精品解析：江西省2024年“三校生”对口升学第一次联合考试数学试题

江西省2024年“三校生”对口升学第一次联合考试试题 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试用时120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如须改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. ．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则计算后即可判断. 【详解】， 因为，所以， 故答案为：错误. 2. 原点到直线的距离为．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】直线化为一般式为， 原点到直线的距离为. 故答案为：正确. 3. 是偶函数．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，在由余弦函数的奇偶性判断即可. 【详解】， 其定义域为，且， 所以是偶函数， 故答案为：正确. 4. 是等腰三角形的充分必要条件是．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据充要条件的概念进行分析判断即可. 【详解】若是等腰三角形，则可能或或， 则不一定为， 所以不是是等腰三角形的必要条件， 故答案为：错误. 5. 不等式的解集是．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据绝对值的性质解不等式即可. 【详解】当时，，恒成立， 当时， ，故恒成立， 所以不等式的解集是， 故答案为：错误. 6. 函数的值域是．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】利用换元法及指数函数的单调性求值域即可. 【详解】， 因为，令，则， 因为，则为减函数， 则，又， 所以的值域为， 所以的值域为不是. 故答案为：错误. 7. 椭圆上的点到一个焦点的最大距离为5．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由椭圆的性质可知椭圆上的点到一个焦点的最大距离为，由此即可判断. 【详解】已知椭圆中， ， 则椭圆上的点到一个焦点的最大距离为. 故答案为：正确. 8. 在所在平面内，若点满足，则四边形是平行四边形．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据向量加法加减法运算和向量共线的概念，即可求解. 【详解】在所在平面内，因为点满足， 所以，即且， 故四边形是平行四边形. 故答案为：正确. 9. 已知集合，，则． （ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】找出集合的关系判断即可. 【详解】集合，所以， 故答案为：错误. 10. 在双曲线方程中，a固定不变，当b增大时，双曲线的离心率减小．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由离心率公式可得，再由的变化判断即可. 【详解】已知双曲线方程， 则， 当a固定不变，当b增大时，则增大， 所以离心率增大. 故答案为：错误. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合的具体形式，再利用补集的定义即可求解. 【详解】，解得，又， 可得，又集合，所以. 故选：C. 12. 某职业高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，若用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出抽样比，再求出三年级的学生人数，再根据抽样容量和抽样比即可求解. 【详解】已知某职业高中共有学生人， 且一、二、三年级的人数比为， 则三年级的人数为人， 又从全校学生中抽取一个容量为的样本， 则抽样比为，所以应抽取三年级的学生人数为， 故选：D. 13. 的角所对的边分别为 ，若 ， 则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】解：由余弦定理得：， 所以. 故选：B 14. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出基本事件的总数以及所取两数均为偶数的基本事件的个数，即可求概率. 【详解】五个数字中任取两数有种方法， 只有2，4两个偶数，所以所取两数均为偶数只有一种可能， 所以所取两数均为偶数的概率是， 故选：A 15. 已知向量，，若，则实数t的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由向量的减法法则求出，再由向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 则， 由，可得， 即，得， 故选：A. 16. 在长方体的所有棱中，与成异面直线且互相垂直的棱共有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的结构特征，结合异面直线的特征即可求解. 【详解】由题意得，如图所示，在长方体中，. 与相交，与异面垂直. 则与成异面直线且互相垂直的棱共有条. 故选：B. 17. 若经过坐标原点的直线l与圆有交点，则l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程，根据直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求出参数范围. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 所以直线过圆心的距离，此时直线与圆相交，有两个交点，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 由直线与圆有交点，则圆心到直线的距离等于小于半径，即， 解得或，又倾斜角的范围为， 所以直线的倾斜角的取值范围为， 综上所述：直线的倾斜角的取值范围为 故选：C. 18. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱．欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次由高到低）5个人共出钱（“钱”是古代一种货币计量单位），按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，簪裹出的钱数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设簪裹出的钱数为，公差为，再分别用等差数列的通项公式表示出其他四人的钱数，再由前5项和为。列方程求解即可. 【详解】设簪裹出的钱数为，公差为， 则大夫、不更、上造、公士出的钱数分别为，，，， 又5个人共出钱， 所以， 解得，所以簪裹出的钱数为. 故选：C. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦的二倍角代入求解即可. 【详解】， ． 故答案为：． 20. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式的底数大于等于，解指数不等式求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，即， 又函数在上是增函数，所以， 解得，故函数的定义域. 故答案为：. 21. 若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据列式求值即可. 【详解】已知， 由可得， 解得， 故答案为：6. 22. 作已知球的一个截面，若球心到截面的距离为，截面圆的面积为，则此球的体积等于______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】由截面圆的面积为，可得截面的圆的半径，根据勾股定理得到球的半径，再由球的体积公式计算即可得解. 【详解】设球的半径为，截面圆的半径为，球心到该截面的距离为， 因为截面圆的面积为，则，则， 又球心到该截面的距离为，则球的半径为， 所以，所以球的体积为. 故答案为：. 23. 若正四棱锥的所有棱长都等于，则它的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正四棱锥的棱长求出侧面积和底面积，相加即可求得表面积. 【详解】如图所示，因为正四棱锥的所有棱长都等于， 所以侧面积， 底面积， 所以表面积为. 故答案为：. 24. 某化工厂出售一种原材料，其成本价为万元/吨，销售价拟定为（万元/吨）之间．经过市场调查后发现，该厂此原材料每月的销售量（吨）与其销售价（万元/吨，每月的销售价固定不变）近似的满足函数关系．若该化工厂希望下一月销售此原材料获利不低于万元，则其销售价（万元/吨）的取值范围应确定为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出利润关于销售价的不等式，解不等式即可求得. 【详解】由题意，原材料的成本价为万元/吨，销售价万元/吨，所以每吨获利为万元； 销售量为吨，所以获利为万元； 该化工厂希望下一月销售此原材料获利不低于万元，则有， 即，解得，因为，所以符合题意. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分．解答应写出过程或步骤） 25. 已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的最小正周期T； （2）求使取得最小值的x的集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像可求解函数最小正周期. （2）根据图像中的最小值和最小正周期求解和的值，将图像上的点代入求解的值，得出函数解析式，运用整体法即可求出使取得最小值的x的集合. 【小问1详解】 由图像可知，， 所以， 即函数的最小正周期. 【小问2详解】 由图像可知，最大值为，即， 由（1）可得，，可得， 则，将点代入， 得，即， 则， 因为，所以， 即， 令， 解得， 所以当时，取得最小值， 即使取得最小值的x的集合为. 26. 已知为等比数列，，且成等差数列． （1）求； （2）设，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列和等差数列的性质，得到等比数列的首项和公差，即可得到通项. （2）根据等差数列，等比数列的前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为为等比数列，，且成等差数列， 所以，即， 得到，解得（不合题意，舍去）, 则，公比， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则. 故 . 27. 已知函数，其中且． （1）证明：函数的定义域是一切实数； （2）若函数的最小值，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将对数函数真数部分变成配方式使其恒大于零即可； （2）利用当时函数有最小值，使其小于等于，即可求a的取值范围． 【小问1详解】 要使函数的定义域是一切实数， 只需恒大于零， ， 因为，所以，则， 则恒大于零，所以函数的定义域是一切实数. 【小问2详解】 因为，所以为增函数， 由（1）知当时取最小值，此时函数有最小值，， 因为函数的最小值，则， 则，，又，则a的取值范围是. 28. 某校高一年级共400名学生参加了一项测试（满分100分），从中随机抽取了100名学生为样本，记录他们的测试成绩，并将数据分成6组：，，，，，，整理得到样本的频率分布直方图如下： （1）从高一年级学生总体中随机抽查一人，估计其测试成绩达到70分以上的概率； （2）已知样本中有3人成绩低于40分，试估计高一年级学生总体测试成绩在内的学生人数． 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图用频率估计概率即可求解. （2）根据频率分布直方图即可求解. 【小问1详解】 由题意得，成绩达到70分以上的概率为. 【小问2详解】 由题意得，样本中有3人成绩低于40分，则样本频率为， 则成绩在学生的样本频率为：. 所以高一年级学生总体测试成绩在内的学生人数为：人. 29. 