第26章 反比例函数 章节测试练习卷- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第26章 反比例函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．点在反比例函数的图象上，则k的值为（　　） A．3 B． C． D． 2．已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．在每个象限内，y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限内 D．图象与坐标轴没有交点 3．如图，已知双曲线y＝经过Rt△OAB的直角边AB的中点P，则△AOP的面积为（　　） A． B．1 C．2 D．4 4．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从100℃降到50℃所用的时间是（    ） A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟 5．同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．图（1）所示矩形中，，，与满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形的斜边过点，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当增大时，的值增大 D．当增大时，的值不变 7．已知点，点是函数上的一点，若（O为坐标原点），则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y =的图象上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为 A．-3 B． C．-6 D． 10．已知点在第一象限，与反比例函数的图象有四个交点分别是，它们的横坐标分别是，下列各角可以是直角的是（  ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．反比例函数图象经过点，则的值是 ． 12．反比例函数的图象经过点A（-3，-1），则k的值为 . 13．收音机刻度盘的波长I和频率f分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．波长I和频率f满足关系式f=，这说明波长I越大，频率f就越 ． 14．如图，四边形和四边形都是正方形，点D在线段上，点F在x轴的正半轴上，点A在反比例函数（）的图象上，，则k的值是 ． 15．若反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），则k的值为 ． 16．如图，点在双曲线的图像上，轴，垂足为A，若，则该反比例函数的表达式为 ． 17．如图所示，点的坐标是，与轴相切于点，交轴于点，双曲线与的一个交点为，连接，若，则 ． 18．如图，点A在第一象限，作轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AB的中点C，过点A作轴，交该函数图象于点是AC的中点，连结OE，将沿直线OE对折到，使恰好经过点D，若，则k的值是 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知反比例函数的图像经过直线上的点，求m和k的值 20．放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家300的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽车油箱的容积为70，请回答下列问题： （1）写出油箱注满油后，汽车能够行驶的总路程与平均耗油量之间的函数关系式； （2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行驶，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油？ 21．如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 22．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝的图象在第二象限内交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B，OB＝2． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点P是该反比例函数图象上一点，且△PAB的面积为4，求点P的坐标．    23．如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，正方形的顶点，在第一象限． （1）当，时，正方形的一个顶点恰好在反比例函数（为常数，）的图象上，求的值． （2）保持不变，移动点，，使，求此时点的坐标，并判断点是否在（1）中的反比例函数图象上． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、，与轴交于点．    (1)求、及的值； (2)的面积为______． 25．如图1，直线y＝kx﹣2k（k＜0），与y轴交于点A，与x轴交于点B，AB＝2． （1）直接写出点A，点B的坐标； （2）如图2，以AB为边，在第一象限内画出正方形ABCD，求直线DC的解析式； （3）如图3，（2）中正方形ABCD的对角线AC、BD即交于点G，函数y＝mx和y＝（x≠0）的图象均经过点G，请利用这两个函数的图象，当mx＞时，直接写出x的取值范围． 26．【建模】春节联欢晚会，九年级生活委员小星先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的纸杯蛋糕个，设所有装饰挂件和纸杯蛋糕的平均价格为元，则与的关系式为． 【探究】根据函数的概念，小星发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，小星打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究，请根据所给信息，将探究过程补充完整．列表： 0 1 2 4 1 （1）填空：______，______； 在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出该函数的图象如图所示∶ （2）根据函数图象，写出一条该函数的性质； 【应用】根据上述探究，结合实际经验，小星得到结论：纸杯蛋糕个数越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会超过______元． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 反比例函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．点在反比例函数的图象上，则k的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】直接把点代入反比例函数，求出k的值即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 2．已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．在每个象限内，y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限内 D．