第16章 分式（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第16章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式中的规律 【解惑】按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，，……，，根据规律，请计算 （用含x的式子表示） 3．观察下列不等式： ①；②；③；④；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第8个不等式： ； (2)写出你猜想的第n个不等式： （n是正整数）；并说明你猜想的合理性． 类型二、分式中的新定义 【解惑】设，都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（    ） A．二阶分式 B．三阶分式 C．四阶分式 D．六阶分式 2．对于两个非零实数，，定义运算“※”如下：．例如：．若，则的值为 ． 3．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 类型三、“倒数法”求分式的值 【解惑】已知实数满足，则的值是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【融会贯通】 1．设x为实数，已知实数x满足．则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如果，则的值为 ． 3．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 类型四、分式方程的解为整数 【解惑】若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 【融会贯通】 1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 2．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 3．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 类型五、真、假分式 【解惑】分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： (1)将假分式 为一个整数与一个真分式的和 (2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值 【融会贯通】 1．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 2．阅读理解 材料1：观察数轴可知，当时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：时，随着x的不断增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； 当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数． 3．阅读材料，回答问题． 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式，当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值逐渐_______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的增大，的值逐浙______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，求代数式的值的范围． 类型六、分式方程中的规律 【解惑】观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 【融会贯通】 1．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 2．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为，，，，以此类推．请回答下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)的值为______； (3)若（为正整数），则的值为______． 3．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以． (1)【探索规律】f（20）＝　　；f（36）＝　　； (2)若x是正整数，猜想f（x2＋2x）＝　　； (3)【应用规律】若f（）＝，其中x是正整数，求x的值； (4)若，其中x是正整数，所有x的值的和为　　． 类型七、分式方程中的新定义 【解惑】定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【融会贯通】 1．规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”． 例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______． (2)若数对的一个“对称数对”是，求x的值； (3)若数对的一个“对称数对”是，求这个数对的值． 2．设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，． (1)求的值． (2)若，求的值． (3)是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 3．对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且）．如：．若，且． (1)求与的值； (2)若，求的值． 类型八、分式中的裂项 【解惑】阅读材料：已知下列一组等式： ；；；；… (1)请用含n的等式表示你发现的规律： ； (2)利用上述规律计算：． 【融会贯通】 1．观察下列各式： ，，， (1)由此推测________ (2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数） (3)请直接用（2）的规律计算的值． 2．观察下列各等式： ①；②；③；…… (1)按照以上等式规律，写出第4个等式是： ； (2)写出第个等式（用含的代数式表示），并说明等式成立的理由； (3)计算： ． 3．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)计算：若为正整数，猜想______； (2)化简； (3)若，求的值． 类型九、复杂的分式证明 【解惑】正实数满足，且， (1)求的值； (2)证明：． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）和；（2）和；（3）和（，） “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：，，，．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当，，，时，，． 猜想：若，则． 证明：，（依据1）， （2）计算：当，，，时，， 猜想：若，则； 证明：方法一：，（依据2）， 方法二（作差法）：，， （依据3） 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据1：_______________；依据2：_______________；依据3：_______________； 任务二：请你对材料中的（3）和进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：______，______，______，______，； ②计算：______，______； ③猜想：__________； ④证明： 2．根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 3．（1）已知， ，若，求之间的关系式； （2）已知都是正数， ， ，若，那么之间有什么关系？试证明你的结论． 类型十、分式应用中的比较大小 【解惑】【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ， ，即． （2）由（1）我们可猜想：若，，则与的大小关系是______（填“>”或“<”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【融会贯通】 1．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界． (1)例如生活经验：往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为，再往杯中加入克糖，此时糖水的含糖量变大了； 用数学关系式可以表示为___________； .                .                . 如何证明我们得到的关系式是正确的呢？在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若0，则．请你用给出的方法证明你选择的关系式的正确性； (2)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运吨货物．现让大船完成运送吨货物的任务，小船完成运送吨货物的任务． 大船、小船完成运送任务所需天数分别为__________天，__________天（均用含的代数式表示）； 通过计算分析哪艘轮船完成任务所用的时间少？ 2．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a、b、m的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，可判断出先返回A港的是_____________．（填所选序号即可） ①甲    ②乙    ③甲乙同时          ④无法判断 3．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，试判断： 0（填“＞”，“＝”或“＜”）； (2)已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由； (3)小明和小红两次购物均买了同一种商品，小明两次都买了m千克该商品，小红两次购买该商品均花费n元，已知第一次购买该商品的价格为a元/千克，第二次购买该商品的价格为b元/千克（a，b是整数，且）．请用代数式表示小明和小红每次所购商品的平均价格并用作差法比较两人每次所购买商品的平均价格的高低． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．当时，代数式的值为 ． 5．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ． 6．已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 7．先化简：， 然后从 的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 8．光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础． 庆阳市某光伏发电项目投入建设，甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务 (1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的光伏板数量多150块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？ (2)若甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的光伏板数量多，甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比甲厂多用2天时间，则甲、乙两厂每天各生产多少块光伏板？ 9．阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 10．已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式中的规律 【解惑】按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得单项式的系数的绝对值为，序数为奇数时，符号为负，序数为偶数时，符号为正，字母为，次数从次开始，据此即可求解． 【详解】解：∵按一定规律排列的单项式：，，，，…， ∴第个单项式为， ∴第7个单项式是， 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到规律是解题的关键． 【融会贯通】 1．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可． 【详解】解：，， ， ∴ 可知此组数三个一循环， ∴ 故选：C 【点睛】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算，解题的关键是根据已知计算公式找到这组数据的规律． 2．已知，，，，……，，根据规律，请计算 （用含x的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究、分式的混合运算，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．根据题意，先求得、、、、，……，进而得到变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， ， ……， 发现结果以、、为一组循环出现， ∵， ∴， 故答案为：． 3．观察下列不等式： ①；②；③；④；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第8个不等式： ； (2)写出你猜想的第n个不等式： （n是正整数）；并说明你猜想的合理性． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式找规律，以及分式的减法运算，解题的关键在于读懂题意，找出已知不等式的规律． （1）根据题干所给规律进行求解，即可解题； （2）根据题干所给规律写出第n个不等式，再利用作差法说明该猜想，即可解题． 【详解】（1）解：由题干规律可知，第8个不等式为； 故答案为：． （2）解：由题干规律可知，第n个不等式为， 故答案为：． 理由如下： ， n是正整数， ， ． 类型二、分式中的新定义 【解惑】设，都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】A. 根据题中的新定义化简得：， ，不符合题意； B. ， ，不符合题意； C. ， ，符合题意； D. ， ，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，弄清题中的新定义是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（    ） A．二阶分式 B．三阶分式 C．四阶分式 D．六阶分式 【答案】A 【分析】根据题意得出xy＝1，可以用表示y，代入+，计算结果为2即可． 【详解】由题意得：xy＝1，则y＝， 把 y＝，代入+，得： 原式＝+＝+＝2 ∴与互为“2阶分式”， 故选A． 【点睛】本题是一道新定义型题目，主要考查分式的相关计算，有一定难度，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 2．对于两个非零实数，，定义运算“※”如下：．