第16章 分式（中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第16章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式的求值 【解惑】已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式求值的方法是解题的关键． 首先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．若，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据可以通分得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的计算，掌握分式的性质是解题的关键． 根据题意可得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．已知，则分式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的求值，解题的关键是将原式正确变形． 首先由得到，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：． 类型二、分式值为正(负)数时的取值范围 【解惑】使分式的值为正数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵分式的值为正数 ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．若分式的值大于零，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴， 解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式的值，根据题意得到是解题的关键． 2．已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 3．分式的值为负数，求x的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 类型三、分式值为整数时未知数的整数值 【解惑】如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【答案】B 【分析】逆用同分母分式的加减法法则，把分式进行化简，判断分式的值的取值范围，计算即可，本题考查了同分母分数加减法法则的应用，不等式的基本性质，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】∵ ， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【融会贯通】 1．若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 2．当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 3．若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解． 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 类型四、分式值的分子或分母变化 【解惑】将分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．扩大6倍 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：将分式中的x，y都扩大2倍，则分式变为 此分式的值扩大2倍． 故选：B． 【融会贯通】 1．如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．保持不变 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍， ∴， ∴缩小为原来的， 故选：B． 2．把分式中的值都扩大倍，则的值 ． 【答案】扩大为原来的倍 【分析】本题考查了用分式的基本性质判断分式值的变化，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算化简即可． 【详解】解：把分式中的值都扩大倍， 可得：， ∵， ∴如果把分式中的值都扩大倍，那么的值扩大为原来的倍． 故答案为：扩大为原来的倍． 3．将分式中的的值都大为原来的3倍，则分式的值 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】不变 【分析】本题考查了分式的性质，根据利用分式的基本性质即可求解． 【详解】解：分式中的的值同时扩大为原来的3倍可得：，所以分式的值不变， 故答案为：不变． 类型五、分式方程的解为正、负数 【解惑】关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 【融会贯通】 1．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴，解得， 综上所述：且， 故选：A． 2．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 3．关于的分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】，且 【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可． 本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， 去分母，得， 解得． ∵分式方程的解是负数，且方程的增根为的解， ∴，且， 解得，且， 故的取值范围，且． 类型六、分式方程的无解问题 【解惑】若关于的方程无解，则 （   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，根据分式方程的解法，方程无解的两种情况，分式方程有增根或的系数为，即可解得此题，解题的关键是掌握分式方程无解的两种情况． 【详解】解：方程可化为， 方程两边同乘，得， 整理得， 当时，， ∵关于的方程无解， ∴或， ∴或， 故选：． 【融会贯通】 1．若关于的方程无解，则的值为（　　） A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可． 【详解】方程两边同乘，得， 整理得， 原方程无解， 当时，； 当时，或，此时，， 解得或， 当时，无解； 当时，，解得； 综上，m的值为0或4； 故选：D． 2．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或/2或0 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键； 根据掌握分式方程无解的条件，即可求解； 【详解】解：方程两边同乘，得 ，整理得， ∵原方程无解， ∴当时，； 当时，此时，， 当时，无解； 当时， ， 解得：的值为或． 故答案为：或． 3．已知关于的分式方程，若方程无解，求的值． 【答案】或或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值；由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可．此题考查了分式方程的无解问题，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 类型七、分式恒等式 【解惑】对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【融会贯通】 1．若，则M、N的值分别为(   ) A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1 【答案】B 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出M与N的值． 【详解】， ∴M+N=-3，N-M=1， 解得：M=-2，N=-1． 故选B． 【点睛】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 2．若，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． 【详解】解： ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 3．已知，其中A、B为常数，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由①②得：， 所以． 类型八、分式的四则混合运算 【解惑】计算：． 【答案】b 【分析】本题主要考分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．解题过程是先将括号内的式子通分，然后对分子进行因式分解化简，再将除法转化为乘法进行约分，最后运算得出结果． 【详解】解：原式 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的运算法则进行求解即可． 【详解】解： 2．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知计算顺序和计算法则是解题的关键． 先括号内通分相减，括号外除变乘，除式颠倒分子分母，再约分相乘即可． 【详解】 ． 3．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简，掌握分式的性质，分式混合运算法则是解题的关键． 