6.2 探究向心力大小的表达式-2024-2025学年高一物理同步培优讲义（人教版2019必修第二册）

第6.2节　探究向心力大小的表达式 学习目标　 1.知道向心力的定义及作用，知道它是根据力的作用效果命名的。 2.通过实验感受向心力的存在。 3.通过向心力演示器用控制变量法探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系。 知识点一　向心力 如图所示为双人花样滑冰滑在比赛中的情境。男运动员拉着女运动员使其在冰面上做匀速圆周运动，若不考虑冰面摩擦力，女运动员受到哪些力的作用？合力指向什么方向？合力方向与速度方向有什么关系？ 1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 ，这个指向圆心的力叫作 。 2.方向：始终沿半径指向 ，且与速度方向垂直，所以向心力是变力。 3.作用效果：只改变速度的方向。 4.效果力：向心力是根据力的 来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。 例1 关于向心力的说法正确的是(　　) A.物体由于做圆周运动而产生了向心力 B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小 C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 训练1设轨道半径为r、角速度大小为、线速度大小为v、质量为m的物体做匀速圆周运动时，所需要的向心力大小为（   ） A． B． C． D． 训练2下列关于运动和力的叙述中，正确的是（　　） A．做曲线运动的物体，其加速度一定是变化的 B．物体做圆周运动，所受的合力不一定指向圆心 C．物体所受合力方向与运动方向不相同，该物体一定做曲线运动 D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同 例2 如图所示，细线一端固定在A点，另一端系着小球。给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，关于该小球的受力情况，下列说法中正确的是(　　) A.受重力、向心力作用 B.受细线拉力、向心力作用 C.受重力、细线拉力作用 D.受重力、细线拉力和向心力作用 训练1如图所示，小物块P紧贴粗糙圆筒内壁，随圆筒一起绕竖直中心轴线做匀速圆周运动。关于小物块P的向心力，下列说法正确的是（    ） A．物块向心力为零 B．重力提供向心力 C．摩擦力提供向心力 D．重力、弹力和摩擦力的合力提供向心力 训练2如图所示，盘面上距圆盘中心为r位置处有一个质量为m的物体随圆盘一起匀速转动，线速度大小为v，则物体所受的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 知识点二　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 探究方案一　感受向心力 如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的 。 换用不同质量的沙袋，改变沙袋转动速度和绳的长度，感受向心力的变化。 例3 (2024·山东邹城市一中月考)如图所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一个小沙袋在空气中甩动，使小沙袋在水平面内做圆周运动，来感受向心力。 (1)下列说法中正确的是________。 A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变 B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大 C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变 D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大 (2)如图，绳上离小沙袋重心40 cm处打一个绳结A，80 cm处打一个绳结B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据： 操作一：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。 操作二：手握绳结B，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。 操作三：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。 操作四：手握绳结A，再向小沙袋中添加少量沙子，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。 操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动________有关； 操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与________有关； 操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与________有关。 此种实验方法叫________法。 训练1某实验小组用如图所示装置探究向心力大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。 (1)本实验的实验方法是 （填“理想实验法”“等效替代法”或“控制变量法”）。 (2)摇动手柄时，图中长槽上 B处挡板的转动半径大于A 处挡板的半径，短槽上C处挡板的转动半径等于A 处挡板的转动半径，要探究向心力与角速度的关系，将质量 （填“相同”或“不同”）的小球，分别放在挡板 （填“A、C”或“B、C”）处，将皮带处于左右塔轮的半径 （填“相等”或“不等”）的塔轮上。 (3)将质量之比为2：1的两个小球分别放在挡板B、C处，B、C挡板到转轴的距离之比为2：1，皮带选用左右塔轮的半径之比为3：1，实验会发现，左、右标尺露出格数之比为 。 训练2某科技小组想验证向心力大小的表达式，实验装置如图所示。 (1)本实验采用的实验方法是_________。 A．等效法 B．放大法 C．控制变量法 (2)考虑到实验环境、测量条件等实际因素，对于这个实验的操作，下列说法中正确的是_________（填选项前的字母）。 A．相同体积的小球，选择密度大一些的小球可以减小空气阻力的影响 B．应使小球的释放位置尽量高一点，使小球获得较大的初速度，减小实验误差 C．每组实验过程中力传感器的示数一直变化，小组成员应记录力传感器示数的平均值 (3)固定在悬点处的力传感器通过长度为的细绳连接小球，小球直径为，悬点正下方的光电门可以测量小球直径的挡光时间。在细绳和小球不变的情况下，改变小球释放的高度，获得多组数据。以力传感器示数为纵坐标、为横坐标建立坐标系，描出多组数据点，作出如图所示图像，图线斜率为，在纵轴上的截距为。则小球的质量为 （可用和重力加速度表示） 探究方案二　探究向心力大小的表达式 1.实验目的 (1)学会使用向心力演示器。 (2)通过实验探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系。 2.实验原理 向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的 提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的 。 3.实验步骤 (1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。 (2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。 (3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。 4.实验结论 (1)在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成 。 (2)在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成 。 (3)在质量和半径一定的情况下，向心力大小与 成正比。 由以上可推知：向心力的大小可表示为Fn＝ 或者Fn＝ 。 例4 一物理兴趣小组利用向心力演示器探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系。在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小Fn与半径r的数据，记录到表1中。 表1　向心力Fn与半径r的测量数据 次数 1 2 3 4 5 半径r/mm 50 60 70 80 90 向心力Fn/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83 在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物做圆周运动的角速度ω，得到几组向心力大小Fn和角速度ω的数据，记录到表2中。 表2　向心力Fn与角速度ω的测量数据 次数 1 2 3 4 5 角速度ω/(rad·s－1) 6.8 9.3 11.0 14.4 21.8 向心力Fn/N 0.98 2.27 2.82 4.58 10.81 (1)根据上面的测量结果，分别在图甲和图乙中作出Fn－r图线和Fn－ω图线。 甲 乙 (2)若作出的Fn－ω图线不是直线，可以尝试作Fn－ω2图线，试在图丙中作出Fn－ω2图线。 丙 (3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成________，与角速度的平方成________。 训练1 如图甲所示为用向心力演示器验证向心力公式的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。a、b两轮在皮带的传动下匀速转动。 (1)两槽转动的角速度ωA______ωB(选填“>”“＝”或“<”)。 (2)现有两个质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1，则钢球①、②的线速度大小之比为______，受到的向心力大小之比为______。 训练2图甲是探究向心力与角速度大小关系的装置。电动机的竖直转轴上，固定有光滑水平直杆，直杆上距转轴中心40cm处固定有直径1.00cm的竖直遮光杆。水平直杆上套有质量为0.20kg的物块，物块与固定在转轴上的力传感器通过细线连接。当物块随水平直杆匀速转动时，细线拉力F的大小可由力传感器测得，遮光杆经过光电门的时间可由光电计时器测得。 (1)若遮光杆经过光电门时的遮光时间为0.10s，则直杆转动的角速度为 rad/s。 (2)保持物块的质量和细线的长度不变，改变转轴的角速度，测得F与对应角速度的数据如下表，在图乙中描点并作出图像 。 0 0.5 1.0 1.5 2.0 F/N 0 0.13 0.50 1.12 2.00 (3)图像可得出的结论是：在质量和半径不变时，物块所受向心力与角速度大小关系是______（填选项前字母）。 A． B． C． D． 题组练习 题组一　向心力的理解 1.(多选)关于向心力，下列说法正确的是(　　) A.做匀速圆周运动的物体一定受到向心力的作用 B.向心力是指向圆心方向的合力，它是根据力的作用效果命名的 C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力 D.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 2. (人教版必修第二册P30 T2改编)如图所示，一圆盘可绕过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法正确的是(　　) A.