例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的运用，根据自定义可得，然后再变形即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 类型三、“倒数法”求分式的值 【解惑】已知实数满足，则的值是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的混合运算，把变形可得，，等式两边同时除以得，再将变形后代入计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．设x为实数，已知实数x满足．则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查分式化简求值，根据已知式子得出，，进而利用完全平方公式求出的值，即可求解． 【详解】解：， ，， ，     ，     ， ， 故选B． 2．如果，则的值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查的是分式运算和利用完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的变形是解题关键． 先将等式两边同时除以，并整理可得，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为7． 3．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 类型四、分式方程的解为整数 【解惑】若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得，， ∴， ∵方程有整数解， ∴或或或， ∴或或或或或或或， ∵， ∴， ∴或或， 故选：D． 【融会贯通】 1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解不等式组，得， ∵不等式组无解， ， 解得， 解分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得， ， ∵方程有整数解， 或或或， 的值可为2、0、3、，4、、7、， 又， ， 或或， 故选：D． 2．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解，解关于x的不等式组，然后根据不等式组的解集，确定a的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为正整数，取所有符合题意的正整数a，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：, ∵该不等式组的解集为 ∴， 解得，； 分式方程去分母，得：， 解得：， ∵分式方程的解为正整数，且， ∴，且， ∴，且， ∴，且， ∴满足条件的正整数a可以取4，6，10 其和为， 故答案为：20． 3．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有解且最多有3个整数解， ， 解得：， 整数为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得， 分式方程有整数解， 是整数，且， 整数为：1，5， 所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：6． 类型五、真、假分式 【解惑】分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： (1)将假分式 为一个整数与一个真分式的和 (2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值 【答案】(1) (2)或6或12 【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）解：由题可得，； （2）解：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴，，， ∴或6或12． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 【融会贯通】 1．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)3 【分析】（1）根据题中材料所给变化情况即可得到变化情况； （2）按照材料中的恒等变形方式将表示为，令，则，根据题中材料所给变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中材料可知，对于： 当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小； 中值的变化只与值的变化有关， 当时，随着的值的增大，的值随之减小；当时，随着的值的增大，的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：， 令，则， 当时，即，随着的值的增大，值也增大，则值随之减小，并无限接近0，则的值随之减小，并无限接近0， 的值无限接近3． 【点睛】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． 2．阅读理解 材料1：观察数轴可知，当时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：时，随着x的不断增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； 当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)无限接近5 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）由，的变化情况，判断，的变化情况即可； （2）由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】（1）解： 当时，随着的增大而减小， 随着的增大，的值减小； 当时，随着的增大而减小， ， 随着的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）解：∵， ∵当时，随着的不断增大，的值无限接近0， ∴的值无限接近5． 3．阅读材料，回答问题． 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式，当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值逐渐_______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的增大，的值逐浙______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，求代数式的值的范围． 【答案】(1)增大；减小 (2)2 (3) 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）由的变化情况，判断的变化情况；由的变化情况，判断的变化情况； （2）将分式变形，由的变化情况，得出答案即可； （3）由，再结合的取值范围得出答案即可． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，随着的增大而增大， ∴随着的增大，的值逐渐增大； ∵当时，随着的增大而减小， ∵， ∴随着的增大，的值逐渐减小； 故答案为：增大；减小； （2）解：∵， ∵当，随着的增大时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2； （3）解：， ∵时，， ∴， ∴． 类型六、分式方程中的规律 【解惑】观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，关键是根据算式的特点，把分式拆分成两个分式的差； （1）根据规律即可完成； （2）根据规律进行拆分，最后解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：． ∴ ． （2）解：∵，，…，， ∴ ． ∴． ∴或． 经检验，当时，；当时，． ∴是的解． 【融会贯通】 1．