根据分式的性质，分式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 类型九、分式化简求值 【解惑】先化简，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，， 故，， 当时， 原始． 【融会贯通】 1．先化简，在从，，，选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答本题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后从，，，中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ，， 当时，原式． 2．先化简再求值：，已知． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、非负数的性质，根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据非负数的性质求出，，代入计算即可得解． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， 解得：，， 当，时，原式． 3．先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 类型十、分式方程的应用 【解惑】某商店用20000元购进、两种品品牌的茶叶共150千克，已知购买种品牌茶叶与购种品牌茶叶的费用相同、且种品牌茶叶单价是种品牌茶叶单价的2倍． (1)求、两种品牌的茶叶叶单价； (2)若计划用35000元的资金再次购进、两种品牌茶叶共200千克，且、两种品牌的单价不变，求、两种品牌茶叶各购进多少千克． 【答案】(1)A种品牌茶叶的单价为200元/千克，B种品牌茶叶的单价为100元/千克 (2)购进A种品牌茶叶150千克，则购进B种品牌茶叶50千克 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目数量关系，正确列方程是解题的关键． （1）设种品牌茶叶的单价为元／千克，则种品牌茶叶单价为元／千克，由此列分式方程求解即可； （2）设购进种品牌茶叶千克，则购进种品牌茶叶千克，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种品牌茶叶的单价为元／千克，则种品牌茶叶单价为元／千克，根据题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种品牌茶叶的单价为200元／千克，种品牌茶叶的单价为100元／千克． （2）设购进种品牌茶叶千克，则购进种品牌茶叶千克， 依题意，得：， 解得：， ． 答：购进种品牌茶叶150千克，则购进种品牌茶叶50千克． 【融会贯通】 1．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米 (2)该公司原计划最多应安排10名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间，列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米； （2）解：设该公司原计划应安排名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为10， 则该公司原计划最多应安排10名工人施工． 2．高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷．已知遵义到成都的路程约为，一列动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，运行时间比特快列车少2小时．求该列车组列车的平均速度． (1)设特快列车的速度为，请用含的式子将表格补充完整． 路程（） 速度（） 时间（） 特快列车 780 ② 动车组列车 780 ① ③ 填空：①___________；②___________；③___________ (2)请列出方程完成本题解答． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用-行程问题，解题关键是找出等量关系列方程． （1）根据路程速度时间解答即可； （2）设特快列车的速度为，则该列动车组列车的平均速度为，根据一列动车组列车运行时间比特快列车少列方程求解即可； 【详解】（1）解：设特快列车的速度为，则时间为：； 由动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，则动车组列车的速度为：，时间为：， 故答案为：①；②；③． （2）解：设特快列车的速度为，则该列动车组列车的平均速度为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：该列动车组列车的平均速度为． 3．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：8.4元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： _____元 (1)用含a 的代数式表示新能源车每千米的行驶费用： 元； (2)若燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车每千米的行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，问：当每年的行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1) (2)①燃油车每千米的行驶费用为0.56元，新能源车每千米的行驶费用为0.06元；②当每年的行驶里程大于5400千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式． （1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）①根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元，列出分式方程，求解即可； ②设每年行驶里程为x千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 故答案为：． （2）解：①根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是方程的解也符合题意， ∴燃油车每千米的行驶费用为：（元）， 新能源车每千米的行驶费用为：（元）， 答：燃油车每千米的行驶费用为0.56元，新能源车每千米的行驶费用为0.06元； ②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意，得 解得：， 答：当每年的行驶里程大于5400千米时，买新能源车的年费用更低． 【一览众山小】 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断． 【详解】A. ，分母，分子与分母没有公因式，不能再约分，所以它是最简分式，故本选项符合题意； B. ，不是最简分式，故本选项不符合题意； C. ，不是最简分式，故本选项不符合题意； D. ，不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 3．如图，这是庆阳市某路口的斑马线，路段横穿双向车道，其中米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过段的速度是通过段的倍，求小刚通过段的速度，设小刚通过段的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小刚通过段的速度为x米/秒，则通过段的速度是米/秒，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程． 【详解】解：设小刚通过段的速度为x米/秒，则通过段的速度是米/秒， ∵， ∴， 根据题意，得． 故选：A． 4．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件及分式有意义的条件可得且，求解即可． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，分式有意义的条件，利用平方根解方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握分式值为零的条件及分式有意义的条件是解题的关键． 5．若关于x的方程有增根，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式有增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：1． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，牢记异分母分式加减的运算性质（异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 7．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法。根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题。 【详解】解：原式 当时，原式． 8．某工厂两个班组加工同一种零件，甲组的工作效率比乙组高，因此甲组加工210个零件所用的时间比乙组加工200个零件所用的时间少半小时，甲、乙两组每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲组每小时加工60个零件，乙组每小时加工50个零件． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设乙组每小时加工x个零件，根据甲组加工210个零件所用的时间比乙组加工200个零件所用的时间少半小时，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设乙组每小时加工x个零件，那么甲组每小时加工个零件，根据题意列方程得， 解得： 经检验：是原方程的解． （个）； 答：甲组每小时加工60个零件，乙组每小时加工50个零件． 9．已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式运用分式性质化简变形后，由已知等式求出，整体代入计算即可求出值； 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 10．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式，，，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； (2)已知分式，，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”， ①求_____（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值； (3)若分式，（b，c为整数且），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”，求a的值． 【答案】(1)A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2 (2)①；② (3)的值为4或16 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由的值为正整数，x为正整数，可得或或或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“幸福分式”，理由如下： 分式，， ∴， ∴A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2； （2）解：①∵，且“幸福值”， ∴， ∴； ② ∵分式D的值为正整数， ∴是的约数，即或或或 解得：或0或或； ∵x为正整数， ∴． （3）解：E是F的“幸福分式”， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴c，b为整数， ∴一定是5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或4或16或16， 即a的值为4或16． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式的求值 【解惑】已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 2．已知，则的值是 ． 3．已知，则分式的值为 ． 类型二、分式值为正(负)数时的取值范围 【解惑】使分式的值为正数的条件是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若分式的值大于零，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 3．分式的值为负数，求x的取值范围 ． 类型三、分式值为整数时未知数的整数值 【解惑】如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【融会贯通】 1．若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 2．当正整数 时，分式的值也是正整数． 3．若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 类型四、分式值的分子或分母变化 【解惑】将分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．扩大6倍 【融会贯通】 1．如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．保持不变 2．把分式中的值都扩大倍，则的值 ． 3．将分式中的的值都大为原来的3倍，则分式的值 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 类型五、分式方程的解为正、负数 【解惑】关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【融会贯通】 1．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 2．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 3．关于的分式方程的解是负数，求的取值范围． 类型六、分式方程的无解问题 【解惑】若关于的方程无解，则 （   ） A． B．或 C． D． 【融会贯通】 1．若关于的方程无解，则的值为（　　） A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 2．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．已知关于的分式方程，若方程无解，求的值． 类型七、分式恒等式 【解惑】对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．若，则M、N的值分别为(   ) A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1 2．若，则 ， ． 3．已知，其中A、B为常数，求的值． 类型八、分式的四则混合运算 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算：． 2．化简：． 3．化简：． 类型九、分式化简求值 【解惑】先化简，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【融会贯通】 1．先化简，在从，，，选取一个合适的数作为的值代入求值． 2．先化简再求值：，已知． 3．先化简，再求值．，其中． 类型十、分式方程的应用 【解惑】某商店用20000元购进、两种品品牌的茶叶共150千克，已知购买种品牌茶叶与购种品牌茶叶的费用相同、且种品牌茶叶单价是种品牌茶叶单价的2倍． (1)求、两种品牌的茶叶叶单价； (2)若计划用35000元的资金再次购进、两种品牌茶叶共200千克，且、两种品牌的单价不变，求、两种品牌茶叶各购进多少千克． 【融会贯通】 1．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 2．高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷．已知遵义到成都的路程约为，一列动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，运行时间比特快列车少2小时．求该列车组列车的平均速度． (1)设特快列车的速度为，请用含的式子将表格补充完整． 路程（） 速度（） 时间（） 特快列车 780 ② 动车组列车 780 ① ③ 填空：①___________；②___________；③___________ (2)请列出方程完成本题解答． 3．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：8.4元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： _____元 (1)用含a 的代数式表示新能源车每千米的行驶费用： 元； (2)若燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车每千米的行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，问：当每年的行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其他费用） 【一览众山小】 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图，这是庆阳市某路口的斑马线，路段横穿双向车道，其中米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过段的速度是通过段的倍，求小刚通过段的速度，设小刚通过段的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（   ）    A． B． C． D． 4．当 时，分式的值为0． 5．若关于x的方程有增根，则a的值为 ． 6．已知，则 ． 7．先化简，再求值：，其中 8．某工厂两个班组加工同一种零件，甲组的工作效率比乙组高，因此甲组加工210个零件所用的时间比乙组加工200个零件所用的时间少半小时，甲、乙两组每小时各加工多少个零件？ 9．已知，求代数式的值． 10．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式，，，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； (2)已知分式，，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”， ①求_____（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值； (3)若分式，（b，c为整数且），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”，求a的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$