6.6 培优提升 竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题-2024-2025学年高一物理同步培优讲义（人教版2019必修第二册）

第6.6节 培优提升 竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题 学习目标　 1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型问题。 2.会分析水平面内圆周运动的临界问题，找到临界条件，列方程解决。 提升1　竖直平面内圆周运动的两种模型 1.轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。 2.轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。 3.两种基本模型的比较 项目 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 最高点 受力特征 除重力外，物体可能受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下或向上的弹力 受力示意图 力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，即mg＝m，即vmin＝ v＝0时F向＝0，即FN＝mg v＝的意义 物体能否过最高点的临界速度 FN表现为拉力(压力)还是支持力的临界速度 过最高点的条件 最高点的速度v≥ 最高点的速度v≥0 过最低点受力分析 FN－mg＝m 轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件 FN－mg＝m 存在对杆拉力或对管压力的最大值 角度1　轻绳模型 例1 如图所示，长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，轻绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度的最大值。 流程法分析绳模型的临界问题 　　　　 训练1火力发电的主要燃料是煤粉，将煤块制成煤粉的机械称为球磨机。球磨机的核心部件是一个半径为R的躺卧圆筒，里面装有小钢球，小钢球与筒壁间的动摩擦因数足够大。圆筒匀速转动时，小钢球被带到一定高度处脱离筒壁，落下后与煤块发生碰撞将煤块击碎。如图所示，当小钢球通过A点时，与圆筒分离，此后小钢球仅在重力作用下到达位置B，AB连线过圆心O，已知重力加速度为g。则圆筒旋转的角速度ω为（　　） A． B． C． D． 训练2如图所示，把一个小球用细线悬挂起来，在甲、乙、丙、丁之间来回摆动，丙的位置最低。不计阻力，则细线承受最大拉力的位置是在（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 角度2　轻杆模型 例2 (多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.若v0＝，则小球对管内壁无压力 B.若v0>，则小球对管内上壁有压力 C.若0<v0<，则小球对管内下壁有压力 D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 训练1如图所示，长为0.4m的轻质杆OP的P端与质量为0.2kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（　　） A．2.5N的拉力 B．2.5N的压力 C．4.5N的拉力 D．4.5N的压力 训练2如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球（　　） A．可能做匀速圆周运动 B．通过最高点时的最小速度为 C．通过最低点时受到的弹力向上 D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 例3 有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动(g＝10 m/s2)。 (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小； (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力； (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球的速度大小。 有关小球通过杆的最高点，要抓住两点 (1)刚好能过最高点的条件，速度为0 (2)通过最高点，小球刚好不受弹力的临界速度为v0＝，若速度v>v0，弹力向下，若速度v<v0，弹力向上。　　　　 训练1 (多选)如图，半径为的圆形光滑轨道置于竖直平面内，一金属小环套在轨道上可以自由滑动，已知重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的速度应大于 B．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的加速度应大于 C．如果小环在最高点时速度大于，则小环受到的弹力方向指向圆形轨道的圆心 D．小环运动到最低点时对轨道压力一定大于重力 训练2如图所示，半径为的鼓形轮可绕固定的光滑水平轴转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为的A、B、C、D，4个小球，球心与的距离均为2R。现让鼓形轮匀速转动，若某时刻B、D两球所在直杆恰好位于水平方向，小球B的速度大小为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（    ） A．鼓形轮的角速度为 B．杆对小球C的作用力一定竖直向上 C．杆对小球D的作用力为 D．杆对小球A的作用力一定大于mg 提升2　水平面内圆周运动的临界问题 1.常见的临界问题 (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2.解题关键 (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 例4 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　) A.A的向心加速度最大 B.B和C所受摩擦力大小相等 C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 物体恰好滑动的临界条件是静摩擦力刚好达到最大值，根据牛顿第二定律列方程，求解出相应的临界角速度和线速度。　　　　 训练1如图为某闯关游戏简化图。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一挑战者从水平跑道边缘 点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在OM之间 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的转速，参赛者不可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的转速，参赛者可能落在M点 训练2 (多选)如图所示，MN为光滑放置的水平圆盘，圆盘的半径为1m，圆盘中心O处有一光滑小孔，穿过小孔的两端各系着一个质量相等的小球A和B，小球A在圆盘面上做匀速圆周运动，关于A、B的运动情况（g取10m/s2）（　　） A．