图象与坐标轴没有交点 【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，（1）反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，(2) ，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质，逐项判断即可； 【详解】解：、当时，，图象经过点，结论正确，故本选项不符合题意； 、当时，在每个象限内，y随x的增大而增大，结论不正确，故本选项符合题意； 、，图象在第二、四象限内，结论正确，故本选项不符合题意； 、图象与坐标轴没有交点，结论正确，故本选项不符合题意； 故选：． 3．如图，已知双曲线y＝经过Rt△OAB的直角边AB的中点P，则△AOP的面积为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据三角形的中线的性质得到△AOP的面积等于△BOP的面积，然后利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可． 【详解】∵双曲线y＝经过P， ∴S△BOP＝＝1， ∵P为AB边上的中点， ∴S△AOP＝S△BOP＝1， 故选B． 【点睛】考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是理解两个三角形的面积相等． 4．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从100℃降到50℃所用的时间是（    ） A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】首先求出反比例函数的解析式，然后把y＝50代入反比例解析式求得x后，减去7即可求得时间． 【详解】解：设反比例函数关系式为：y＝， 将（7，100）代入y＝得，，解得k＝700， ∴y＝， 将y＝50代入y＝，解得x＝14； ∴水温从100℃降到50℃所用的时间是14﹣7＝7分钟， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用题，解题关键是求出反比例函数解析式． 5．同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】由于本题不确定的符号，故可以直接由的正负性进行分类，分析确定一次函数与反比例函数的图象经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案． 【详解】当 时，一次函数经过一､三､四象限，反比例函数经过一､三象限，如图①所示； 当 时，一次函数 经过一､二､四象限，反比例函数经过二､四象限，如图②所示． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键． 6．图（1）所示矩形中，，，与满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形的斜边过点，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当增大时，的值增大 D．当增大时，的值不变 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得出反比例函数解析式为y=；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直角三角形的性质得CE=3，CF=3，则C点与M点重合；当y=9时，根据反比例函数的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以EF=10，而EM=5；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值；由于EC•CF=x×y=2xy，其值为定值． 【详解】解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得x=3，y=3，则反比例解析式为y=． A、当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以CE=BC=3，CF=CD=3，C点与M点重合，则EC=EM，所以A选项错误； B、当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=，EF=10，EM=5，所以B选项错误； C、因为EC•CF=x•y=2×xy=18，所以，EC•CF为定值，所以C选项错误； D、因为BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不变，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围． 7．已知点，点是函数上的一点，若（O为坐标原点），则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取点关于轴的对称点，过作交函数于点，交y轴于点A1，根据题意找出符合题意的∠ABC=∠B1AB=2∠OAB，进而可得，利用待定系数法求得一次函数关系式，进而与反比例函数关系式联立方程组求得点C坐标，由此可求得答案． 【详解】解：如图，取点关于轴的对称点， 则△AB1O≌△ABO， ∴OB=OB1，∠B1AO=∠BAO， ∴∠B1AB=2∠OAB， 过作交函数于点，交y轴于点A1， ∴∠AB1O=∠A1BO，∠B1AO=∠BA1O，∠B1AB=∠ABC， ∴△AB1O≌△A1BO，∠ABC=2∠OAB， ∴OA1=OA=2， ∴点， 设直线BC为y=kx+b， 将点与代入得 解得 ∴直线的函数关系式为， 联立 得 解得（舍）， ∴点的坐标为 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程的解法，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． 8．已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据题意可得函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y =的图象上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为 A．-3 B． C．-6 D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合 【详解】试题分析：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，）， ∵∠AOE+∠BOF=90°，∠OBF+∠BOF=90°， ∴∠AOE=∠OBF， 又∵∠BFO=∠OEA=90°， ∴△OBF∽△AOE， ∴ 即： 则：① ② ①×②得：k=-6. 故选C. 考点: 反比例函数综合题． 10．已知点在第一象限，与反比例函数的图象有四个交点分别是，它们的横坐标分别是，下列各角可以是直角的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数图象点坐标特征，画出示意图，根据反比例函数图象的性质解答即可． 【详解】解：， 反比例函数图象为第一，三象限， ， 两点为圆与双曲线在第一象限的交点，且点A在点B的左侧，两点为圆与双曲线在第三象限的交点，且点D在点C的左侧， 点，且点P在第一象限， ∴点在直线的第一象限的图象上， 如图，连接， 当轴，且轴时，即， ， 故选：D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．反比例函数图象经过点，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】把直接代入反比例函数的解析式即可求得的值． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式的值，熟练掌握反比例函数解析式上点的坐标特征是解题的关键． 12．反比例函数的图象经过点A（-3，-1），则k的值为 . 【答案】3 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】把A点坐标代入解析式即可求解. 