木块A受重力、支持力和向心力 B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反 C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心 D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同 题组二　探究向心力大小的表达式 3.(多选)用如图所示的向心力演示器可以探究向心力F和物体质量m、角速度ω以及半径r的关系。实验时，匀速转动手柄使变速塔轮、长槽、短槽和槽内的小球随之匀速转动，使小球做匀速圆周运动的向心力由挡板对小球的弹力提供。小球对挡板的反作用力使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，根据标尺上露出的标记，可以粗略计算出两个小球所受向心力的比值。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴距离的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。下列说法正确的是(　　) A.本实验采用的科学方法是控制变量法 B.将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，可以改变两个槽内的小球做圆周运动的半径 C.探究向心力F和质量m的关系时，需将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，将质量不同的小球分别放在挡板A和挡板C处 D.探究向心力F和角速度ω的关系时，需将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C处 4.如图所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中A、B为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的重锤。试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素。 (1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆； 现象：连接A的棉线先断； 表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随____________的增大而增大； (2)使质量mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆； 现象：连接A的棉线先断； 表明：在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随____________的增大而增大； (3)对任一次断线过程进行考察； 现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的； 表明：在物体质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随______________的增大而增大。 5.(2024·江苏淮安高一统考)如图甲所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置。转动手柄，可使两侧变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在左、右两塔轮上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以各自的角速度做匀速圆周运动。 (1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中的________。 A.理想实验法 B.控制变量法 C.等效替代法 D.演绎法 (2)皮带与不同半径的塔轮相连是主要为了使两小球的________不同。 A.转动半径r B.质量m C.角速度ω D.线速度v (3)为了能探究向心力大小的各种影响因素，左右两侧塔轮________(选填“需要”或“不需要”)设置半径相同的轮盘。 (4)你认为以上实验中产生误差的原因有_________________________________ _____________________________________________________(写出一条即可)。 (5)利用传感器升级实验装置，用力传感器测压力，用光电计时器测周期进行定量探究。某同学多次改变转速后，记录一组力与对应周期数据，他用图像法来处理数据，结果画出了如图乙所示的图像，该图线是一条过原点的直线，请你分析他的图像的横坐标x表示的物理量是________。 A.T B. C.T2 D. 6.(2024·浙江宁波高一期中)如图所示，探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。 (1)在这个探究向心力大小与质量、角速度和半径之间的关系的实验中，所采用的科学方法与下面哪个实验相同________。 A.探究两个互成角度的力的合成规律 B.探究加速度与力、质量的关系 C.探究平抛运动的特点 (2)在研究向心力的大小F与半径r关系时，要保持________相同。 A.ω和m B.ω和r C.m和r D.m和F (3)在探究F与ω关系时，当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为________。 7.(2024·山东枣庄高一期中)一同学通过图甲所示的装置探究向心力大小与线速度大小的关系。滑块套在光滑水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小；滑块上固定一遮光片，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的线速度。 (1)已知遮光片宽度为d，某次实验测得遮光时间为Δt，滑块转动周期T，则滑块运动半径为________(结果用d、Δt、T表示)。 (2)该同学通过改变转速测量多组数据，记录力传感器示数F，算出对应的线速度v及v2的数值，作出F－v2图线，如图乙所示。已知滑块运动半径为0.2 m，由图线可得滑块的质量为________ kg(保留2位有效数字)。 8.某实验小组通过如图所示的装置验证向心力的表达式，滑块套在水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力F的大小，滑块上固定一遮光片，宽度为d，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的角速度ω、旋转半径为R，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和角速度ω的数据。 (1)某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω = ； (2)以F为纵坐标，以 （填“”“”或“”）为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线；若所得图像的斜率为k，则滑块的质量为 （用所测物理量k、d、R、ω表示）。 9．（多选）我国航天员在“天宫课堂”中做了如图所示的实验，将不可伸长的轻绳一端固定于点，另一端系一小球，使其绕点做匀速圆周运动。下列说法正确的是（    ） A．小球绕点做圆周运动的轨迹可以处于任意平面 B．若保持周期不变，增大圆周运动半径，则拉力增大 C．若保持圆周运动半径不变，增大周期，则拉力增大 D．若保持圆周运动半径不变，增大速度，则拉力增大 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6.2节　探究向心力大小的表达式 学习目标　 1.知道向心力的定义及作用，知道它是根据力的作用效果命名的。 2.通过实验感受向心力的存在。 3.通过向心力演示器用控制变量法探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系。 知识点一　向心力 如图所示为双人花样滑冰滑在比赛中的情境。男运动员拉着女运动员使其在冰面上做匀速圆周运动，若不考虑冰面摩擦力，女运动员受到哪些力的作用？合力指向什么方向？合力方向与速度方向有什么关系？ 提示　女运动员受到重力、支持力和男运动员对女运动员的拉力；女运动员受到的合力沿水平方向指向圆心，合力方向与速度方向垂直。 1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。 2.方向：始终沿半径指向圆心，且与速度方向垂直，所以向心力是变力。 3.作用效果：只改变速度的方向。 4.效果力：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。 例1 关于向心力的说法正确的是(　　) A.物体由于做圆周运动而产生了向心力 B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小 C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 答案　B 解析　因为有向心力，物体才做圆周运动，故A错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误；向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能再分析向心力，故C错误。 训练1设轨道半径为r、角速度大小为、线速度大小为v、质量为m的物体做匀速圆周运动时，所需要的向心力大小为（   ） A． B． C． D． 答案　C 解析　物体做匀速圆周运动所需要的向心力大小为 其中 代入可得 故选C。 训练2下列关于运动和力的叙述中，正确的是（　　） A．做曲线运动的物体，其加速度一定是变化的 B．物体做圆周运动，所受的合力不一定指向圆心 C．物体所受合力方向与运动方向不相同，该物体一定做曲线运动 D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同 答案　B 解析　A．做曲线运动的物体，其加速度不一定是变化的，比如平抛运动的加速度为重力加速度，恒定不变，故A错误； B．物体做圆周运动，如果是变速圆周运动，则所受的合力不指向圆心，故B正确； C．物体所受合力方向与运动方向不相同，如果方向相反，则物体做减速直线运动，故C错误； D．物体运动的速率在增加，则所受合力方向与运动方向的夹角小于，方向不一定相同，故D错误。 故选B。 例2 如图所示，细线一端固定在A点，另一端系着小球。给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，关于该小球的受力情况，下列说法中正确的是(　　) A.受重力、向心力作用 B.受细线拉力、向心力作用 C.受重力、细线拉力作用 D.受重力、细线拉力和向心力作用 答案　C 解析　对小球受力分析可得，小球受到竖直向下的重力和沿绳向上的拉力，这两个力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，因此C正确。 训练1如图所示，小物块P紧贴粗糙圆筒内壁，随圆筒一起绕竖直中心轴线做匀速圆周运动。关于小物块P的向心力，下列说法正确的是（    ） A．物块向心力为零 B．重力提供向心力 C．摩擦力提供向心力 D．重力、弹力和摩擦力的合力提供向心力 答案　D 解析　A．小物块做匀速圆周运动，速度不为零，向心力不为零，A错误； BCD．小物块受重力、弹力和摩擦力，三者的合力提供向心力，B、C错误，D正确。 故选D。 训练2如图所示，盘面上距圆盘中心为r位置处有一个质量为m的物体随圆盘一起匀速转动，线速度大小为v，则物体所受的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 答案　A 解析　物体所受的向心力大小为 故选A。 知识点二　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 探究方案一　感受向心力 如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的拉力。 换用不同质量的沙袋，改变沙袋转动速度和绳的长度，感受向心力的变化。 例3 (2024·山东邹城市一中月考)如图所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一个小沙袋在空气中甩动，使小沙袋在水平面内做圆周运动，来感受向心力。 (1)下列说法中正确的是________。 A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变 B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大 C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变 D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大 (2)如图，绳上离小沙袋重心40 cm处打一个绳结A，80 cm处打一个绳结B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据： 操作一：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。 操作二：手握绳结B，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。 操作三：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。 操作四：手握绳结A，再向小沙袋中添加少量沙子，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。 操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动________有关； 操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与________有关； 操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与________有关。 此种实验方法叫________法。 答案　(1)BD　(2)半径　角速度　质量　控制变量 解析　(1)保持质量、绳长不变，增大转速，由ω＝2πn知，角速度变大，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确。 (2)本实验采取的方法是控制变量法 操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径有关； 操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关； 操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力的大小与质量有关。 训练1某实验小组用如图所示装置探究向心力大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。 (1)本实验的实验方法是 （填“理想实验法”“等效替代法”或“控制变量法”）。 (2)摇动手柄时，图中长槽上 B处挡板的转动半径大于A 处挡板的半径，短槽上C处挡板的转动半径等于A 处挡板的转动半径，要探究向心力与角速度的关系，将质量 （填“相同”或“不同”）的小球，分别放在挡板 （填“A、C”或“B、C”）处，将皮带处于左右塔轮的半径 （填“相等”或“不等”）的塔轮上。 (3)将质量之比为2：1的两个小球分别放在挡板B、C处，B、C挡板到转轴的距离之比为2：1，皮带选用左右塔轮的半径之比为3：1，实验会发现，左、右标尺露出格数之比为 。 答案　(1)控制变量法 (2) 相同 A、C 不等 (3)4：9 解析　（1）本实验的实验方法是控制变量法。 （2）探究向心力与角速度的关系，将质量相同的小球，分别放在挡板A、C处（半径相同），将皮带处于左右塔轮的半径不等的皮带轮上，两个轮转动的角速度不同。 （3）由 结合题意可知，左右两塔轮转动的角速度之比为1：3，由 结合题意可知，左右两球做圆周运动的向心力之比为4：9，即左、右标尺露出格数之比为4：9。 训练2某科技小组想验证向心力大小的表达式，实验装置如图所示。 (1)本实验采用的实验方法是_________。 A．等效法 B．放大法 C．控制变量法 (2)考虑到实验环境、测量条件等实际因素，对于这个实验的操作，下列说法中正确的是_________（填选项前的字母）。 A．相同体积的小球，选择密度大一些的小球可以减小空气阻力的影响 B．应使小球的释放位置尽量高一点，使小球获得较大的初速度，减小实验误差 C．每组实验过程中力传感器的示数一直变化，小组成员应记录力传感器示数的平均值 (3)固定在悬点处的力传感器通过长度为的细绳连接小球，小球直径为，悬点正下方的光电门可以测量小球直径的挡光时间。在细绳和小球不变的情况下，改变小球释放的高度，获得多组数据。以力传感器示数为纵坐标、为横坐标建立坐标系，描出多组数据点，作出如图所示图像，图线斜率为，在纵轴上的截距为。则小球的质量为 （可用和重力加速度表示） 答案　(1)C (2)AB (3)或者 解析　（1）本实验采用的实验方法是控制变量法，故选C。 （2）A．相同体积的小球，选择密度大一些的小球可以减小空气阻力的影响，选项A正确； B．应使小球的释放位置尽量高一点，使小球获得较大的初速度，减小实验误差，选项B正确； C．每组实验过程中力传感器的示数一直变化，小组成员应记录小球到达最低点时力传感器示数的最大值，选项C错误； 故选AB。 （3）根据 其中 可得 可知 解得 或者 解得 探究方案二　探究向心力大小的表达式 1.实验目的 (1)学会使用向心力演示器。 (2)通过实验探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系。 2.实验原理 向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 3.实验步骤 (1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。 (2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。 (3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。 4.实验结论 (1)在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成正比。 (2)在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比。 (3)在质量和半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比。 由以上可推知：向心力的大小可表示为Fn＝mω2r或者Fn＝m。 例4 一物理兴趣小组利用向心力演示器探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系。在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小Fn与半径r的数据，记录到表1中。 表1　向心力Fn与半径r的测量数据 次数 1 2 3 4 5 半径r/mm 50 60 70 80 90 向心力Fn/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83 在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物做圆周运动的角速度ω，得到几组向心力大小Fn和角速度ω的数据，记录到表2中。 表2　向心力Fn与角速度ω的测量数据 次数 1 2 3 4 5 角速度ω/(rad·s－1) 6.8 9.3 11.0 14.4 21.8 向心力Fn/N 0.98 2.27 2.82 4.58 10.81 (1)根据上面的测量结果，分别在图甲和图乙中作出Fn－r图线和Fn－ω图线。 甲 乙 (2)若作出的Fn－ω图线不是直线，可以尝试作Fn－ω2图线，试在图丙中作出Fn－ω2图线。 丙 (3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成________，与角速度的平方成________。 答案　(1)如图所示 (2)如图所示 (3)正比　正比 训练1 如图甲所示为用向心力演示器验证向心力公式的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。a、b两轮在皮带的传动下匀速转动。 (1)两槽转动的角速度ωA______ωB(选填“>”“＝”或“<”)。 (2)现有两个质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1，则钢球①、②的线速度大小之比为______，受到的向心力大小之比为______。 答案　(1)＝　(2)2∶1　2∶1 解析　(1)因两轮转动的角速度相同，而两槽的角速度与两轮角速度相同，则两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。 (2)钢球①、②的角速度相同，转动半径之比为2∶1，根据v＝ωr可知，线速度大小之比为2∶1，根据Fn＝mω2r可知，两球受到的向心力大小之比为2∶1。 训练2图甲是探究向心力与角速度大小关系的装置。电动机的竖直转轴上，固定有光滑水平直杆，直杆上距转轴中心40cm处固定有直径1.00cm的竖直遮光杆。水平直杆上套有质量为0.20kg的物块，物块与固定在转轴上的力传感器通过细线连接。当物块随水平直杆匀速转动时，细线拉力F的大小可由力传感器测得，遮光杆经过光电门的时间可由光电计时器测得。 (1)若遮光杆经过光电门时的遮光时间为0.10s，则直杆转动的角速度为 rad/s。 (2)保持物块的质量和细线的长度不变，改变转轴的角速度，测得F与对应角速度的数据如下表，在图乙中描点并作出图像 。 0 0.5 1.0 1.5 2.0 F/N 0 0.13 0.50 1.12 2.00 (3)图像可得出的结论是：在质量和半径不变时，物块所受向心力与角速度大小关系是______（填选项前字母）。 A． B． C． D． 答案　(1)0.25 (2) (3)C 解析　（1）根据 可得 （2）做出图像如图 （3）图像可得出的结论是：在质量和半径不变时，物块所受向心力与角速度大小的平方成正比，即关系是。 故选C。 题组练习 题组一　向心力的理解 1.(多选)关于向心力，下列说法正确的是(　　) A.做匀速圆周运动的物体一定受到向心力的作用 B.向心力是指向圆心方向的合力，它是根据力的作用效果命名的 C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力 D.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 答案　BC 解析　物体做圆周运动就需要有向心力，向心力由指向圆心方向的合力提供，它是根据力的作用效果命名的，向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力来提供，或者是他们的合力来提供，也可以是某个力的分力来提供，对物体受力分析时，不需再分析向心力，故A、D错误，B、C正确。 2. (人教版必修第二册P30 T2改编)如图所示，一圆盘可绕过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法正确的是(　　) A.