小球A的运动半径为0.2m时，它的角速度是 B．小球A的运动半径为0.2m时，它的角速度是 C．当A球的角速度为时，A球的轨迹半径为0.8m，此时B球保持静止 D．当A球的角速度为时，A球的轨迹半径为0.4m，此时B球保持静止 例5 (多选)(2024·济南市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块(可视为质点)，当物块到转轴OO′的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为0)。物块和转盘间的最大静摩擦力是物块对转盘压力的μ倍。已知重力加速度为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。下列说法正确的是(　　) A.当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg B.当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg C.当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg D.当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg 训练1 (多选)如图所示，水平转盘上的A、B、C三点处分别有一可视为质点的正方体物块，它们与转盘间的动摩擦因数相同，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m，点A、B到轴O的距离相等且为r，点C到轴O的距离为2r。转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（　　） A．C处物块的向心加速度最小 B．B处物块受到的静摩擦力最小 C．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块 D．当转速增大时，最先滑动起来的是B处的物块 训练2 (多选)如图甲所示，水平面内一光滑圆盘可绕经过圆心O的竖直转轴转动。轻杆沿半径方向固定，两端分别在O点和圆盘边缘P点。一质量为2kg的小球（视为质点）和两相同的轻弹簧连接套在轻杆上，两弹簧另外一端分别连接在O、P点，圆盘半径为L，弹簧原长为、劲度系数为k。当圆盘角速度从0缓慢增大的过程中，图像如乙所示，x是小球与初位置的距离，弹簧始终未超过弹性限度，下列说法正确的是（　　） A．小球动能增加来源于弹簧对它做功 B．弹簧的劲度系数k为100N/m C．圆盘半径L为2m D．若去除外端弹簧，此图像斜率不变 例6 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； (2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。 训练1如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台缓慢加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径，离水平地面的高度，物块与转台间的动摩擦因数。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度，求： (1)物块离开转台边缘时转台的角速度； (2)物块落地时速度与水平方向夹角的正切值； (3)物块落地点到转台中心O点的水平距离。 训练2 (多选)如图所示，两个完全相同的小滑块甲和乙放在水平转盘的同一条半径上，转盘的半径为R，甲到圆心O的距离为，乙到圆心O的距离为，小滑块甲、乙与转盘之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力且两滑块始终在转盘内。当转盘以角速度ω转动时，下列说法正确的是（　　） A．相对转盘滑动前，甲、乙所受摩擦力大小与转盘角速度ω成正比 B．相对转盘滑动前，同一时刻甲、乙所受静摩擦力大小之比为1:2 C．转盘角速度ω为时，滑块甲即将开始滑动 D．转盘角速度ω为时，甲、乙所受摩擦力大小相等 基础练习 1.(轻绳模型)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　) A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N 2.(轻杆模型) (2024·湖南十校联考)如图所示，轻质细杆OA长为1 m，A端固定一个质量为5 kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3 m/s，g取10 m/s2，细杆受到(　　) A.5 N的压力 B.5 N的拉力 C.95 N的压力 D.95 N的拉力 3.(水平面内圆周运动的临界问题)(2024·福建福州高一期末)如图所示，甲、乙两个物体放在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑动，则下列说法中正确的是(　　) A.乙物体的向心加速度大 B.乙物体受到的静摩擦力大 C.ω＝是甲物体开始滑动的临界角速度 D.当圆台转速增加时，甲物体先滑动 4.如图所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球（可视为质点），小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动。已知小球运动过程中轻绳拉力的大小与绳和竖直方向的夹角的关系为为已知的常数，当地重力加速度为，小球的质量为，则小球在最低点和最高点的速度分别为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，一长为的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个质量为的小球，球随轻杆在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为。当小球运动到水平位置点时，杆对球的作用力为（    ） A． B． C． D． 对点题组练 题组一　竖直平面内圆周运动的两种模型 1.(多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则(　　) A.在最高点A，小球受重力和向心力 B.在最高点A，小球受重力和圆弧向下的弹力 C.在最高点A，小球的速度为 D.在最高点A，小球的向心加速度为2g 2.如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A.v最小值可以为0 B.若v＝，细绳必然对小球有拉力的作用 C.若v增大，此时小球所需的向心力将减小 D.若v＝，当小球运动到最低点的速度为v时，绳子的拉力是6mg 3.如图所示，杂技演员表演“水流星”节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为(　　) A. B. C. D. 4.(2024·四川雅安高一期末)如图所示，质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点，管道的半径为R(不计内外径之差)，水平线ab过轨道圆心，现给小球一水平向右的初速度，下列说法正确的是(　　) A.若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为 B.若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为零 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 5.如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法中正确的是(　　) A.小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零 B.小球过最高点时，最小速度为 C.小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反 D.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力 6.(多选)如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω＝的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.小球运动到最高点C时与杆作用力为零 B.小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mg C.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mg D.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为 mg 题组二　水平面内圆周运动的临界问题 7.(多选)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.a绳一定受拉力作用 B.a绳所受拉力随角速度的增大而增大 C.当角速度ω>时，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 8.如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力(已知π2＝g)，则(　　) A.物块A一定会受圆盘的摩擦力 B.当转速n＝0.5 r/s时，物块A不受摩擦力 C.物块A所受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上 D.当圆盘转速n＝1 r/s时，物块A所受摩擦力方向沿半径背离圆心 综合提升练 9.(多选)(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则(　　) A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C.v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上 D.v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 10.如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m；A、B到轴O的距离均为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C三处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是(　　) A.A处物块的向心加速度最大 B.B处物块受到的静摩擦力最小 C.当转速增大时，最先滑动起来的是A处的物块 D.当转速继续增大时，最后滑动起来的是C处的物块 11.(2024·山东淄博高一统考期末)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块在A点随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ＝60°。已知重力加速度为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为Ff＝mg。 (1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时陶罐转动的角速度的大小； (2)小物块在A点随陶罐一起匀速转动，求陶罐转动的角速度的最大值。 12.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点时的速度大小为，其图像如图乙所示，重力加速度g取，小球可视为质点，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg B．小球做圆周运动的半径为2.5m C．时，在最高点杆对小球的弹力大小为40N D．时，小球的向心加速度大小为 13． (多选)如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．图a中轻杆长为l，若小球在最高点的角速度小于，杆对小球的作用力向上 B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用 C．图c中若A、B均相对圆盘静止，半径2RA=3RB，质量mA=2mB，则A、B所受摩擦力fA>fB D．图d中两个小球在相同的高度做匀速圆周运动，它们的角速度相同 培优加强练 14． (多选)如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度 vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和 S2的面积不相等 B．t2时刻小球通过最高点，图乙中 S1和 S2的面积相等 C．t1时刻的杆中弹力一定大于t2时刻的杆中弹力 D．在小球做一次完整圆周运动的过程中，杆中弹力一定两次为零 15.如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连。物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则转盘转动的角速度ω在什么范围内才能使物体A随转盘转动而不滑动？ 16.如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为µ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2。 (1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v； (2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示，求µ和m。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6.6节 培优提升 竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题 学习目标　 1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型问题。 2.会分析水平面内圆周运动的临界问题，找到临界条件，列方程解决。 提升1　竖直平面内圆周运动的两种模型 1.轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。 2.轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。 3.两种基本模型的比较 项目 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 最高点 受力特征 除重力外，物体可能受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下或向上的弹力 受力示意图 力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，即mg＝m，即vmin＝ v＝0时F向＝0，即FN＝mg v＝的意义 物体能否过最高点的临界速度 FN表现为拉力(压力)还是支持力的临界速度 过最高点的条件 最高点的速度v≥ 最高点的速度v≥0 过最低点受力分析 FN－mg＝m 轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件 FN－mg＝m 存在对杆拉力或对管压力的最大值 角度1　轻绳模型 例1 如图所示，长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，轻绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度的最大值。 答案　(1)4 m/s　(2)15 N　(3)8 m/s 解析　(1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg＝m 得v1＝＝4 m/s。 (2)小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝m 得FT＝15 N。 (3)分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得FT′－mg＝m 将FT′＝45 N，代入解得v3＝8 m/s 即小球的速度不能超过8 m/s。 流程法分析绳模型的临界问题 　　　　 训练1火力发电的主要燃料是煤粉，将煤块制成煤粉的机械称为球磨机。球磨机的核心部件是一个半径为R的躺卧圆筒，里面装有小钢球，小钢球与筒壁间的动摩擦因数足够大。圆筒匀速转动时，小钢球被带到一定高度处脱离筒壁，落下后与煤块发生碰撞将煤块击碎。如图所示，当小钢球通过A点时，与圆筒分离，此后小钢球仅在重力作用下到达位置B，AB连线过圆心O，已知重力加速度为g。则圆筒旋转的角速度ω为（　　） A． B． C． D． 答案　B 解析　设AB连线与水平直径的夹角为θ，在A点时，根据牛顿第二定律可得 其中 从A点开始小钢球做斜上抛运动，则 联立可得 故选B。 训练2如图所示，把一个小球用细线悬挂起来，在甲、乙、丙、丁之间来回摆动，丙的位置最低。不计阻力，则细线承受最大拉力的位置是在（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　C 解析　在某位置时，若细线与竖直方向夹角为θ，则 即 小球在最低点时速度最大，θ最小，可知T最大。 故选C。 角度2　轻杆模型 例2 (多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.若v0＝，则小球对管内壁无压力 B.若v0>，则小球对管内上壁有压力 C.若0<v0<，则小球对管内下壁有压力 D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 答案　ABC 解析　当小球在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m解得v0＝，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0>，则有mg＋FN＝m，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0<v0<，则有mg－FN＝m，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误。 训练1如图所示，长为0.4m的轻质杆OP的P端与质量为0.2kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（　　） A．2.5N的拉力 B．2.5N的压力 C．4.5N的拉力 D．4.5N的压力 答案　A 解析　小球通过最高点时的速率为3m/s，设此时轻杆对小球的作用力向下，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得 解得 假设成立，根据牛顿第三定律可知，此时轻杆受到的作用力为2.5N的拉力。 故选A。 训练2如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球（　　） A．可能做匀速圆周运动 B．通过最高点时的最小速度为 C．通过最低点时受到的弹力向上 D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 答案　C 解析　A．小球从最高点到最低点重力做正功，速度增加；从最低点到最高点，克服重力做功，速度减小，则不可能做匀速圆周运动，选项A错误； B．通过最高点时因管道对小球可以提供支持力，则小球的最小速度为零，选项B错误； C．通过最低点时向上的支持力和向下的重力的合力提供向心力，可知小球受到的弹力向上，选项C正确； D．在运动一周的过程中，在下面的半周中小球有向上的加速度分量，则受到外侧管壁的弹力，选项D错误。 故选C。 例3 有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动(g＝10 m/s2)。 (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小； (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力； (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球的速度大小。 答案　(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上　(3)6 m/s 解析　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝m，代入数据解得v1＝＝ m/s。 (2)当小球运动到最高点速率v2＝1 m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得mg－F1＝m 代入数据得F1＝4 N 根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力大小为4 N，方向向下 当小球运动到最高点速率v3＝4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律得 F2＋mg＝m，代入数据解得F2＝11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力大小为11 N，方向向上。 (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，由牛顿第二定律有F－mg＝m 代入数据解得v4＝6 m/s。 有关小球通过杆的最高点，要抓住两点 (1)刚好能过最高点的条件，速度为0 (2)通过最高点，小球刚好不受弹力的临界速度为v0＝，若速度v>v0，弹力向下，若速度v<v0，弹力向上。　　　　 训练1 (多选)如图，半径为的圆形光滑轨道置于竖直平面内，一金属小环套在轨道上可以自由滑动，已知重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的速度应大于 B．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的加速度应大于 C．如果小环在最高点时速度大于，则小环受到的弹力方向指向圆形轨道的圆心 D．小环运动到最低点时对轨道压力一定大于重力 答案　BCD 解析　AB．要使小环做完整的圆周运动，小圆环在最高点的速度的最小值恰好为零，设此时最低点速度为v，根据机械能守恒定律，有 解得 此时，在最低点的加速度为 因此做完整的圆周运动，最低点的加速度应大于4g，故A错误，B正确； C．在最高点，当重力恰好提供向心力时，有 解得 若速度大于，小环有离心趋势，小环受到的弹力方向指向圆形轨道的圆心，故C正确； D．根据牛顿第二定律，则有 可知：环在最低点时对轨道压力一定大于重力，故D正确。 故选BCD。 训练2如图所示，半径为的鼓形轮可绕固定的光滑水平轴转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为的A、B、C、D，4个小球，球心与的距离均为2R。现让鼓形轮匀速转动，若某时刻B、D两球所在直杆恰好位于水平方向，小球B的速度大小为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（    ） A．鼓形轮的角速度为 B．杆对小球C的作用力一定竖直向上 C．杆对小球D的作用力为 D．杆对小球A的作用力一定大于mg 答案　D 解析　A．鼓形轮的角速度为 故A错误； B．小球C所需的向心力大小为 若 则杆对小球C的作用力竖直向下，故B错误； C．对于小球D，竖直方向有 水平方向有 则杆对小球D的作用力为 故C错误； D．对于小球A，根据牛顿第二定律可得 可知杆对小球A的作用力一定大于mg，故D正确。 故选D。 提升2　水平面内圆周运动的临界问题 1.常见的临界问题 (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2.解题关键 (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 例4 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　) A.A的向心加速度最大 B.B和C所受摩擦力大小相等 C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 答案　C 解析　A、B、C三物体角速度相同，由an＝ω2r知，物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，有kmg＝mω2r，ω＝，可知滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，则物体C先滑动，选项C正确，D错误。 物体恰好滑动的临界条件是静摩擦力刚好达到最大值，根据牛顿第二定律列方程，求解出相应的临界角速度和线速度。　　　　 训练1如图为某闯关游戏简化图。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一挑战者从水平跑道边缘 点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在OM之间 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的转速，参赛者不可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的转速，参赛者可能落在M点 答案　D 解析　AB．参赛者正好落在M点，则M点可能出现在图示的两个位置。 参赛者在空中所做运动为平抛运动，竖直高度不变，参赛者在空中运动时间不变；仅增大，参赛者的水平位移增大，可能落水，可能在台面上；仅减小，参赛者的水平位移减小，可能落水，可能在台面上。故AB错误； CD．仅增大转盘的转速，或仅减小转盘的转速，参赛者的水平位移不变，只要满足M仍在原位置，参赛者就仍可能落在M点，故C错误；D正确。 故选D。 训练2 (多选)如图所示，MN为光滑放置的水平圆盘，圆盘的半径为1m，圆盘中心O处有一光滑小孔，穿过小孔的两端各系着一个质量相等的小球A和B，小球A在圆盘面上做匀速圆周运动，关于A、B的运动情况（g取10m/s2）（　　） A．小球A的运动半径为0.2m时，它的角速度是 B．小球A的运动半径为0.2m时，它的角速度是 C．当A球的角速度为时，A球的轨迹半径为0.8m，此时B球保持静止 D．当A球的角速度为时，A球的轨迹半径为0.4m，此时B球保持静止 答案　AC 解析　AB．对A球分析可知 解得 选项A正确，B错误； CD．当A球的角速度为时，假设此时B球保持静止，则对A 可得A球的轨迹半径为 r2=0.8m 选项C正确，D错误。 故选AC。 例5 (多选)(2024·济南市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块(可视为质点)，当物块到转轴OO′的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为0)。物块和转盘间的最大静摩擦力是物块对转盘压力的μ倍。已知重力加速度为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。下列说法正确的是(　　) A.当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg B.当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg C.当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg D.当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg 答案　ACD 解析　物块和转盘间的最大静摩擦力是Ffm＝μmg，当转盘以角速度匀速转动时，所需向心力为F1＝mω2r＝μmg<Ffm，则细绳对物块的拉力为零，物块所受的摩擦力大小为μmg，故A正确，B错误；当转盘以角速度ω＝匀速转动时，所需向心力F2＝mω2r＝μmg>Ffm，摩擦力不足以提供向心力，绳子也要提供部分向心力，则F2＝FT＋Ffm，解得FT＝μmg，则物块所受的摩擦力大小为μmg，细绳的拉力大小为μmg，故C、D正确。 训练1 (多选)如图所示，水平转盘上的A、B、C三点处分别有一可视为质点的正方体物块，它们与转盘间的动摩擦因数相同，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m，点A、B到轴O的距离相等且为r，点C到轴O的距离为2r。转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（　　） A．C处物块的向心加速度最小 B．B处物块受到的静摩擦力最小 C．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块 D．当转速增大时，最先滑动起来的是B处的物块 答案　BC 解析　A．三个物块的向心加速度分别为 、、 则C处物块的向心加速度最大。故A错误； B．三个物块所受的摩擦力分别为 、、 则B处物块受到的静摩擦力最小。故B正确； CD．三个物块所受的最大静摩擦力分别为 ，， 而物块所受的摩擦力分别为 ，， 对比分析得到，当转速增大时，C处的物块静摩擦力最先达到最大值，最先滑动。故C正确；D错误。 故选BC。 训练2 (多选)如图甲所示，水平面内一光滑圆盘可绕经过圆心O的竖直转轴转动。轻杆沿半径方向固定，两端分别在O点和圆盘边缘P点。一质量为2kg的小球（视为质点）和两相同的轻弹簧连接套在轻杆上，两弹簧另外一端分别连接在O、P点，圆盘半径为L，弹簧原长为、劲度系数为k。当圆盘角速度从0缓慢增大的过程中，图像如乙所示，x是小球与初位置的距离，弹簧始终未超过弹性限度，下列说法正确的是（　　） A．小球动能增加来源于弹簧对它做功 B．弹簧的劲度系数k为100N/m C．圆盘半径L为2m D．若去除外端弹簧，此图像斜率不变 答案　BC 解析　A．小球动能增加来源于轻杆对它做功，故A错误； B．小球做圆周运动，由沿半径方向的合力提供向心力，则有 变形有 结合图像有 ， 解得 ， 故BC正确； D．若去除外端弹簧，则有 变形有 可知，图像斜率发生变化，故D错误。 故选BC。 例6 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； (2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。 答案　(1)　(2) 解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则 μmg＝mωr，解得ω1＝。 (2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示， mgtan θ＝mωr，tan θ＝，联立解得ω2＝。 训练1如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台缓慢加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径，离水平地面的高度，物块与转台间的动摩擦因数。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度，求： (1)物块离开转台边缘时转台的角速度； (2)物块落地时速度与水平方向夹角的正切值； (3)物块落地点到转台中心O点的水平距离。 答案　(1) (2)2 (3)1m 解析　（1）物块恰好滑离转台时物块与转台之间为滑动摩擦力，即 解得 （2）物块竖直方向做自由落体运动，则 解得 物块做平抛运动时，水平方向的速度为 物块落地时的速度与水平方向夹角的正切值为 （3）物块做平抛运动时竖直方向有 解得 t=0.4s 物块做平抛运动的水平位移为 由几何关系得：物块落地点到转台中心O点的水平距离为 解得 L=1m 训练2 (多选)如图所示，两个完全相同的小滑块甲和乙放在水平转盘的同一条半径上，转盘的半径为R，甲到圆心O的距离为，乙到圆心O的距离为，小滑块甲、乙与转盘之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力且两滑块始终在转盘内。当转盘以角速度ω转动时，下列说法正确的是（　　） A．相对转盘滑动前，甲、乙所受摩擦力大小与转盘角速度ω成正比 B．相对转盘滑动前，同一时刻甲、乙所受静摩擦力大小之比为1:2 C．转盘角速度ω为时，滑块甲即将开始滑动 D．转盘角速度ω为时，甲、乙所受摩擦力大小相等 答案　BD 解析　A．滑动前甲、乙所受摩擦力与转盘角速度平方成正比，故A错误； B．同一时刻甲、乙所受静摩擦力分别为 故B正确； C．乙开始滑动时，有 解得 此时还没有达到甲开始滑动的临界角速度，故C错误； D．甲开始滑动时，有 解得 由于大于甲要滑动的临界角速度，此时甲、乙都开始滑动，所受的摩擦力都等于滑动摩擦力μmg，故D正确。 故选BD。 基础练习 1.(轻绳模型)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　) A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N 答案　B 解析　取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，设每根绳子中的平均拉力为F。由牛顿第二定律知2F－mg＝m，代入数据得F＝405 N，故每根绳子平均承受的拉力约为405 N，选项B正确。 2.(轻杆模型) (2024·湖南十校联考)如图所示，轻质细杆OA长为1 m，A端固定一个质量为5 kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3 m/s，g取10 m/s2，细杆受到(　　) A.5 N的压力 B.5 N的拉力 C.95 N的压力 D.95 N的拉力 答案　A 解析　小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，当在最高点小球与细杆无弹力作用时，设小球的速度为v1，则有mg＝m，得v1＝＝ m/s，因为 m/s>3 m/s，所以小球受到细杆的支持力，有mg－FN＝m，则FN＝mg－m＝ N＝5 N， 所以由牛顿第三定律知细杆受到压力，大小为5 N，A正确。 3.(水平面内圆周运动的临界问题)(2024·福建福州高一期末)如图所示，甲、乙两个物体放在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑动，则下列说法中正确的是(　　) A.乙物体的向心加速度大 B.乙物体受到的静摩擦力大 C.ω＝是甲物体开始滑动的临界角速度 D.当圆台转速增加时，甲物体先滑动 答案　D 解析　甲、乙两个物体随旋转圆台转动时，角速度相同，根据an＝ω2r得＝＝，A错误；根据牛顿第二定律有Ff甲＝mω2·2R，Ff乙＝mω2R可知，甲受到的静摩擦力大，B错误；对甲物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，有μmg＝mω·2R，得ω甲＝，C错误；对乙物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，有μmg＝mωR，得ω乙＝，可见ω甲<ω乙，当圆台转速增加时，甲物体先滑动，D正确。 4.如图所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球（可视为质点），小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动。已知小球运动过程中轻绳拉力的大小与绳和竖直方向的夹角的关系为为已知的常数，当地重力加速度为，小球的质量为，则小球在最低点和最高点的速度分别为（　　） A． B． C． D． 答案　A 解析　时 小球在最低点，设其速度为，由牛顿第二定律得 解得 时 小球在最高点，设其速度为，由牛顿第二定律得 解得 故选A。 5．如图所示，一长为的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个质量为的小球，球随轻杆在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为。当小球运动到水平位置点时，杆对球的作用力为（    ） A． B． C． D． 答案　D 解析　小球运动到水平位置时，根据牛顿第二定律可得 根据力的合成可知 故选D。 