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【详解】（1）解：， （2）根据题意可得： （3） （4） 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 2．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为，，，，以此类推．请回答下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)的值为______； (3)若（为正整数），则的值为______． 【答案】(1)6； (2) (3) 【分析】本题考查了图形的规律探究，解分式方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知， ，，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，进而可得； （3）由题意知，，则，由，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∴， 故答案为：6，； （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即， 故答案为：； （3）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 经检验是原分式方程的解，且符合要求； 故答案为：． 3．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以． (1)【探索规律】f（20）＝　　；f（36）＝　　； (2)若x是正整数，猜想f（x2＋2x）＝　　； (3)【应用规律】若f（）＝，其中x是正整数，求x的值； (4)若，其中x是正整数，所有x的值的和为　　． 【答案】(1)，1 (2) (3)x的值为4042 (4)28 【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可； （2）由结合“最佳分解”的定义即可得出答案； （3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可； （4）根据最佳分解的定义，建立方程求解． 【详解】（1）解：∵20=1×20=2×10=4×5， 又∵20-1>10-2>5-4，， ∴； ∵36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6， 又∵36-1>18-2>12-3>9-4>6-6， ∴． 故答案为：，1； （2）解：∵，． ∴， 故答案为：； （3）由（2）可知 去分母，得： 解得： 经检验符合题意． 故x的值为4042； （4）解：由，可设( t为正整数)，即， ∴， 有以下几种情况： ①当t=x−6时，，解得x=7； ②当t=x−5时，，解得，不符合题意，舍； ③当t=x-4时，，解得x=8； ④当t=x-3时，，解得，不符合题意，舍； ⑤当t=x-2时，，解得x=13； ⑥当t=x-1时，，解得，不符合题意，舍； ⑦当t=x时，，无解； ⑧当t=x+1时，，解得，不符合题意，舍； ⑨当t=x+2时，，解得，不符合题意，舍； ⑩当t=x+3时，，解得，不符合题意，舍； ⑪当t=x+4时，，解得，不符合题意，舍； ⑫当t=x+5时，，解得，不符合题意，舍； ⑬当t=x+6时，，解得，不符合题意，舍； 综上所述，符合题意的x的值为：7或8或13， ∴所有x的值的和为7+8+13=28． 故答案为：28． 【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，根据最佳分解，表示出f（k），建立方程是求解本题的关键． 类型七、分式方程中的新定义 【解惑】定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 【融会贯通】 1．规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”． 例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______． (2)若数对的一个“对称数对”是，求x的值； (3)若数对的一个“对称数对”是，求这个数对的值． 【答案】(1)与 (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根、分式方程的应用，正确理解“对称数对”的定义是解题关键． （1）先求出，再根据“对称数对”的定义求解即可得； （2）根据“对称数对”的定义可得，由此即可得； （3）根据“对称数对”的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴数对的一对“对称数对”是与， 故答案为：与． （2）解：∵数对的一个“对称数对”是， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列分式方程的解， 所以的值为1． （3）解：∵数对的一个“对称数对”是， ∴或， 解得或． 2．设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，． (1)求的值． (2)若，求的值． (3)是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)存在， 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列出分式方程进行计算即可； （3）根据新运算的法则，列出分式方程进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）， ∴， ∴； 经检验，是原方程的解， ∴． （3）存在； ， 当时，即：， 当时，满足题意， 当时，则：，则：， 当时，，分式无意义，不满足题意，舍去； 故． 3．对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且）．如：．若，且． (1)求与的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)-1 (2)1 【详解】解：（1）， ， ． ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ． 经检验，是原方程的解． 的值为1． 类型八、分式中的裂项 【解惑】阅读材料：已知下列一组等式： ；；；；… (1)请用含n的等式表示你发现的规律： ； (2)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，分式的加减运算，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此答案； （2）根据（1）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由；；；；… 可知它的规律为， 故答案为：； （2） ． 【融会贯通】 1．观察下列各式： ，，， (1)由此推测________ (2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数） (3)请直接用（2）的规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出所求式子的值． （1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题； （2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式； （3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由（）可得 ； （3）解： ． 2．观察下列各等式： ①；②；③；…… (1)按照以上等式规律，写出第4个等式是： ； (2)写出第个等式（用含的代数式表示），并说明等式成立的理由； (3)计算： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了实数混合运算的规律题。根据题意准确找出相应规律是解题关键． （1）按照①②③的规律写出第4个等式即可． （2）总结规律并证明等式左边等于右边即可． （3）按照规律，将原式变形，然后简便运算即可． 【详解】（1）解：根据①②③可得出第4个等式：， 故答案为：． （2）根据①②③，可得出： 理由如下： 等式左边为： ， 等式右边为：． ∴． （3） 3．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)计算：若为正整数，猜想______； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的混合运算、分式的加法，弄清题中的拆项法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）利用（1）中得到的规律，变形后，进行计算即可； （3）利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，，，，…， 若为正整数，， 故答案为：； （2）解：由（1）可得， ； （3）解：，，， ，， ，， ． 类型九、复杂的分式证明 【解惑】正实数满足，且， (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】本题考查了分式的加减法，单项式与多项式，多项式与多项式的乘法运算及提公因式，比较复杂，正确计算是关键． （1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得，从而得，将所求分式通分后代入可得结论； （2）计算两边的差, 把（1）中代入并计算可得差，从而得结论． 【详解】（1）由等式 去分母得 ， ∴， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴原式； （2）由（1）得:, 又∵为正实数, ∴ ， ∴． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）和；（2）和；（3）和（，） “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：，，，．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当，，，时，，． 猜想：若，则． 证明：，（依据1）， （2）计算：当，，，时，， 猜想：若，则； 证明：方法一：，（依据2）， 方法二（作差法）：，， （依据3） 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据1：_______________；依据2：_______________；依据3：_______________； 任务二：请你对材料中的（3）和进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：______，______，______，______，； ②计算：______，______； ③猜想：__________； ④证明： 【答案】任务一：等式的性质2，等式的性质1，分式的基本性质；任务二：①2，5，4，10；②，；③若，则；④见解析 【分析】本题考查了等式的性质，分式的性质，异分母分式的加减法，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键． 任务一：根据等式的性质可解答依据1和依据2，根据分式的性质可解答依据3； 任务二：①任举符合题意的3个数，求出第4个数即可； ②把①中的数代入计算即可； ③根据②的计算猜想即可； ④用作差法根据异分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】任务一：依据1：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．（或等式的性质2） 依据2：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（或等式的性质1） 依据3：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．（或分式的基本性质）． 故答案为：等式的性质2，等式的性质1，分式的基本性质； 任务二：①，，，；（答案不唯一）． ②计算：，；（答案不唯一）． 故答案为：，；（答案不唯一）； ③猜想：若，则． 故答案为：若，则； ④证明： ． 2．根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 【答案】见解析 【分析】先求出，根据，得出，从而得出，即，从而证明结论． 【详解】证明： ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． 3．（1）已知， ，若，求之间的关系式； （2）已知都是正数， ， ，若，那么之间有什么关系？试证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）根据，根据分式的加减进行计算，确定出与的关系式即可； （2）根据，确定出的关系式，验证即可． 【详解】解：（1）由，得到， 即， 整理得：，即， 则； （2），理由如下， 由得：， 即， 整理得：， ∵都是正数， ∴，即． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型十、分式应用中的比较大小 【解惑】【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ， ，即． （2）由（1）我们可猜想：若，，则与的大小关系是______（填“>”或“<”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】(2)；证明见解析；(3)不成立，；(4)甲船先返回A港，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2）；证明如下： ， ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． （3）若，时，（2）中的不等式不成立． ∵，， ∴，， ∴，即， ∴, 正确的式子为． （4）的大小，甲船先返回A港，理由如下： 由题意可得， ， ． ∴， ， ∵， ∴，   ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴甲船先返回A港． 【融会贯通】 1．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界． (1)例如生活经验：往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为，再往杯中加入克糖，此时糖水的含糖量变大了； 用数学关系式可以表示为___________； .                .                . 如何证明我们得到的关系式是正确的呢？在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若0，则．请你用给出的方法证明你选择的关系式的正确性； (2)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运吨货物．现让大船完成运送吨货物的任务，小船完成运送吨货物的任务． 大船、小船完成运送任务所需天数分别为__________天，__________天（均用含的代数式表示）； 通过计算分析哪艘轮船完成任务所用的时间少？ 【答案】(1) 证明见解析 (2)， 当时，大船所用的时间少； 当时，大船和小船所用的时间相等； 当时，小船所用的时间少． 【分析】本题主要考查了分式的加减，不等式的性质，列代数式等知识点，弄懂题意，灵活运用所学知识进行求解是解题的关键． （1）根据题意即可直接作出判断；利用作差法证明：将两个分式通分并化简，得到，由于，，因此可证得，于是得到结论； （2）根据大船比小船每天多运吨货物，得出大船每天运吨货物，进而可得解答；通过作差法求解之后，再进行分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：再往杯中加入克糖，则此时糖水的含糖量为， 糖水的含糖量变大了， ， 故答案为：； 证明： ， ，， ， ， ； （2）解：小船每天运吨货物， 大船每天运吨货物， 大船完成运送任务所需天数为，小船完成运送任务所需天数为， 故答案为：，； ， ， 当时，， ， ，即大船完成任务所用的时间少； 当时，， ， ，即大船和小船完成任务所用的时间相等； 当时，， ， ，即小船完成任务所用的时间少； 综上所述： 当时，大船完成任务所用的时间少； 当时，大船和小船完成任务所用的时间相等； 当时，小船完成任务所用的时间少． 2．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a、b、m的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，可判断出先返回A港的是_____________．（填所选序号即可） ①甲    ②乙    ③甲乙同时          ④无法判断 【答案】（1），；（2）不成立，，证明见解析；（3）① 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）根据题意分别表示出、，然后比较大小求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴甲船先返回A港． 故答案为：①． 3．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，试判断： 0（填“＞”，“＝”或“＜”）； (2)已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由； (3)小明和小红两次购物均买了同一种商品，小明两次都买了m千克该商品，小红两次购买该商品均花费n元，已知第一次购买该商品的价格为a元/千克，第二次购买该商品的价格为b元/千克（a，b是整数，且）．请用代数式表示小明和小红每次所购商品的平均价格并用作差法比较两人每次所购买商品的平均价格的高低． 【答案】(1)＞ (2) (3)小明两次购买商品的平均价格为， 小红两次购买商品的平均价格为，小明两次购买商品的平均价格高于小红两次购买商品的平均价格 【分析】本题考查分式加减法，完全平方公式，平方差公式等． （1）根据题意先通分，再计算，即可得到本题答案； （2）根据题意作差法即可得到本题答案； （3）根据题意先计算出小明和小红两次购买商品的平均价格，再利用作差法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：小明两次购买商品的平均价格为， 小红两次购买商品的平均价格为， ∴， ∴小明两次购买商品的平均价格高于小红两次购买商品的平均价格． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项、负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法运算法则是解题的关键； 根据分式的加法运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故选：C 3．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：， ∵是该方程的增根， ∴时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：a的取值范围是：且． 故选：C． 4．当时，代数式的值为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是绝对值方程，分式的化简求值，先求解或，再化简，结合，，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得：或， ， ∵，， ∴， 原式； 故答案为： 5．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是结合新运算法则转化为分式运算．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 6．已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，先解分式方程可得，由题意得，再由，得，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 7．先化简：， 然后从 的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，无理数的估算；先利用分式的性质和运算法则化简，再根据分式有意义的条件确定出的值，最后把的值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解： ∵，且为整数， ∴ 当时，原式 8．光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础． 庆阳市某光伏发电项目投入建设，甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务 (1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的光伏板数量多150块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？ (2)若甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的光伏板数量多，甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比甲厂多用2天时间，则甲、乙两厂每天各生产多少块光伏板？ 【答案】(1) (2)600,500 【分析】（1）设甲厂每天生产的光伏板块，乙厂每天生产的光伏板块，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设乙厂每天生产的光伏板块，学甲厂每天生产的光伏板块，根据题意列出分式方程，解之即可得出结论；． 本题考查了方程组，分式方程的应用，熟练掌握方程组，分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲厂每天生产的光伏板块，乙厂每天生产的光伏板块，根据题意，得， 解得． 答：甲厂每天生产的光伏板块． （2）解：设乙厂每天生产的光伏板块，学甲厂每天生产的光伏板块， 根据题意，得， 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意， 故， 答：甲、乙厂每天各生产600块和500块光伏板． 9．阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 10．已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；0或1或3 【分析】本题考查了分式的四则运算及解分式方程．熟练掌握分式四则运算的顺序和法则，解分式方程的方法步骤，分类讨论，是解题的关键． （1）作差后根据分式的减法法则化简，再运用对分子分母分式的正负性质计算讨论即可； （2）①把M、N代入整理得到；②根据，x，y都是整数，可知可以取1，2，3，4．，求出对应的x值为3，1，，0，符合的有0，1，3． 【详解】（1）当时，．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）①依题意，得：． 故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数， ∴y可以取1，2，3，4． 当时，， 解得，符合； 当时，， 解得，符合 ； 当时，， 解得，不合，舍去； 当时，， 解得，符合． 综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3． 故答案为：0或1或3 6 学科网（北京）股份有限公司 $$