【详解】把A点坐标（-3，-1）代入解析式得k=（-3）×（-1）=3， 故填：3 【点睛】此题主要考查求反比例函数解析式，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式. 13．收音机刻度盘的波长I和频率f分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．波长I和频率f满足关系式f=，这说明波长I越大，频率f就越 ． 【答案】小. 【知识点】判断反比例函数的增减性 【详解】试题解析：波长I和频率f满足关系式f=，满足反比例函数的一般形式， 函数图象只在第一象限，并且反比例系数k=300000＞0， 则f随自变量l的增大而减小． 故波长I越大，频率f就越小． 考点：反比例函数的性质. 14．如图，四边形和四边形都是正方形，点D在线段上，点F在x轴的正半轴上，点A在反比例函数（）的图象上，，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设正方形和正方形的边长分别为a和b，则点，由可解出，点A在反比例函数的图象上，代入即可求解． 【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为a和b， 则点， ∴ ， ， ∵点A在反比例函数（）的图象上， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特点以及等积法求面积；解题的关键是通过等积法得到． 15．若反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），则k的值为 ． 【答案】﹣6． 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】由待定系数法代入（1，﹣6），即可求得k的值． 【详解】已知反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），所以k=1×（﹣6）=﹣6． 故答案为：-6 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 16．如图，点在双曲线的图像上，轴，垂足为A，若，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵图像位于第二象限内， ∴， ∴该反比例函数的解析式为：． 故答案为：． 17．如图所示，点的坐标是，与轴相切于点，交轴于点，双曲线与的一个交点为，连接，若，则 ． 【答案】2 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、反比例函数与几何等知识点，连接，作于，于，由等腰三角形的性质可得，求出，由，求出，由勾股定理得出，得出点的坐标，从而即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：． 18．如图，点A在第一象限，作轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AB的中点C，过点A作轴，交该函数图象于点是AC的中点，连结OE，将沿直线OE对折到，使恰好经过点D，若，则k的值是 ． 【答案】12 【知识点】全等三角形综合问题、反比例函数与一次函数的综合 【分析】过D作于F，判定≌△EAG，即可得到AD==BE，依据E是AC的中点，C是AB的中点，即可得到，，设，则，根据反比例函数的图象经过点C点D，可得，求得a的值，进而得到． 【详解】解：如图，过D作于F， 轴，轴， 四边形ABFD是矩形， 由折叠可得，， 又，， ≌， ，， ， 又是AC的中点，C是AB的中点， ，， ，， 设，则， 反比例函数的图象经过点C点D， ， 解得， ， ， 故答案为12． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质的运用，正确掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知反比例函数的图像经过直线上的点，求m和k的值 【答案】；． 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】先将P点坐标代入直线解析式可求出m值，进而可得P点坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式即可得k的值． 【详解】把，代入的左右两边解得； 把，代入的左右两边解得． 【点睛】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的解析式，根据解析式求出点的坐标是解题的关键． 20．放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家300的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽车油箱的容积为70，请回答下列问题： （1）写出油箱注满油后，汽车能够行驶的总路程与平均耗油量之间的函数关系式； （2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行驶，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油？ 【答案】（1）；（2）不够，至少要加油20L 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据总路程×平均耗油量=油箱总油量求解即可； （2）先计算去时所用油量，再计算返回时用油量，与油箱中剩余油量作比较即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得出总路程与平均耗油量的函数关系式为：； （2）小明的爸爸始终以此速度行驶，油箱里的油不能够回到家 小明爸爸去时用油量是：（） 油箱剩下的油量是：（） 返回每千米用油量是：（） 返回时用油量是：（）. 所以，油箱里的油不能够回到家，至少要加油： 【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数的解析式，比较基础，易于掌握． 21．如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】利用图形面积关系可得：再利用反比例函数的的几何意义可得：从而可得答案. 【详解】 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系. 22．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝的图象在第二象限内交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B，OB＝2． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点P是该反比例函数图象上一点，且△PAB的面积为4，求点P的坐标．    【答案】（1）y＝﹣；（2）P点坐标是（﹣4，2） 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式； （2）先根据三角形的面积为4，确定P在AB的左侧，且距离AB是2个单位，可知P的横坐标为﹣4，代入反比例函数的解析式中，可得P点坐标． 【详解】解：（1）∵OB＝2， ∴A点的横坐标是﹣2， 当x＝﹣2时，y＝2+2＝4， ∴A点坐标是（﹣2，4）， 把A（﹣2，4）代入y＝中，k＝﹣8 ∴该反比例函数的表达式为：y＝﹣； （2）∵A点坐标是（﹣2，4）， ∴AB＝4， ∵S△PAB＝4， ∴P到AB的距离为2， ∴点P一定在AB的左侧，横坐标为-4， 当x＝﹣4时，y＝﹣＝2， ∴P点坐标是（﹣4，2）． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键熟知待定系数法求解析式的方法. 23．