对点题组练 题组一　竖直平面内圆周运动的两种模型 1.(多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则(　　) A.在最高点A，小球受重力和向心力 B.在最高点A，小球受重力和圆弧向下的弹力 C.在最高点A，小球的速度为 D.在最高点A，小球的向心加速度为2g 答案　BD 解析　小球在最高点A，受重力和轨道向下的弹力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma＝m，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝，故B、D正确，A、C错误。 2.如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A.v最小值可以为0 B.若v＝，细绳必然对小球有拉力的作用 C.若v增大，此时小球所需的向心力将减小 D.若v＝，当小球运动到最低点的速度为v时，绳子的拉力是6mg 答案　D 解析　小球到达最高点速度最小时，有mg＝m，则v最小值为v＝，即当v＝时，细绳对小球无拉力的作用，选项A、B错误；若v增大，根据Fn＝m，可知此时小球所需的向心力将变大，选项C错误；若v＝，当小球运动到最低点的速度为v时，绳子的拉力是FT＝mg＋m＝6mg，选项D正确。 3.如图所示，杂技演员表演“水流星”节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　杯子在竖直平面内做半径为的圆周运动，使水不流出的临界条件是在最高点水的重力提供向心力，则有mg＝mω2·，可得ω＝，故B正确，A、C、D错误。 4.(2024·四川雅安高一期末)如图所示，质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点，管道的半径为R(不计内外径之差)，水平线ab过轨道圆心，现给小球一水平向右的初速度，下列说法正确的是(　　) A.若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为 B.若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为零 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 答案　B 解析　在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C错误；小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力。当速度比较小时，内侧管壁有作用力，外侧管壁没有作用力，D错误。 5.如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法中正确的是(　　) A.小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零 B.小球过最高点时，最小速度为 C.小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反 D.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力 答案　D 解析　小球在最高点时，如果速度恰好为，则此时恰好只有重力提供向心力，杆和球之间没有作用力，杆所受弹力为零，如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，杆就要对球有支持力，方向与重力的方向相反，杆的作用力F＝mg－m，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力，故A、B错误，D正确；小球过最低点时，杆对球的作用力方向竖直向上，与重力方向一定相反，故C错误。 6.(多选)如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω＝的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.小球运动到最高点C时与杆作用力为零 B.小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mg C.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mg D.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为 mg 答案　AD 解析　小球运动到最高点C时，有FT＋mg＝mω2l，解得FT＝0，A正确，B错误；小球运动到水平位置A时，有FT′＝mω2l＝mg，杆对球的作用力大小为F＝＝mg，C错误，D正确。 题组二　水平面内圆周运动的临界问题 7.(多选)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.a绳一定受拉力作用 B.a绳所受拉力随角速度的增大而增大 C.当角速度ω>时，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 答案　AC 解析　对小球受力分析如图所示，可得a绳的弹力在竖直方向的分力与小球的重力平衡，解得Ta＝，为定值，A正确，B错误；当Tacos θ＝mω2l，即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误。 8.如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力(已知π2＝g)，则(　　) A.物块A一定会受圆盘的摩擦力 B.当转速n＝0.5 r/s时，物块A不受摩擦力 C.物块A所受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上 D.当圆盘转速n＝1 r/s时，物块A所受摩擦力方向沿半径背离圆心 答案　D 解析　若mg＝mω2R，则物块A不受摩擦力，A错误；当摩擦力为零时，mg＝mω2R＝m(2πn)2R，代入数据解得n＝ r/s，B错误；物块A所受摩擦力方向与半径在一条直线上，指向圆心或背离圆心，C错误；当圆盘转速n＝1 r/s< r/s时，物块A有沿半径向内运动的趋势，所受摩擦力方向沿半径背离圆心，D正确。 综合提升练 9.(多选)(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则(　　) A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C.v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上 D.v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 答案　AD 解析　在最高点，若v＝0，则FN＝mg＝a；若FN＝0，由题图知v2＝b，则有mg＝m＝m，解得g＝，m＝，故A正确，B错误；当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若v2＝2b，则FN＋mg＝m＝m，解得FN＝mg，即小球受到的弹力与重力大小相等，故D正确。 10.