如图，在正方体中，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面CMN与平面所成二面角的正切值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行即可求解. （2）根据线线垂直得到线面垂直，找出为平面与平面所成二面角即可求解. 【小问1详解】 由题意得，连接，则M，N分别是，的中点. 在三角形中，，因为平面，平面. 所以平面. 【小问2详解】 由题意得，在正方体中，底面， 又底面，所以， 又为正方形，则，因为，平面， 所以平面, 又平面，所以，则为平面与面的二面角， 由题意得，平面即为平面，则为平面与面的二面角， 设正方体棱长为，故. 30. 如图，设抛物线C：的焦点为． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的任一直线与C交于A，B两点，设线段的中点为，是否存在常数a，使为定值?若存在，求a与的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦点求抛物线方程即可； （2）设出直线方程，并与抛物线联立，利用弦长公式结合韦达定理可求. 【小问1详解】 因为焦点为在轴上，则， 则抛物线方程为； 【小问2详解】 假设存在常数，使为定值， 可设直线方程为，与抛物线联立消去得，， 设，， 由韦达定理有，， 因为，，则， ，因为直线斜率为， ， 将上式代入，因为为定值，即与无关， 则上下可同时约去，即， 所以，所以， 故存在常数，使为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2024年“三校生”对口升学第一次联合考试试题 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试用时120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如须改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. ．（ ） 2. 原点到直线的距离为．（ ） 3. 是偶函数．（ ） 4. 是等腰三角形的充分必要条件是．（ ） 5. 不等式的解集是．（ ） 6. 函数的值域是．（ ） 7. 椭圆上的点到一个焦点的最大距离为5．（ ） 8. 在所在平面内，若点满足，则四边形是平行四边形．（ ） 9. 已知集合，，则． （ ） 10. 在双曲线方程中，a固定不变，当b增大时，双曲线的离心率减小．（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 12. 某职业高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，若用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A. B. C. D. 13. 的角所对的边分别为 ，若 ， 则（ ） A. B. C. 2 D. 14. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 15. 已知向量，，若，则实数t的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 16. 在长方体的所有棱中，与成异面直线且互相垂直的棱共有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 17. 若经过坐标原点的直线l与圆有交点，则l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 18. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱．欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次由高到低）5个人共出钱（“钱”是古代一种货币计量单位），按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，簪裹出的钱数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 若，则______． 20. 函数的定义域是______． 21. 若，则______． 22. 作已知球的一个截面，若球心到截面的距离为，截面圆的面积为，则此球的体积等于______． 23. 若正四棱锥的所有棱长都等于，则它的表面积为______． 24. 某化工厂出售一种原材料，其成本价为万元/吨，销售价拟定为（万元/吨）之间．经过市场调查后发现，该厂此原材料每月的销售量（吨）与其销售价（万元/吨，每月的销售价固定不变）近似的满足函数关系．若该化工厂希望下一月销售此原材料获利不低于万元，则其销售价（万元/吨）的取值范围应确定为______． 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分．解答应写出过程或步骤） 25. 已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的最小正周期T； （2）求使取得最小值的x的集合． 26. 已知为等比数列，，且成等差数列． （1）求； （2）设，求的前n项和． 27. 已知函数，其中且． （1）证明：函数的定义域是一切实数； （2）若函数的最小值，求a的取值范围． 28. 某校高一年级共400名学生参加了一项测试（满分100分），从中随机抽取了100名学生为样本，记录他们的测试成绩，并将数据分成6组：，，，，，，整理得到样本的频率分布直方图如下： （1）从高一年级学生总体中随机抽查一人，估计其测试成绩达到70分以上的概率； （2）已知样本中有3人成绩低于40分，试估计高一年级学生总体测试成绩在内的学生人数． 29. 如图，在正方体中，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面CMN与平面所成二面角的正切值． 30. 如图，设抛物线C：的焦点为． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的任一直线与C交于A，B两点，设线段的中点为，是否存在常数a，使为定值?若存在，求a与的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $