8.4 机械能守恒定律-2024-2025学年高一物理同步培优讲义（人教版2019必修第二册）

第8.4节　机械能守恒定律 学习目标　 1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程。 2.会用能量的观念分析具体实例中动能与势能之间的相互转化。 3.理解机械能守恒定律的推导过程。 4.会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。 知识点一　追寻守恒量　机械能守恒定律 (1)如图甲是滚摆及其运动的示意图，滚摆在上升过程中，重力做功情况如何？其动能与势能怎样变化？在下降过程中呢？ (2)如图乙所示，在光滑水平面上，弹簧左端固定，右端连接物体，弹簧被压缩到一定程度释放物体，在弹簧恢复到原长的过程中，弹力做功情况如何？弹性势能、物体的动能如何变化？ (3)如图丙所示用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？ 提示　(1)滚摆在上升过程中，重力做负功，动能减少，重力势能增加；在下降过程中，重力做正功，动能增加，重力势能减少。 (2)在弹簧恢复到原长的过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加。 (3)不会。 1.追寻守恒量 伽利略实验表明：小球在运动过程中，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。 2.动能和势能的相互转化 (1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。 (2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能。 (3)机械能 ①定义：重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。 ②机械能的转化：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 3.机械能守恒定律 (1)推导 如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功。由动能定理可得 W＝mv－mv 又W＝mgh1－mgh2 从以上两式可得 mgh1－mgh2＝mv－mv 移项后得mv＋mgh2＝mv＋mgh1 即物体末状态动能与势能之和等于物体初状态动能与势能之和。 (2)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 (3)表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 (4)守恒条件：只有重力或弹力做功。 【思考判断】 (1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。(√) (2)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加。(×) (3)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(×) (4)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。(×) (5)合力为零，物体的机械能一定守恒。(×) (6)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。(√) 例1 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒 B.乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B在下滑过程中机械能守恒 C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒 D.丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒 答案　C 解析　题图甲中，在物体A压缩弹簧的过程中，弹簧和物体A组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，对于A，由于弹簧的弹性势能在增加，则A的机械能减小，故A错误；题图乙中，物体B沿斜面A下滑的过程中，A要向后退，A、B组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，由于A的机械能增大，所以B的机械能减小，即物体B在下滑过程中机械能不守恒，故B错误；题图丙中绳子的拉力对A做负功、对B做正功，二者的代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，故D错误。 判断机械能是否守恒的方法 (1)对单个物体 (2)对多个物体组成的系统 ①做功分析法 除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。 ②能量分析法 　　　　 训练1 光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是(　　) A.木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒 B.木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒 C.木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒 D.木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒 答案　C 解析　木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对A、B都做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项B、D错误。 训练2（多选）2024年我国研制的“朱雀三号”可重复使用火箭垂直起降飞行试验取得圆满成功。假设火箭在发动机的作用下，从空中某位置匀减速竖直下落，到达地面时速度刚好为零。若在该过程中火箭质量视为不变，则（　　） A．火箭的机械能不变 B．火箭所受的合力不变 C．火箭所受的重力做正功 D．火箭的动能随时间均匀减小 答案　BC 解析　A．由于火箭匀减速竖直下落，速度减小，动能减小，且重力势能减小，故火箭的机械能减小，故A错误； B．由于火箭匀减速竖直下落，加速度恒定，由牛顿第二定律可知，火箭所受的合力不变，故B正确； C．由于火箭的重力势能减小，故火箭所受的重力做正功，故C正确； D．火箭的动能 故火箭的动能不随时间均匀减小，故D错误。 故选BC。 知识点二　机械能守恒定律的应用 1.机械能守恒定律的不同表达式 项目 表达式 物理意义 说明 从守恒的角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必先选零势能面 从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面 从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 组成系统的只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 2.应用机械能守恒定律解题的基本思路 角度1　单个物体的机械能守恒 例2 如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下。以最低点B所在的水平面为零势能面，一切阻力可忽略不计。求运动员(g取10 m/s2)： (1)在A点时的机械能； (2)到达最低点B时的速度大小； (3)相对于B点能到达的最大高度。 答案　(1)10 500 J　(2)10 m/s　(3)15 m 解析　(1)运动员在A点时的机械能 E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J＝10 500 J。 (2)运动员从A点运动到B点的过程，根据机械能守恒定律得E＝mv 解得vB＝＝ m/s＝10 m/s。 (3)运动员从A点运动到斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得E＝mgh′ 解得h′＝＝ m＝15 m。 训练1 如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠(可视为质点)。假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为(　　) A.0.10 J B.0.15 J C.0.20 J D.0.25 J 答案　B 解析　设小钢珠在M轨道最高点的速度为v，在最高点，有mg＝m，小钢珠从发射到最高点，由机械能守恒定律有Ep＝mgR＋mv2＝0.15 J，选项B正确。 训练2投掷铅球是运动会上必不可少的项目。某同学投掷铅球的过程可简化为如图所示的模型：质量为m的铅球从离水平地面高度为h处被投出，初速度v0斜向上且与水平方向成α角，铅球落地点到抛出点的水平距离称为水平射程。忽略空气阻力，已知重力加速度为g，铅球视为质点。则（　　） A．当v0一定时，α角越大，铅球在空中运动时间越短 B．当α角一定时，v0越小，其水平射程越长 C．若α角小于90°，取地面为零势能面，铅球运动过程中重力势能最大值为 D．当v0一定时，若要使水平射程最远，则α角一定小于45° 答案　D 解析　A．当v0一定时，α角越大，铅球在竖直方向的分速度越大，则铅球在空中运动的时间越长，故A错误； B．当α角一定时，v0越小，铅球在竖直方向和水平方向的分速度越小，则铅球在空中运动时间越短，水平射程越小，故B错误； C．当铅球上升到最高点时，铅球重力势能最大，最大值为 故C错误； D．为求得最大位移，根据运动的合成，如图所示    由几何关系得 由数学求极值，当x取得最大值时 所以 故D正确。 故选D。 度2　多个物体组成的系统机械能守恒 例3 (人教版教材P94 T4改编)如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好竖直拉直，且A物体离滑轮足够远，与地面接触，B物体距地面0.8 m，g取10 m/s2，求： (1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小； (2)B物体着地后A物体还能上升的高度。 答案　(1)2 m/s　(2)0.2 m 解析　(1)方法一　由E1＝E2解 对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，则有 mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2，解得 v＝2 m/s。 方法二　由ΔEk＝－ΔEp解 对于A、B组成的系统，有 (mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh) 解得v＝2 m/s。 方法三　由ΔEA＝－ΔEB解 对于A、B组成的系统，有 mAgh＋mAv2＝－ 解得v＝2 m/s。 方法四　对于A、B组成的系统，由动能定理得 mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2－0 解得v＝2 m/s。 方法五　对A、B分别由动能定理得 (F－mAg)h＝mAv2－0 (mBg－F)h＝mBv2－0 联立解得v＝2 m/s。 (2)当B着地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，设A物体上升的高度为h′，由机械能守恒定律可得mAgh′＝mAv2，解得h′＝＝ m＝0.2 m。 训练1 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。 答案　　 解析　把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。 以A球在最低点的位置为零势能位置，则 初状态：系统的动能为Ek1＝0 重力势能为Ep1＝2mgL 末状态(即杆转到竖直位置)： 系统的动能为Ek2＝mv＋mv 重力势能为Ep2＝mg 由机械能守恒定律得 2mgL＝mgL＋mv＋mv 又因为在杆自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB 联立解得vA＝，vB＝。 训练2如图所示，水平固定一光滑长杆，杆上P点正下方h处固定一光滑定滑轮，一质量为m的滑块a套在细杆上，下端系一不可伸长的轻质细绳，细绳绕过定滑轮悬挂一质量为0.5m的小球b，用水平外力F将滑块a缓慢拉至P点左侧的C点，此时绳与竖直方向夹角为θ，滑块a从C点由静止释放，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．滑块a在C点静止时，水平外力F的大小为 B．滑块a从C运动到P的过程中，小球b的机械能先增大后减小 C．滑块a从C运动到P的过程中，小球b一直处于失重状态 D．滑块a从C运动到P点时的速度大小为 答案　D 解析　A．根据受力平衡可得水平外力F的大小为 故A错误； BC．滑块a从C向P运动的过程中，b向下先加速后减速，a到点时b的速度减小到0，a的速度增加到最大，所以b的机械能一直减小，b先处于失重后又处于超重状态，故BC错误； D．滑块a从C运动到P点的过程中，b减少的重力势能转化为a的动能，有 解得速度大小 故D正确。 故选D。 随堂对点自测 1.(机械能定恒条件的理解)(多选)神舟载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中飞船(与地球组成的系统)的机械能是守恒的(　　) A.飞船升空的阶段 B.飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段 C.返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段 D.降落伞张开后，返回舱下降的阶段 答案　BC 解析　飞船升空的阶段，推力做正功，飞船的机械能增加，A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受万有引力作用，重力势能和动能之和保持不变，飞船的机械能守恒，B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有万有引力做功，飞船的机械能守恒，C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，飞船克服空气阻力做功，机械能减小，D错误。 2.(单个物体的机械能守恒)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A.重力对物体做的功为mgh B.物体在海平面上的重力势能为mgh C.物体在海平面上的动能为mv－mgh D.物体在海平面上的机械能为mv 答案　AD 解析　重力对物体做的功只与初末位置的高度差有关，为mgh，A正确；以地面为零势能面，物体在海平面时的势能为－mgh，B错误；由动能定理有mgh＝Ek－mv，解得到达海平面时物体的动能为Ek＝mv＋mgh，C错误；物体只有重力做功，机械能守恒，故物体在海平面上的机械能等于在地面上的机械能mv，D正确。 3.(多个物体组成的系统机械能守恒)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高，此时细线恰好伸直。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是(　　) A. B. C. D.2R 答案　B 解析　设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，有3mgR－mgR＝×(3m＋m)v2，解得v＝。A落地后，对B运用动能定理有－mgh＝0－mv2，解得h＝，则B上升的最大高度为H＝h＋R＝，故B正确。 4.（多选）对一静止在水平地面上的物体（可视为质点）施加一竖直向上的恒力，物体上升至一定高度时撤去力。物体向上运动过程中，其机械能随距地面高度变化的关系如图所示。已知物体所受阻力大小恒定，物体上升的最大高度为，重力加速度为，则下列说法正确的是（    ） A．物体质量为 B．物体质量为 C．物体所受阻力大小为 D．物体所受阻力大小为 答案　AC 解析　AB．由图像可知，物体上升到最大高度时，动能为零，重力势能为，则 解得物体质量 故A正确，B错误； CD．过程中，由机械能守恒定律可得 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 5．游乐项目“滑草”的模型如图所示，某质量m=80kg的游客（包括滑板，可视为质点）由静止从距水平滑道高h=20m的P点沿坡道PM滑下，滑到坡道底部M点后进入水平减速滑道MN，在水平滑道上匀减速滑行了l=9.0m后停止，水平滑行时间t=3.0s，取重力加速度大小g=10m/s2，求： (1)该游客滑到M点的速度大小和滑板与水平滑道MN之间的动摩擦因数； (2)该游客（包括滑板）从P点滑到M点的过程中损失的机械能。 答案　(1)6m/s，0.2 (2)14560J 解析　（1）由于游客在水平滑道上做匀减速直线运动，根据运动学位移关系和速度关系公式 ， 根据牛顿第二定律可得 联立解得 ， （2）游客（包括滑板）从P点滑到M点的过程中，根据能量守恒可得损失的机械能为 对点题组练 题组一　追寻守恒量　机械能守恒定律 1.下列所述的情景中，机械能守恒的是(　　) A.汽车在平直路面上加速行驶 B.小球在空中做自由落体运动 C.降落伞在空中匀速下落 D.木块沿斜面匀速下滑 答案　B 解析　汽车在平直路面上加速行驶时，汽车的重力势能不变，动能增大，所以汽车的机械能增加，故A错误；做自由落体运动的小球只受重力作用，所以小球的机械能守恒，故B正确；降落伞在空中匀速下落时，动能不变，重力势能减少，所以降落伞机械能减少，故C错误；木块沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减少，所以其机械能减少，故D错误。 2.(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A.甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空火箭机械能守恒，若加速升空机械能不守恒 B.乙图中物体匀速运动，机械能守恒 C.丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒 D.丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒 答案　CD 解析　题图甲中，无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力对火箭做正功，火箭的机械能增加，故A错误；题图乙中，物体匀速上升，动能不变，重力势能增加，则机械能增加，故B错误；题图丙中，小球做匀速圆周运动，细线的拉力不做功，机械能守恒，故C正确；题图丁中，弹簧的弹力对两小车做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，则两小车组成的系统机械能增加，而两小车和弹簧组成的系统机械能守恒，故D正确。 3.如图所示，小球从直立轻质弹簧的正上方a点处由静止自由下落，到b点与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，然后又被弹回。若不计空气阻力，下列判断正确的是(　　) A.能量在动能和弹性势能两种形式之间转化 B.小球在b点速度最大 C.在c点时小球、地球与弹簧组成系统的势能最大 D.小球在由b运动到c点的过程中，小球、地球与弹簧组成系统的机械能减小 答案　C 解析　小球下落过程中，能量在动能、重力势能和弹性势能三种形式之间转化，故A错误；从a点到b点，小球做自由落体运动，小球在b点接触弹簧，弹力逐渐增大，开始时弹力小于重力，加速度方向向下，小球做加速度逐渐减小的加速运动，直到b、c间某个位置弹力等于重力时，加速度为零，此时速度最大，然后弹力大于重力，加速度方向向上，小球做加速度逐渐增大的减速运动，直到c点，弹簧被压缩到最短，小球的速度为零，故B错误；以小球、地球与弹簧组成的系统为研究对象，整个过程中仅重力、弹簧弹力做功，则该系统机械能守恒，故小球在由b点运动到c点的过程中，小球、地球与弹簧组成系统的机械能不变，在c点时小球的动能为零，因此势能最大，故C正确，D错误。 题组二　机械能守恒定律的应用 4.足球的质量为m，以速度v0由地面踢起，当它到达离地面高度为h的B点处(取B点所在水平面为参考平面)时，下列说法正确的是(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　) A.足球在B点处的重力势能为mgh B.足球在B点处的动能为mgh C.足球在B点处的机械能为mv－mgh D.足球在B点处的机械能为mv 答案　C 解析　取B点处所在水平面为参考平面，则足球在B点处的重力势能为零，A错误；由于只有重力做功，则足球的机械能守恒，故足球在B点处的机械能EB＝EA＝mv－mgh，则足球在B点处的动能为EkB＝mv－mgh，B、D错误，C正确。 5.如图所示，质量为1 kg的小物块从倾角为30°、长为2 m的光滑固定斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置所在水平面为参考平面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则它滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是(　　) A.5 J，5 J B.10 J，15 J C.0，5 J D.0，10 J 答案　C 解析　物块的机械能等于物块动能和重力势能的和，由题意可知物块在初始位置的机械能E＝0。在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，所以物块滑到斜面中点时的机械能为0，故有－mg·Lsin 30°＋mv2＝0，所以动能Ek＝mv2＝5 J，C正确。 6.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则(　　) A.h1＝h2>h3 B.h1＝h2<h3 C.h1＝h3<h2 D.h1＝h3>h2 答案　D 解析　竖直上抛的物体和沿光滑斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝mv，所以h＝；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv－mv，所以h2<h1＝h3，D正确。 7.如图所示，轻绳一端跨过无摩擦的定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，小球B与物块A质量相等，杆两端固定且足够长。现将物块A从与O等高位置由静止释放，物块A下落到轻绳与杆的夹角为θ时的速度大小为vA，小球B的速度大小为vB，则下列说法中正确的是(　　) A.vA＝vB B.vB＝vAsin θ C.小球B增加的重力势能等于物块A减少的重力势能 D.小球B增加的机械能等于物块A减少的机械能 答案　D 解析　由于A、B沿绳方向的速度大小相等，故vAcos θ＝vB，选项A、B错误；A、B两者速度不相等，物块A下降的高度不等于小球B上升的高度，故小球B增加的重力势能不等于物块A减少的重力势能，选项C错误；对A、B组成的系统，绳子拉力对系统所做的总功为0，系统中只有物块和小球的重力做功，系统的机械能守恒，小球B增加的机械能等于物块A减少的机械能，选项D正确。 8.(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　) A.下滑的整个过程中A球机械能守恒 B.下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒 C.两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s D.下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J 答案　BD 解析　当B球到达水平地面上时，杆对A球的弹力开始做负功，A球机械能不守恒，A错误；下滑的整个过程中，A、B组成的系统只有重力做功(杆的弹力对A、B做功的代数和为0)，系统机械能守恒，B正确；由机械能守恒定律知mBgh＋mAg(Lsin 30°＋h)＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s，C错误；ΔEB＝mBv2－mBgh＝ J，D正确。 综合提升练 9.如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求： (1)弹簧的最大弹性势能； (2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。 答案　(1)50 J　(2)32 J 解析　(1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有Epm＝mv＝×4×52 J＝50 J。 (2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有 mv＝mv＋Ep1 则Ep1＝mv－mv＝32 J。 10.如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下。以最低点B所在水平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求： (1)运动员在A点时的机械能； (2)运动员到达最低点B时的速度大小； (3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。 答案　(1)5 880 J　(2)14 m/s　(3)9.8 m 解析　(1)运动员在A点时的机械能 EA＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝5 880 J。 (2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得EA＝mv 解得vB＝14 m/s。 (3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得EA＝mghm 解得hm＝9.8 m。 11.跳伞爱好者在竖直下降过程中速度v随时间t的变化曲线如图所示。图中0到t3过程为曲线，t3到t4可视为与t轴平行的直线。则（　　） A．0到t2，跳伞者的加速度增大 B．t2到t3，跳伞者处于超重状态 C．t3时刻跳伞者降落在地面 D．t3到t4，跳伞者的机械能守恒 答案　B 解析　A．v − t图像的斜率表示加速度，如图所示，0到t2的斜率在减小，所以跳伞者的加速度减小，A错误； B．t2到t3向下做减速运动，加速度方向向上，为超重状态，B正确； C．t3时刻跳伞者还在运动，之后向下做匀速直线运动，C错误； D．t3到t4，跳伞者做匀速运动，动能不变，下落过程中重力势能减小，所以机械能减小，D错误。 故选B。 12．2024珠海航空展上，飞行员驾驶飞机短时沿实线轨迹在竖直面内匀速率飞行，如图所示，为飞行轨迹上的三点，为飞行过程中距离地面高度相等的两点，下列关于飞机说法正确的是（　　） A．两点的重力功率相等 B．各点的加速度方向竖直向下 C．点所受的合力小于点 D．三点的机械能相等 答案　C 解析　A．飞机匀速率飞行，两点速度方向不一样，速度的竖直分量不一样，重力功率不相等，故A错误； B．飞机匀速率飞行，各点的加速度方向指向曲率圆的圆心，故B错误； C．由图知点的曲率半径大于点的曲率半径，对飞机受力分析得 故点所受的合力小于点所受的合力，故C正确； D．三点的动能相等，为飞行过程中距离地面高度相等的两点，但b与a、c的高度不一样，故机械能a、c两点相等，且与b点不相等，故D错误。 故选C。 培优加强练 13.如图所示，在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆弧形槽，半径R＝0.45 m，末端与桌面相切。将质量m＝0.1 kg的小球(可视为质点)由槽的顶端无初速度释放，经桌面上A点水平飞出，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从地面上的B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，B、C为圆弧的两端点，其连线水平，O为圆弧最低点。已知圆弧对应圆心角θ＝106°，半径r＝1 m。g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求： (1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时，小球的速度大小； (2)桌面离水平地面的高度h； (3)小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小。 答案　(1)3 m/s　(2)0.8 m　(3)4.3 N 解析　(1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端的过程中机械能守恒，则有 mgR＝mv 解得小球滑至槽底端时的速度v1＝3 m/s。 (2)小球离开桌面后以3 m/s的初速度做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，则小球沿与水平方向的夹角为53°的方向进入竖直圆弧轨道，则tan 53°＝，解得t＝0.4 s，h＝0.8 m。 (3)小球由A点到O点机械能守恒，由机械能守恒定律得 mg(h＋r－rcos 53°)＝mv－mv 在圆弧最低点O，由牛顿第二定律得 F－mg＝m 代入数据解得F＝4.3 N 根据牛顿第三定律，小球对圆弧轨道的压力大小为4.3 N。 14.如图是一款弹球投篮游戏示意图，圆形篮筐水平，其边缘固定在竖直篮板上的E点。游戏者控制小球压缩轻弹簧，小球由静止释放向左弹出，到达A点时弹簧恢复原长；小球沿水平轨道进入圆弧轨道BC，从C点沿切线飞出，小球运动轨迹平面与篮板垂直。某次游戏，小球恰好垂直击中篮板，击中点D在E点正上方。已知小球质量为m；圆弧轨道的半径为R，圆心角，C点到篮板的水平距离为12R，C点与篮筐的高度差为7R，篮筐的直径为R，忽略空气阻力和小球体积大小，不计摩擦，重力加速度为g。 (1)求游戏者释放小球时弹簧的弹性势能； (2)求小球经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力； (3)若小球经篮板反弹后能进入篮筐，求碰撞过程小球损失动能的最小值。 答案　(1) (2),方向竖直向下 (3) 解析　（1）小球在D点垂直击中篮板，设击中前瞬间小球的速度大小为，从C点飞出时的速度为，应用逆向思维，把从C到D的过程看成从D到C的平抛过程，设此过程的时间为，根据运动学规律可知，水平方向上 在竖直方向上，C点的竖直分速度 C点的水平分速度等于，根据运动的分解可得 联立解得 小球从释放到C点的过程，由机械能守恒定律可得 （2）小球从释放到B点的过程，根据机械能守恒定律可得 设小球在B点轨道对小球的弹力为，由牛顿第二定律可得 联立解得 由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （3）设D、E两点的高度差为，从C到D竖直方向上有 解得 小球经篮板反弹后做平抛运动，从反弹到落入篮筐的过程中，设小球的运动时间为，反弹后瞬间的最大速度为，根据运动学规律，则有 解得 故碰撞过程小球损失的动能最小值为 15．（多选）如图所示的整个装置处于同一竖直平面内，、、三点在同一水平线，四分之一光滑圆弧轨道半径为，圆心为，质量为的小圆环通过跨过光滑定滑轮C的细绳与质量为的物体P相连，物体P通过劲度系数的轻弹簧与质量为的物体Q相连，物体Q置于水平地面上，初始时细绳伸直且无张力，弹簧竖直。将小环由点静止释放，小环套在圆弧轨道上下滑，到达A点时，物体Q恰好对地面无压力，重力加速度取。小环从点到A点过程中，轻绳始终伸直，下列说法正确的是（    ） A．小环与物体P组成的系统机械能守恒 B．存在小环速度与物体P速度相等的位置 C．、两点间的距离为 D．小环运动到A点时，速度大小为 答案　BCD 解析　A．小环下滑过程中，弹簧对物体P做功，故小环与物体P组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．当滑轮右侧细绳与圆弧相切时，小环与物体P的速度大小相等，故B正确； C．如图所示 当小环滑到A点时，物体Q恰好对地面无压力，此时 可得 故C正确； D．小环到达A点时弹簧的伸长量与初始时弹簧的压缩量相同，弹性势能变化量为0，设小环在A点的速度大小为，此时P的速度大小为，设，则可知 由机械能守恒定律得 解得 故D正确。 故选BCD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8.4节　机械能守恒定律 学习目标　 1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程。 2.会用能量的观念分析具体实例中动能与势能之间的相互转化。 3.理解机械能守恒定律的推导过程。 4.会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。 知识点一　追寻守恒量　机械能守恒定律 (1)如图甲是滚摆及其运动的示意图，滚摆在上升过程中，重力做功情况如何？其动能与势能怎样变化？在下降过程中呢？ (2)如图乙所示，在光滑水平面上，弹簧左端固定，右端连接物体，弹簧被压缩到一定程度释放物体，在弹簧恢复到原长的过程中，弹力做功情况如何？弹性势能、物体的动能如何变化？ (3)如图丙所示用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？ 1.追寻守恒量 伽利略实验表明：小球在运动过程中，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是 的。 2.动能和势能的相互转化 (1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能 ，动能 ， 转化成了动能；若重力做负功，则 转化为 。 (2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧的弹性势能 ，物体的动能 ， 转化为动能。 (3)机械能 ①定义： 、弹性势能与 都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。 ②机械能的转化：通过 或弹力做功，机械能可以从一种形式 成另一种形式。 3.机械能守恒定律 (1)推导 如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功。由动能定理可得 W＝mv－mv 又W＝ 从以上两式可得 mgh1－mgh2＝mv－mv 移项后得mv＋mgh2＝mv＋mgh1 即物体末状态动能与势能之和 物体初状态动能与势能之和。 (2)内容：在只有 或 做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能 。 (3)表达式：Ek2＋Ep2＝ 。 (4)守恒条件：只有 或 做功。 【思考判断】 (1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。() (2)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加。() (3)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。() (4)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。() (5)合力为零，物体的机械能一定守恒。() (6)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。() 例1 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒 B.乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B在下滑过程中机械能守恒 C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒 D.丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒 判断机械能是否守恒的方法 (1)对单个物体 (2)对多个物体组成的系统 ①做功分析法 除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。 ②能量分析法 　　　　 训练1 光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是(　　) A.木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒 B.木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒 C.木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒 D.木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒 训练2（多选）2024年我国研制的“朱雀三号”可重复使用火箭垂直起降飞行试验取得圆满成功。假设火箭在发动机的作用下，从空中某位置匀减速竖直下落，到达地面时速度刚好为零。若在该过程中火箭质量视为不变，则（　　） A．火箭的机械能不变 B．火箭所受的合力不变 C．火箭所受的重力做正功 D．火箭的动能随时间均匀减小 知识点二　机械能守恒定律的应用 1.机械能守恒定律的不同表达式 项目 表达式 物理意义 说明 从守恒的角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必先选零势能面 从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面 从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 组成系统的只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 2.应用机械能守恒定律解题的基本思路 角度1　单个物体的机械能守恒 例2 如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下。以最低点B所在的水平面为零势能面，一切阻力可忽略不计。求运动员(g取10 m/s2)： (1)在A点时的机械能； (2)到达最低点B时的速度大小； (3)相对于B点能到达的最大高度。 训练1 如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠(可视为质点)。假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为(　　) A.0.10 J B.0.15 J C.0.20 J D.0.25 J 训练2投掷铅球是运动会上必不可少的项目。某同学投掷铅球的过程可简化为如图所示的模型：质量为m的铅球从离水平地面高度为h处被投出，初速度v0斜向上且与水平方向成α角，铅球落地点到抛出点的水平距离称为水平射程。忽略空气阻力，已知重力加速度为g，铅球视为质点。则（　　） A．当v0一定时，α角越大，铅球在空中运动时间越短 B．当α角一定时，v0越小，其水平射程越长 C．若α角小于90°，取地面为零势能面，铅球运动过程中重力势能最大值为 D．当v0一定时，若要使水平射程最远，则α角一定小于45° 度2　多个物体组成的系统机械能守恒 例3 (人教版教材P94 T4改编)如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好竖直拉直，且A物体离滑轮足够远，与地面接触，B物体距地面0.8 m，g取10 m/s2，求： (1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小； (2)B物体着地后A物体还能上升的高度。 训练1 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。 训练2如图所示，水平固定一光滑长杆，杆上P点正下方h处固定一光滑定滑轮，一质量为m的滑块a套在细杆上，下端系一不可伸长的轻质细绳，细绳绕过定滑轮悬挂一质量为0.5m的小球b，用水平外力F将滑块a缓慢拉至P点左侧的C点，此时绳与竖直方向夹角为θ，滑块a从C点由静止释放，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．滑块a在C点静止时，水平外力F的大小为 B．滑块a从C运动到P的过程中，小球b的机械能先增大后减小 C．滑块a从C运动到P的过程中，小球b一直处于失重状态 D．滑块a从C运动到P点时的速度大小为 随堂对点自测 1.(机械能定恒条件的理解)(多选)神舟载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中飞船(与地球组成的系统)的机械能是守恒的(　　) A.飞船升空的阶段 B.飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段 C.返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段 D.降落伞张开后，返回舱下降的阶段 2.(单个物体的机械能守恒)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A.重力对物体做的功为mgh B.物体在海平面上的重力势能为mgh C.物体在海平面上的动能为mv－mgh D.物体在海平面上的机械能为mv 3.(多个物体组成的系统机械能守恒)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高，此时细线恰好伸直。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是(　　) A. B. C. D.2R 4.（多选）对一静止在水平地面上的物体（可视为质点）施加一竖直向上的恒力，物体上升至一定高度时撤去力。物体向上运动过程中，其机械能随距地面高度变化的关系如图所示。已知物体所受阻力大小恒定，物体上升的最大高度为，重力加速度为，则下列说法正确的是（    ） A．物体质量为 B．物体质量为 C．物体所受阻力大小为 D．物体所受阻力大小为 5．游乐项目“滑草”的模型如图所示，某质量m=80kg的游客（包括滑板，可视为质点）由静止从距水平滑道高h=20m的P点沿坡道PM滑下，滑到坡道底部M点后进入水平减速滑道MN，在水平滑道上匀减速滑行了l=9.0m后停止，水平滑行时间t=3.0s，取重力加速度大小g=10m/s2，求： (1)该游客滑到M点的速度大小和滑板与水平滑道MN之间的动摩擦因数； (2)该游客（包括滑板）从P点滑到M点的过程中损失的机械能。 对点题组练 题组一　追寻守恒量　机械能守恒定律 1.下列所述的情景中，机械能守恒的是(　　) A.汽车在平直路面上加速行驶 B.小球在空中做自由落体运动 C.降落伞在空中匀速下落 D.木块沿斜面匀速下滑 2.(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A.甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空火箭机械能守恒，若加速升空机械能不守恒 B.乙图中物体匀速运动，机械能守恒 C.丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒 D.丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒 3.如图所示，小球从直立轻质弹簧的正上方a点处由静止自由下落，到b点与弹 簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，然后又被弹回。若不计空气阻力，下列判断正确的是(　　) A.能量在动能和弹性势能两种形式之间转化 B.小球在b点速度最大 C.在c点时小球、地球与弹簧组成系统的势能最大 D.小球在由b运动到c点的过程中，小球、地球与弹簧组成系统的机械能减小 题组二　机械能守恒定律的应用 4.