图纸上，表示这个零件的实际长度是图上长度的。原题干说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查比例尺，明确比例尺的意义是解题的关键。 19．比例的两个内项互为倒数，那么它的两个外项也互为倒数．　√　． 【答案】见试题解答内容 【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，以及两个内项互为倒数，即可进行判断． 【解答】解：根据比例的基本性质可知： 两个内项互为倒数即两个内项的积也是1， 那么两个外项的积是1，也就是两个外项也互为倒数； 所以如果一个比例的两个内项互为倒数，那么它的两个外项也互为倒数； 故答案为：√． 【点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用以及倒数的意义． 20．在同一幅地图上，甲乙两地的图上距离越长，两地的实际距离也就越长．　√　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由比例尺的意义可知：若比例尺一定，则图上距离越长，两地的实际距离也就越长，据此即可进行判断． 【解答】解：因为比例尺是指图上距离1厘米代表实际距离是多少， 所以说甲、乙两地的图上距离越长，两地的实际距离也就越长； 故答案为：√． 【点评】此题主要考查：比例尺的意义． 四．计算题（共1小题） 21．求解未知数。 5x﹣4.8＝11.2 0.8：x＝1.5：4.5 【答案】x＝3.2；x＝2.4；x。 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时加上4.8，然后方程的两边同时除以5求解； （2）根据比例的基本性质，把原式化为1.5x＝0.8×4.5，然后方程的两边同时除以1.5求解； （3）根据比例的基本性质，把原式化为x，然后方程的两边同时除以求解。 【解答】解：（1）5x﹣4.8＝11.2 5x﹣4.8+4.8＝11.2+4.8 5x＝16 5x÷5＝16÷5 x＝3.2 （2）0.8：x＝1.5：4.5 1.5x＝0.8×4.5 1.5x÷1.5＝0.8×4.5÷1.5 x＝2.4 （3） x x x 【点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立；两个外项的积等于两个内项的积。 五．应用题（共23小题） 22．在比例尺1：4000000的地图上，量得甲、乙两城之间的距离是2.4cm。在甲、乙两城之间有一站点A，甲乙两城到A站的距离比是3：5，一辆公共汽车从乙城到A站共用0.5小时，求这辆公共汽车的速度是多少？ 【答案】120千米/小时。 【分析】先据比例尺求出甲乙两城实际距离多少千米，再运用和比问题的方法求出乙两城到A站的距离，及再据路程÷时间＝速度，求出这辆公共汽车的速度即可。 【解答】解：甲乙两城的距离： 2.49600000（厘米） 96000000厘米＝96千米 汽车的速度是： 960.5 ＝60÷0.5 ＝120（千米/小时） 答：这辆汽车的速度是120千米/小时。 【点评】在根据比例尺求实际距离时不要忘记进行单位的换算。 23．一块正方形地，把它的边长缩小到原来的后，画在图纸上，边长是2dm，这块地的实际面积是多少平方米？ 【答案】400平方米。 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出正方形地边长的实际长度，进而利用正方形的面积＝边长×边长，即可求出实际面积。 【解答】解：2200（分米） 200分米＝20米 20×20＝400（平方米） 答：这块地的实际面积是400平方米。 【点评】此题主要考查正方形的面积的计算方法以及图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 24．在一幅比例尺是1：20000000的地图上量得A，B两城的距离是6厘米．甲，乙两辆汽车同时从两地相对开出，经过7.5小时后两车相遇．已知甲、乙两车的速度比是7：9，甲，乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出A、B 两地的实际距离；再据“路程÷相遇时间＝速度和”即可求出两车的速度和，从而再利用按比例分配的方法即可分别求出两车的速度． 【解答】解：两地的实际距离： 6120000000（厘米）＝1200（千米） 速度和： 1200÷7.5＝160（千米/小时）； 甲车的速度是： 16070（千米/小时）； 乙车的速度是： 160﹣70＝90（千米/小时）； 答：甲车每小时行70千米，乙车每小时行90千米 【点评】解答此题的主要依据是：实际距离＝图上距离÷比例尺以及相遇问题中的基本数量关系“路程÷相遇时间＝速度和”，解答时要注意单位的换算． 25．在比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两地相距25厘米。两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出。已知从甲地开出的火车每小时行135千米，从乙地开出的火车每小时行115千米，几小时后两车相遇？ 【答案】2时。 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出甲乙两地的实际距离，根据“时间＝路程÷速度和”即可解答本题。 【解答】解：25 ＝25×2000000 ＝50000000（厘米） 50000000厘米＝500千米 500÷（135+115） ＝500÷250 ＝2（时） 答：2小时后两车相遇。 【点评】本题考查了比例尺的应用以及简单的行程问题的应用。 26．