木块A受重力、支持力和向心力 B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反 C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心 D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同 答案　C 解析　由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡，木块在水平面内做圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故C正确。 题组二　探究向心力大小的表达式 3.(多选)用如图所示的向心力演示器可以探究向心力F和物体质量m、角速度ω以及半径r的关系。实验时，匀速转动手柄使变速塔轮、长槽、短槽和槽内的小球随之匀速转动，使小球做匀速圆周运动的向心力由挡板对小球的弹力提供。小球对挡板的反作用力使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，根据标尺上露出的标记，可以粗略计算出两个小球所受向心力的比值。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴距离的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。下列说法正确的是(　　) A.本实验采用的科学方法是控制变量法 B.将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，可以改变两个槽内的小球做圆周运动的半径 C.探究向心力F和质量m的关系时，需将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，将质量不同的小球分别放在挡板A和挡板C处 D.探究向心力F和角速度ω的关系时，需将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C处 答案　ACD 解析　探究向心力F和物体质量m、角速度ω以及半径r的关系，需要采用控制变量法，故A正确；将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，可以改变两槽内的小球做圆周运动的角速度，不能改变两个槽内的小球做圆周运动的半径，故B错误；探究向心力F和质量m的关系时，需要控制半径与角速度相同而小球质量不同，需将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，将质量不同的小球分别放在挡板A和挡板C处，故C正确；探究向心力F和角速度ω的关系时，需要控制半径与质量相同而角速度不同，需将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C处，故D正确。 4.如图所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中A、B为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的重锤。试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素。 (1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆； 现象：连接A的棉线先断； 表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随____________的增大而增大； (2)使质量mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆； 现象：连接A的棉线先断； 表明：在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随____________的增大而增大； (3)对任一次断线过程进行考察； 现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的； 表明：在物体质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随______________的增大而增大。 答案　(1)物体质量　(2)转动半径　(3)转动角速度 解析　(1)两物体的质量mA＞mB，连接A的棉线先断，即质量越大，细线的拉力越大，则说明在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随物体质量的增大而增大。 (2)两物体质量mA＝mB，线长LA＞LB，而连接A的棉线先断，即细线越长，所受的拉力越大，表明在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动半径的增大而增大。 (3)加速了一段时间之后随着转动角速度的增大线才断的，表明在物体质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动角速度的增大而增大。 5.(2024·江苏淮安高一统考)如图甲所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置。转动手柄，可使两侧变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在左、右两塔轮上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以各自的角速度做匀速圆周运动。 (1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中的________。 A.理想实验法 B.控制变量法 C.等效替代法 D.演绎法 (2)皮带与不同半径的塔轮相连是主要为了使两小球的________不同。 A.转动半径r B.质量m C.角速度ω D.线速度v (3)为了能探究向心力大小的各种影响因素，左右两侧塔轮________(选填“需要”或“不需要”)设置半径相同的轮盘。 (4)你认为以上实验中产生误差的原因有_________________________________ _____________________________________________________(写出一条即可)。 (5)利用传感器升级实验装置，用力传感器测压力，用光电计时器测周期进行定量探究。某同学多次改变转速后，记录一组力与对应周期数据，他用图像法来处理数据，结果画出了如图乙所示的图像，该图线是一条过原点的直线，请你分析他的图像的横坐标x表示的物理量是________。 A.T B. C.T2 D. 答案　(1)B　(2)C　(3)需要　(4)小球转动半径引起的误差；弹簧测力筒读数引起的误差；皮带打滑引起的误差　(5)D 解析　(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，实验时需控制其中一个物理量改变，其他两个物理量不变，采用了控制变量法，故B正确。 (2)皮带与不同半径的塔轮相连，可知塔轮的线速度相同，半径不同，根据v＝ωr可知塔轮转动的角速度不同，即两小球的角速度ω不同，故C正确。 (3)为了能探究向心力大小的各种影响因素，需研究角速度一定时，向心力与质量或半径的关系，故左右两侧塔轮需要设置半径相同的轮盘。 (4)以上实验中产生误差的原因有：小球转动半径引起的误差；弹簧测力筒读数引起的误差；皮带打滑引起的误差。 (5)根据F＝mω2r＝m()2r＝，可知纵坐标表示的物理量是向心力，图像的横坐标x表示的物理量是，故D正确。 6.(2024·浙江宁波高一期中)如图所示，探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。 (1)在这个探究向心力大小与质量、角速度和半径之间的关系的实验中，所采用的科学方法与下面哪个实验相同________。 A.探究两个互成角度的力的合成规律 B.探究加速度与力、质量的关系 C.探究平抛运动的特点 (2)在研究向心力的大小F与半径r关系时，要保持________相同。 A.ω和m B.ω和r C.m和r D.m和F (3)在探究F与ω关系时，当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为________。 答案　(1)B　(2)A　(3)1∶2 解析　(1)在这个探究向心力大小与质量、角速度和半径之间的关系的实验中，所采用的科学方法是控制变量法，与探究加速度和力、质量的关系的实验相同，故B正确。 (2)在研究向心力的大小F与半径r关系时，要保持转动角速度ω和小球质量m相同，故A正确。 (3)右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，可知F右＝2F左 左边小球的轨道半径为右边小球的2倍，即r左＝2r右， 两个小球的质量相等，根据F＝mω2r可知ω左∶ω右＝1∶2。 7.(2024·山东枣庄高一期中)一同学通过图甲所示的装置探究向心力大小与线速度大小的关系。滑块套在光滑水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小；滑块上固定一遮光片，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的线速度。 (1)已知遮光片宽度为d，某次实验测得遮光时间为Δt，滑块转动周期T，则滑块运动半径为________(结果用d、Δt、T表示)。 (2)该同学通过改变转速测量多组数据，记录力传感器示数F，算出对应的线速度v及v2的数值，作出F－v2图线，如图乙所示。已知滑块运动半径为0.2 m，由图线可得滑块的质量为________ kg(保留2位有效数字)。 答案　(1)　(2)0.13 解析　(1)滑块的线速度v＝，又v＝，得滑块运动半径为r＝。 (2)由F＝m，得F－v2图线的斜率 k＝＝＝ 滑块运动半径为0.2 m，得滑块的质量m＝0.13 kg。 8.某实验小组通过如图所示的装置验证向心力的表达式，滑块套在水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力F的大小，滑块上固定一遮光片，宽度为d，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的角速度ω、旋转半径为R，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和角速度ω的数据。 (1)某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω = ； (2)以F为纵坐标，以 （填“”“”或“”）为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线；若所得图像的斜率为k，则滑块的质量为 （用所测物理量k、d、R、ω表示）。 答案　(1) (2) 解析　（1）物体转动的线速度为 由 解得 （2）[1][2] 根据向心力公式可知 联立解得 故以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，根据函数表达式可知 解得 9．（多选）我国航天员在“天宫课堂”中做了如图所示的实验，将不可伸长的轻绳一端固定于点，另一端系一小球，使其绕点做匀速圆周运动。下列说法正确的是（    ） A．小球绕点做圆周运动的轨迹可以处于任意平面 B．若保持周期不变，增大圆周运动半径，则拉力增大 C．若保持圆周运动半径不变，增大周期，则拉力增大 D．若保持圆周运动半径不变，增大速度，则拉力增大 答案　ABD 解析　A．将此实验放在绕地球做匀速圆周运动的太空实验室中进行，由于小球在太空实验室中处于完全失重状态，则小球受到的绳子拉力完全提供向心力，且绳子拉力总是与速度方向垂直，所以小球圆周运动的轨迹可以处于任意平面内，故A正确； B．根据 若保持周期不变，增大圆周运动半径，则拉力增大，故B正确； C．根据 若保持圆周运动半径不变，增大周期，则拉力减小，故C错误； C．根据 若保持圆周运动半径不变，增大速度，则拉力增大，故D正确。 故选ABD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$