如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m；A、B到轴O的距离均为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C三处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是(　　) A.A处物块的向心加速度最大 B.B处物块受到的静摩擦力最小 C.当转速增大时，最先滑动起来的是A处的物块 D.当转速继续增大时，最后滑动起来的是C处的物块 答案　B 解析　三物块的角速度相等，C处物块的半径最大，根据an＝ω2r知，向心加速度最大，故A错误；因为B处物块的质量最小，半径最小，根据Ff＝mω2r，可知B处物块受到的静摩擦力最小，故B正确；根据μmg＝mω2r，可得ω＝，C处物块的半径最大，临界角速度最小，所以C处物块最先滑动起来，故C、D错误。 11.(2024·山东淄博高一统考期末)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块在A点随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ＝60°。已知重力加速度为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为Ff＝mg。 (1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时陶罐转动的角速度的大小； (2)小物块在A点随陶罐一起匀速转动，求陶罐转动的角速度的最大值。 答案　(1)　(2) 解析　(1)小物块受到的摩擦力恰好为零时，受力如图甲所示 由牛顿第二定律得mgtan 60°＝mωRsin 60° 解得ω0＝。 (2)当小物块达到最大角速度时，受力如图乙所示，竖直方向受力平衡，有 FNcos 60°＝mg＋Ffsin 60° 水平方向根据牛顿第二定律得 FNsin 60°＋Ffcos 60°＝mωRsin 60° 联立解得ωm＝。 12.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点时的速度大小为，其图像如图乙所示，重力加速度g取，小球可视为质点，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg B．小球做圆周运动的半径为2.5m C．时，在最高点杆对小球的弹力大小为40N D．时，小球的向心加速度大小为 答案　B 解析　A．由图乙知，当时，对小球有 解得小球的质量为 故A错误； B．当，，根据牛顿第二定律有 求得小球做圆周运动的半径为 故B正确； C．由图乙，可知当时，，根据牛顿第二定律有 求得 当时，根据牛顿第二定律有 求得此时杆对小球的弹力大小为 故C错误； D．当时，小球的向心加速度大小为 故D错误。 故选B。 13． (多选)如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．图a中轻杆长为l，若小球在最高点的角速度小于，杆对小球的作用力向上 B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用 C．图c中若A、B均相对圆盘静止，半径2RA=3RB，质量mA=2mB，则A、B所受摩擦力fA>fB D．图d中两个小球在相同的高度做匀速圆周运动，它们的角速度相同 答案　ACD 解析　A．图a中若轻杆上的小球在最高点时，杆受作用力为零，此时 解得 若角速度小于，杆对小球的作用力向上，选项A正确； B．图中若火车转弯未达规定速度行驶时，此时重力和轨道的支持力的合力大于火车所需的向心力，此时火车有做向心运动的趋势，轮缘对内侧轨道有作用，选项B错误； C．图中若A、B均相对静止，根据 若半径2RA=3RB，质量mA=2mB，则A、B所受摩擦力 选项C正确； D．图是一圆锥摆，根据 可得 则两个小球在相同的高度做匀速圆周运动，它们的角速度相同，选项D正确。 故选ACD。 培优加强练 14． (多选)如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度 vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和 S2的面积不相等 B．t2时刻小球通过最高点，图乙中 S1和 S2的面积相等 C．t1时刻的杆中弹力一定大于t2时刻的杆中弹力 D．在小球做一次完整圆周运动的过程中，杆中弹力一定两次为零 答案　CD 解析　AB．由题图可知，图像关于t1时刻左右对称，故t1时刻小球通过最高点，面积S1表示的是小球从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移大小，等于轨道半径；S2表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移大小，也等于轨道半径，故AB错误； C．由图可知，小球从t1时刻开始运动到第一次与圆心等高位置过程中，水平方向的速度先增大后减小，故在t1时刻轻杆对小球的弹力为支持力，而t2时刻小球水平方向的速度最大，故t2时刻杆对小球无弹力，故C正确； D．由C的分析可知，小球通过最高点时杆对小球的弹力为支持力，在接下来的四分之一圆周上，杆对小球的弹力先是支持力后来变为拉力，一定存在一个杆对小球的弹力为零的位置，该位置关于过圆心的竖直线对称的位置弹力也为零，故在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力一定两次为零，故D正确。 故选CD。 15.如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连。物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则转盘转动的角速度ω在什么范围内才能使物体A随转盘转动而不滑动？ 答案　≤ω≤ 解析　当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A 做圆周运动所需的向心力由绳的拉力与最大静摩擦力的合力提供，即F＋Ffm＝mωr① 由于B静止，故有F＝mg② 又Ffm＝μFN＝μmg③ 由①②③式可得ω1＝ 当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－Ffm＝mωr④ 由②③④式可得ω2＝ 故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1 即≤ω≤。 16.如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为µ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2。 (1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v； (2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示，求µ和m。 答案　(1)4m/s (2)0.2，1kg 解析　（1）根据题意可知小物块在Q点，合力提供向心力，有 代入数据解得 （2）根据题意可知，当时，小物块与轨道一起向左加速，根据牛顿第二定律可得 根据图乙有 当外力时，轨道与小物块有相对滑动，对轨道有 结合题图乙有 可知 截距 联立以上各式可得 ，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$