学校童耕园里有一块油菜地，长与宽之比是7：3，已知油菜地长8.4米，在童耕园平面图中画出的长度是14厘米。 （1）油菜地的宽是多少？ （2）这幅平面图的比例尺是多少？ 【答案】（1）3.6米；（2）1：60。 【分析】（1）将比的前后项看成份数，长÷对应份数＝一份数，一份数×宽对应的份数＝宽； （2）根据图上距离：实际距离＝比例尺，写出图上长与实际长的比，化简即可。 【解答】解：（1）8.4÷7×3 ＝1.2×3 ＝3.6（米） 答：油菜地的宽是3.6米。 （2）14厘米：8.4米 ＝14厘米：840厘米 ＝（14÷14）：（840÷14） ＝1：60 答：这幅平面图的比例尺是1：60。 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。 27．从一幅比例尺为1：6000000的地图上，量的A地到B地的距离为1.8cm，A地到B地的实际距离是多少千米？ 【答案】108千米。 【分析】要求A、B两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计算即可。 【解答】解：1.810800000（cm） 10800000cm＝108km 答：A地到B地的实际距离是108千米。 【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。 28．在比例尺为1：50000的地图上，量得一个长方形的周长是32厘米，长与宽的比是5：3．如果这个长方形的25%被绿化，那么这个长方形的实际绿化面积是多少平方千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】依据长方形的周长公式求出长方形的长与宽的和，根据长与宽的比是5：3，求出长方形的长和宽的值；依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出这块菜地的长和宽的实际长度，从而利用长方形的面积公式求出实际面积然后乘25%即可求出这个长方形的实际绿化面积是多少． 【解答】解：32÷2＝16（厘米） 1610（厘米） 166（厘米） 10500000（厘米）＝5（千米） 6300000（厘米）＝3（千米） 5×3×25%＝3.75（平方千米） 答：那么这个长方形的实际绿化面积是3.75平方千米． 【点评】此题主要考查长方形的周长和面积的计算方法在实际生活中的应用以及图上距离、实际距离和比例尺的关系． 29．在一幅1：40000000的地图上，量得甲、乙两地机场的距离为8厘米，一架飞机以每小时800千米的速度从甲机场飞往乙机场，需要飞行几小时？ 【答案】4小时。 【分析】首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙两地之间的距离，然后根据路程÷速度＝时间，据此列式解答即可。 【解答】解：8320000000（厘米） 320000000厘米＝3200千米 3200÷800＝4（小时） 答：需要飞行4小时。 【点评】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及路程、速度、时间三者之间关系的灵活运用。 30．铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天多铺20%，这样可以提前几天完成？（用比例的知识解） 【答案】见试题解答内容 【分析】把计划每天铺设的长度（120米）看作单位“1”，则实际每天铺设120×（1+20%）米，设这样可以提前x天完成，实际用了（12﹣x）天完成。根据“工作量＝工作效率×工作时间”，这条煤气管道的长度（即工作量）一定，据此可列比例“120×12＝120×（1+20%）×（12﹣x）”解答。 【解答】解：设提前x天完成任务。 120×12＝120×（1+20%）×（12﹣x） 120×12＝120×120%×（12﹣x） 1440＝144×（12﹣x） 1440÷144＝144×（12﹣x）÷144 10＝12﹣x 10+x＝12﹣x+x 10+x＝12 10+x﹣10＝12﹣10 x＝2 答：这样可以提前2天完成。 【点评】列比例解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等式。 31．淘气在一张地图上量得美国到中国的空中直线距离是7厘米，预计飞行时间是14小时，请问飞机的飞行速度是多少？（比例尺为1：200000000） 【答案】见试题解答内容 【分析】求飞机的飞行速度是多少，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”代入数值，求出实际距离，再根据“速度＝路程÷时间”，代入数值，计算即可。 【解答】解：71400000000（厘米） 1400000000厘米＝14000千米 14000÷14＝1000（千米/时） 答：飞机的飞行速度是1000千米/时。 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离：实际距离，灵活变形列式解决问题。 32．在一幅比例尺是1：20000000的地图上，量得A、B两地的距离是6cm。甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，经过6小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是2：3，相遇时甲、乙两车各行驶了多少千米？ 【答案】480千米，720千米。 【分析】根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”计算出两地的路程；根据“相遇问题速度和＝相遇路程÷相遇时间”计算出两车的速度和；根据按比例分配的一般方法，把两车的速度和平均分成（7+8）份，分别计算出7份、8份是多少千米，再用甲、乙两车速度分别乘相遇时间即可得到相遇时两车分别行驶的路程。 