足球的质量为m，以速度v0由地面踢起，当它到达离地面高度为h的B点处(取B点所在水平面为参考平面)时，下列说法正确的是(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　) A.足球在B点处的重力势能为mgh B.足球在B点处的动能为mgh C.足球在B点处的机械能为mv－mgh D.足球在B点处的机械能为mv 5.如图所示，质量为1 kg的小物块从倾角为30°、长为2 m的光滑固定斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置所在水平面为参考平面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则它滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是(　　) A.5 J，5 J B.10 J，15 J C.0，5 J D.0，10 J 6.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则(　　) A.h1＝h2>h3 B.h1＝h2<h3 C.h1＝h3<h2 D.h1＝h3>h2 7.如图所示，轻绳一端跨过无摩擦的定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，小球B与物块A质量相等，杆两端固定且足够长。现将物块A从与O等高位置由静止释放，物块A下落到轻绳与杆的夹角为θ时的速度大小为vA，小球B的速度大小为vB，则下列说法中正确的是(　　) A.vA＝vB B.vB＝vAsin θ C.小球B增加的重力势能等于物块A减少的重力势能 D.小球B增加的机械能等于物块A减少的机械能 8.(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　) A.下滑的整个过程中A球机械能守恒 B.下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒 C.两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s D.下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J 综合提升练 9.如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求： (1)弹簧的最大弹性势能； (2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。 10.如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下。以最低点B所在水平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求： (1)运动员在A点时的机械能； (2)运动员到达最低点B时的速度大小； (3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。 11.跳伞爱好者在竖直下降过程中速度v随时间t的变化曲线如图所示。图中0到t3过程为曲线，t3到t4可视为与t轴平行的直线。则（　　） A．0到t2，跳伞者的加速度增大 B．t2到t3，跳伞者处于超重状态 C．t3时刻跳伞者降落在地面 D．t3到t4，跳伞者的机械能守恒 12．2024珠海航空展上，飞行员驾驶飞机短时沿实线轨迹在竖直面内匀速率飞行，如图所示，为飞行轨迹上的三点，为飞行过程中距离地面高度相等的两点，下列关于飞机说法正确的是（　　） A．两点的重力功率相等 B．各点的加速度方向竖直向下 C．点所受的合力小于点 D．三点的机械能相等 培优加强练 13.如图所示，在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆弧形槽，半径R＝0.45 m，末端与桌面相切。将质量m＝0.1 kg的小球(可视为质点)由槽的顶端无初速度释放，经桌面上A点水平飞出，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从地面上的B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，B、C为圆弧的两端点，其连线水平，O为圆弧最低点。已知圆弧对应圆心角θ＝106°，半径r＝1 m。g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求： (1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时，小球的速度大小； (2)桌面离水平地面的高度h； (3)小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小。 14.如图是一款弹球投篮游戏示意图，圆形篮筐水平，其边缘固定在竖直篮板上的E点。游戏者控制小球压缩轻弹簧，小球由静止释放向左弹出，到达A点时弹簧恢复原长；小球沿水平轨道进入圆弧轨道BC，从C点沿切线飞出，小球运动轨迹平面与篮板垂直。某次游戏，小球恰好垂直击中篮板，击中点D在E点正上方。已知小球质量为m；圆弧轨道的半径为R，圆心角，C点到篮板的水平距离为12R，C点与篮筐的高度差为7R，篮筐的直径为R，忽略空气阻力和小球体积大小，不计摩擦，重力加速度为g。 (1)求游戏者释放小球时弹簧的弹性势能； (2)求小球经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力； (3)若小球经篮板反弹后能进入篮筐，求碰撞过程小球损失动能的最小值。 15．（多选）如图所示的整个装置处于同一竖直平面内，、、三点在同一水平线，四分之一光滑圆弧轨道半径为，圆心为，质量为的小圆环通过跨过光滑定滑轮C的细绳与质量为的物体P相连，物体P通过劲度系数的轻弹簧与质量为的物体Q相连，物体Q置于水平地面上，初始时细绳伸直且无张力，弹簧竖直。将小环由点静止释放，小环套在圆弧轨道上下滑，到达A点时，物体Q恰好对地面无压力，重力加速度取。小环从点到A点过程中，轻绳始终伸直，下列说法正确的是（    ） A．小环与物体P组成的系统机械能守恒 B．存在小环速度与物体P速度相等的位置 C．、两点间的距离为 D．小环运动到A点时，速度大小为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$