如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，正方形的顶点，在第一象限． （1）当，时，正方形的一个顶点恰好在反比例函数（为常数，）的图象上，求的值． （2）保持不变，移动点，，使，求此时点的坐标，并判断点是否在（1）中的反比例函数图象上． 【答案】（1）或；（2），点不在（1）中的反比例函数的图象上． 【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知反比例函数的图象，判断其解析式、反比例函数与几何综合 【分析】（1）过作轴于点，过作轴于点，根据正方形的性质可得，再由，，可求得，，从而得到点坐标为，点坐标为，即可求解； （2）作轴于点，根据正方形的性质可得，再根据，，从而，，可求得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过作轴于点，过作轴于点． ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴，， 则有， ∵，， ∴，， ∴ ，， 点坐标为， 点坐标为， 顶点或恰好在反比例函数（为常数，）的图象上， 当顶点恰好在反比例函数（为常数，）的图象上时， ，解得：， 当顶点恰好在反比例函数（为常数，）的图象上时， ，解得： ∴或； （2）如图，作轴于点，则 ， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∵， 则设 ，则 ， ∵， 即 ，解得： ， ∴，， ∴ ， ∴． ∵， ∴点不在（1）中的反比例函数的图象上． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定，数量掌握相关知识是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、，与轴交于点．    (1)求、及的值； (2)的面积为______． 【答案】(1)的值为1，的值为2，的值为1 (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）将点B分别代入反比例函数解析式中算出的值，点A分别代入反比例函数解析式中算出m的值，再将然后根据待定系数法求、的值； （2）将分成和，然后计算面积． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ∴反比例函数函数解析式为：， 又点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ∴． 将，分别代入中， 得到， 解得 该一次函数解析式为：， 综上所述：的值为1，的值为2，的值为1； （2）令中， 得 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，计算三角形面积需注意分割计算，掌握待定系数法是解题的关键． 25．如图1，直线y＝kx﹣2k（k＜0），与y轴交于点A，与x轴交于点B，AB＝2． （1）直接写出点A，点B的坐标； （2）如图2，以AB为边，在第一象限内画出正方形ABCD，求直线DC的解析式； （3）如图3，（2）中正方形ABCD的对角线AC、BD即交于点G，函数y＝mx和y＝（x≠0）的图象均经过点G，请利用这两个函数的图象，当mx＞时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）A（0，4），B（2，0）;（2）y＝﹣2x+14;（3）﹣3＜x＜0或x＞3． 【知识点】反比例函数与一次函数的综合、求一次函数解析式 【分析】（1）根据直线的解析式与y轴交于点A，与x轴交于点B，分别把点A和点B用含有k的代数式表示出来，再根据AB=2 求出k即可得A、B的坐标； （2）作CH⊥x轴于H，根据正方形的性质和全等三角形的判定先求证△AOB≌△BHC，从而得到CH＝2，BH＝4，进而得到点C的坐标，再根据平行线的性质求出直线CD的解析式即可； （3）先求出在第一象限内交点的坐标，根据函数的性质和图象观察即可得. 【详解】解：（1）∵直线y＝kx﹣2k（k＜0），与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴A（0，﹣2k），B（2，0）， ∵AB＝2 ， ∴4+4k2＝20， ∴k2＝4， ∵k＜0， ∴k＝﹣2， ∴A（0，4），B（2，0）． （2）如图2中，作CH⊥x轴于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠AOB＝∠ABC＝∠BHC＝90°， ∴∠ABO+∠CBH＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°， ∴∠ABO＝∠BCH， ∴△AOB≌△BHC， ∴CH＝OB＝2，BH＝OA＝4， ∴C（6，2）， ∵CD∥AB， ∴可以假设直线CD的解析式为y＝﹣2x+b，把C（6，2）代入得到b＝14， ∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+14． （3） 由A、C坐标，可知在第一象限内交点错标为（3,3）观察图象可知直线y＝mx与 y＝的交点坐标为（3，3）或（﹣3，﹣3）， ∴mx＞时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞3． 【点睛】函数解析式的综合运用是本题的考点，熟练掌握函数图象的性质和全等三角形的判定是解题的关键. 26．【建模】春节联欢晚会，九年级生活委员小星先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的纸杯蛋糕个，设所有装饰挂件和纸杯蛋糕的平均价格为元，则与的关系式为． 【探究】根据函数的概念，小星发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，小星打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究，请根据所给信息，将探究过程补充完整．列表： 0 1 2 4 1 （1）填空：______，______； 在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出该函数的图象如图所示∶ （2）根据函数图象，写出一条该函数的性质； 【应用】根据上述探究，结合实际经验，小星得到结论：纸杯蛋糕个数越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会超过______元． 【答案】（1）3；0；（2）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；[应用] 高；2 【知识点】判断反比例函数的增减性、实际问题与反比例函数、从函数的图象获取信息、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用图象解决问题，从图象上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法． （1）利用函数关系式，根据自变量x的值，即可得到因变量y的值； （2）依据函数图象的增减性即可得出结论； [应用]依据函数图象的增减性，即可得到y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近． 【详解】解∶ （1）当时，，即； 当时，，即； 故答案为：3；0； （2）当时，函数图象从左往右上升，即y随x的增大而增大； [应用]由图可得，当时，函数图象从左往右上升，与直线无限接近，即y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近， 故纸杯蛋糕越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元． 故答案为：高；2． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$