【解答】解：6120000000（厘米） 120000000厘米＝1200千米 1200÷6＝200（千米/时） 200÷（2+3）×2＝80（千米） 200÷（2+3）×3＝120（千米） 80×6＝480（千米） 120×6＝720（千米） 答：相遇时甲车行驶了480千米，乙车行驶了720千米。 【点评】本题考查了相遇问题、按比例分配问题、比例尺问题的解答方法。 33．杭州塘栖枇杷节以“云上卖枇杷，擦亮金名片”为主题，帮助农户线上销售枇杷。甲、乙两个农户开市前采摘的枇杷产量比是4：3。开市第一天上午甲农户卖出400千克，乙农户卖出450千克，则此时甲、乙农户剩下的枇杷质量比是8：5。甲、乙两个农户开市前的枇杷产量各是多少千克？（方程解答） 【答案】1600千克，1200千克。 【分析】根据题意，设：甲农户开市前的枇杷产量是x千克，则乙农户开市前的枇杷产量是x千克，由“开市第一天上午甲农户卖出400千克，乙农户卖出450千克”可知：甲、乙农户剩下的枇杷质量分别是（x﹣400）千克，（x﹣450）千克，即：（x﹣400）：（x﹣450）＝8：5，据此解答。 【解答】解：甲农户开市前的枇杷产量是x千克，则乙农户开市前的枇杷产量是x千克。 （x﹣400）：（x﹣450）＝8：5 5（x﹣400）＝8（x﹣450） 5x﹣2000＝6x﹣3600 x＝1600 x＝1600 16001200（千克） 答：甲农户开市前的枇杷产量是1600千克，则乙农户开市前的枇杷产量是1200千克。 【点评】此题主要考查了比例的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，是解答此类问题的关键。 34．2023年9月28日，我国首条设计时速为350千米/小时的跨海高铁——福厦高铁正式开通运营。福厦高铁北起福州，南至厦门和漳州，全长277千米，是我国“八纵八横”高速铁路网中沿海通道的重要组成部分。若把这条跨海高铁画在比例尺是1：5000000的地图上，应画多少厘米？ 【答案】5.54厘米。 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】解：277千米＝27700000厘米 277000005.54（厘米） 答：应画5.54厘米。 【点评】本题主要考查了图上距离与实际距离的换算，要熟练掌握。 35．在比例尺是1：5000000的地图上，量得南京到北京两地相距18厘米，如果两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行65千米，经过几小时相遇？ 【答案】7.5小时。 【分析】先求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”代入数值求出实际距离，然后根据相遇时间＝总路程÷（甲车的速度+乙车的速度），解答即可。 【解答】解：1890000000 （厘米） 90000000 厘米＝900米 900÷（55+65） ＝900÷120 ＝7.5（小时） 答：经过7.5小时相遇。 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。 36．王师傅要加工一个超大型沙盘，供游客参观。在比例尺是1：1000的图纸上，量得长是3.5厘米，宽是2厘米，这个沙盘的实际面积是多少平方米？ 【答案】700平方米。 【分析】根据图上距离：实际距离＝比例尺，可知图上距离÷比例尺＝实际距离，据此求出这个沙盘实际的长和宽，进而求出它的实际面积。 【解答】解：3.5 ＝3.5×1000 ＝3500（厘米） 3500厘米＝35米 2 ＝2×1000 ＝2000（厘米） 2000厘米＝20米 35×20＝700（平方米） 答：这个沙盘的实际面积是700平方米。 【点评】本题考查比例尺的应用，熟练掌握并灵活应用图上距离、实际距离、比例尺三者的关系是解题的关键。 37．在比例尺是的学校平面图上，量得长方形操场的长是8厘米，宽是5厘米，那么该学校操场的实际面积是多少平方米？ 【答案】4000平方米。 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出长方形操场的实际长和宽，长方形面积＝长×宽，代入数据计算即可求出该学校操场的实际面积。 【解答】解：88000（厘米） 8000厘米＝80米 55000（厘米） 5000厘米＝50米 80×50＝4000（平方米） 答：该学校操场的实际面积是4000平方米。 【点评】此题考查比例尺的应用。掌握图上距离、实际距离和比例尺之间的关系并能灵活运用是解答的关键。 38．在一幅比例尺为1：6000000的地图上，量得A地到B地的高速公路长4.5cm。王师传开车从A地出发，按每小时80km的速度行驶了2小时，为了尽快到达B地，他在不超速的情况下将速度提高了30%，剩下的路程1小时能行完吗？ 【答案】不能走完。 【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，根据速度×时间＝路程求出前2小时行驶的路程，剩下的路程等于总路程减去前2小时行驶的路程，后来的速度等于原来速度×（1+30%），再根据“路程÷速度＝时间”求出剩余的路程需要的时间，然后和1小时比较即可。 【解答】解：4.5 ＝4.5×6000000 ＝27000000（厘米） 27000000厘米＝270千米 80×（1+30%） ＝80×1.3 ＝104（千米） （270﹣80×2）÷104 ＝（270﹣160）÷104 ＝110÷104 ≈1.06（时） 1.06＞1 答：剩下的路程他1小时不能走完。 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及基本的数量关系“路程÷速度＝时间”。 39．在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地的距离是5厘米，货车和客车分别从两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知货车和客车的速度比是2：3，货车的速度是多少？ 【答案】60千米/时。 【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，进而依据“路程÷相遇时间＝速度和”求出二者的速度和，又因货车和客车的速度比是2：3，求出货车的速度占速度和的几分之几，再根据分数乘法的意义，即可得解。 【解答】解：5 ＝5×6000000 ＝30000000（厘米） 30000000厘米＝300千米 300÷2＝150（千米/时） 150 ＝150 ＝60（千米/时） 答：货车的速度是60千米/时。 【点评】此题考查了图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及行程问题、按比例分配的方法。 40．在比例尺1：2000000的地图上量得AB两地距离是5厘米。甲乙两车相向而行，3小时后还相距10千米，已知乙车速度是甲车的，甲乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车每小时行18千米，乙车每小时行12千米。 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离。再根据“速度和＝路程÷相遇时间”即可求出两车的速度和，把甲车的速度看作单位“1”，两车的速度和是甲车的速度的（1），用除法计算即可求得甲车的速度，再求乙车速度即可。 【解答】解：510000000（厘米） 10000000厘米＝100千米 （100﹣10）÷3 ＝90÷3 ＝30（千米） 30÷（1） ＝30 ＝18（千米） 1812（千米） 答：甲车每小时行18千米，乙车每小时行12千米。 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，以及相遇问题中的基本数量关系“速度和＝路程÷相遇时间”的灵活应用。 41．某学校的操场是一个长160米，宽80米的长方形，这块操场的面积是多少？如果把它的长和宽各缩小到它的画在一张纸上，画在纸上的操场长、宽各应画多少厘米？ 【答案】12800平方米，16厘米，8厘米。 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可得这块操场的面积；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，分别求出长和宽的图上距离即可。 【解答】解：160×80＝12800（平方米） 1600.16（米） 0.16米＝16厘米 800.08（米） 0.08米＝8厘米 答：这块操场的面积是12800平方米。画在纸上的操场长应画16厘米、宽应画8厘米。 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。 42．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，直延伸到欧洲，在一幅比例尺为1：8000000的地图约长85厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 【答案】6800千米。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可解答。 【解答】解：85680000000（厘米） 680000000厘米＝6800千米 答：传统的丝绸之路实际全长约为6800千米。 【点评】本题考查的是比例尺的应用，掌握实际距离＝图上距离÷比例尺是解答关键。 43．在比例尺为1：5000000的地图上量得甲、乙两地的距离是4厘米，甲、乙两地实际距离是多少千米？把它画在1：4000000的地图上，应画多少厘米？ 【答案】甲、乙两地实际距离是200千米；把它画在1：4000000的地图上，应画5厘米。 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出甲乙两地的实际距离；再据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出在另一幅图上的图上距离。 【解答】解：420000000（厘米） 20000000厘米＝200（千米） 200000005（厘米） 答：甲、乙两地实际距离是200千米；把它画在1：4000000的地图上，应画5厘米。 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 44．在一幅比例尺是1：200的平面图上，量得一块平行四边形菜地的底是6cm，对应的高是4cm。如果实际每平方米可种生菜30棵，这块菜地一共可种多少颗生菜？ 【答案】2880颗。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，再根据平行四边形面积＝底×高，求出面积，再乘30，即可解答。 【解答】解：61200（厘米） 1200厘米＝12米 4800（厘米） 800厘米＝8米 12×8×30 ＝96×30 ＝2880（棵） 答：这块菜地一共可种2880颗生菜。 【点评】本题考查的是比例尺应用题，掌握实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离是解答关键。 第五部分 错题笔记 学科网（北京）股份有限公司 $$