2.1、认识因数和倍数（重难点讲解+知识总结+同步练习+答案解析）（解析版+学生版）-2024-2025学年五年级数学下册（人教版）

【新课同步学与练】2024-2025学年人教版五年级数学下册 第二单元：因数和倍数 2.1、认识因数和倍数 （重难点讲解+知识点总结+同步练习+答案解析） 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c）,那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【注意】为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）。 2、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 3、一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4、表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 5、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 6、一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7、表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 知识点1：因数和倍数的概念 【典型例题】下列各组数中，（    ）中的第二个数是第一个数的因数。 A．16和6 B．8.8和4 C．3和9 D．36和12 【变式训练1】下面各组数中，（    ）的第一个数是第二个数的倍数。 A．24和16 B．12和0.4 C．5和30 D．18和6 【变式训练2】下面四组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．12和9 B．4.5和0.9 C．6和24 D．3和1.8 知识点2：找一个数的因数 【典型例题】自然数20的所有因数有（ ）。 【变式训练1】下列四个数中，（    ）的所有因数的和最大。 A．37 B．24 C．18 D．12 【变式训练2】五年级有48名同学报名参加义务劳动。老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10，可以分成几组？ 知识点3：找一个数的倍数 【典型例题】12的因数有（ ）；请写出30以内所有8的倍数（ ）。 【变式训练1】一个数既是49的因数，又是7的倍数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 【变式训练2】把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了（ ）袋糖果。 一、选择题 1．下面的数，因数个数最少的是（    ）。 A．15 B．16 C．36 D．40 2．若a既是72的因数，又是6的倍数，则a可能是（    ）。 A．3 B．9 C．15 D．24 3．一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是（    ）。 A．8 B．24 C．48 D．96 4．一个数是4的倍数，一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．6 D．8 5．一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（    ）。 A．1 B．4 C．6 D．12 6．一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（    ）。 A．18 B．19 C．20 D．10 二、填空题 7．一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是（ ）。 8．一个数的最大的因数与最小的倍数的和是36，这个数是（ ）。 9．写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：（ ）   倍数：（ ） 10．一个数，既是24的因数，又是6的倍数，这个数可能是（ ）。 11．一个数最小倍数与最大因数的和是2020，这个数是（ ）。 12．一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是（ ）。 三、判断题 13．因为45÷9＝5，所以9是45的因数。（ ） 14．0.6是3的因数。（ ） 15．因为5.7÷1.9＝3，所以5.7是1.9的倍数。（ ） 16．1是任何非0自然数的因数。（ ） 17．有9个小学生排成人数均等的队伍，只有一种排法。（ ） 四、解答题 18．一个数既是12的倍数，又是72的因数，这个数可能是多少？ 19．五（3）班的同学到森林公园去春游，准备乘16人的面包车或乘24人的中巴客车．不论是乘16人的面包车还是乘24人的中巴客车，都正好坐满，五（3）班去春游的同学至少有多少人？ 20．食堂有70多个松花蛋．如果把他装进4个一排的蛋托中，正好装完；如果把它装入6个一排的蛋托中，也正好装完．你能求出有多少个松花蛋吗？ 21．五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 22．学校买来68盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？ 23．水果店进来一批苹果，每箱有35～40个。售货员想把一箱苹果分装成盒卖，装的时候发现6个装一盒刚好装完，这箱苹果有多少个？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【新课同步学与练】2024-2025学年人教版五年级数学下册 第二单元：因数和倍数 2.1、认识因数和倍数 （重难点讲解+知识点总结+同步练习+答案解析） 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c）,那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【注意】为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）。 2、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 3、一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4、表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 5、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 6、一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7、表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 知识点1：因数和倍数的概念 【典型例题】下列各组数中，（    ）中的第二个数是第一个数的因数。 A．16和6 B．8.8和4 C．3和9 D．36和12 【答案】D 【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【详解】A．16÷6＝2……4，所以，6不是16的因数； B．8.8是小数，所以8.8和4之间不存在因数和倍数的关系； C．9÷3＝3，第一个数是第二个数的因数，不符合题意； C．36÷12＝3，所以12是36的因数，第二个数是第一个数的因数。 故答案为：D 【变式训练1】下面各组数中，（    ）的第一个数是第二个数的倍数。 A．24和16 B．12和0.4 C．5和30 D．18和6 【答案】D 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 【详解】A．24和16不成倍数关系，不符合题意； B．0.4是小数，所以12不是0.4的倍数，不符合题意； C．30÷5＝6，即5×6＝30，所以30是5的倍数，5是30的因数，不符合题意； D．18÷6＝3，即6×3＝18，所以18是6的倍数，6是18的因数，符合题意； 故答案为：D 【变式训练2】下面四组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．12和9 B．4.5和0.9 C．6和24 D．3和1.8 【答案】C 【分析】一个数能被另一个数整除，则这个数是另一个数的倍数，另一个数是这个数的因数（两个数都是整数）。即可判断两个数是否成倍数关系，据此可得出答案。 【详解】A.12和9，12不能被9整除，则没有因数和倍数关系； B.4.5和0.9，4.5和0.9都是小数，因数和倍数只在整数范围内讨论，则没有因数和倍数关系； C.6和24，，24能被6整除，即24是6的倍数，6是24的因数，则它们有因数和倍数关系； D.3和1.8，1.8是小数，因数和倍数只在整数范围内讨论，则没有因数和倍数关系； 故答案为：C 知识点2：找一个数的因数 【典型例题】自然数20的所有因数有（ ）。 【答案】1、2、4、5、10、20 【分析】根据求一个数的因数的方法，列乘法算式找因数，一组一组地写出所有积是20的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是20的因数。求出20以内所有的因数，再按照从小到大的顺序排列。 【详解】因为20＝1×20＝2×10＝4×5 所以20的因数有1、2、4、5、10、20。 【变式训练1】下列四个数中，（    ）的所有因数的和最大。 A．37 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】A．37＝1×37 37的因数有：1、37，1＋37＝38； B．24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋24＝60； C．18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数有：1、2、3、6、9、18，1＋2＋3＋6＋9＋18＝39； D．12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有：1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6＋12＝28。 60＞39＞38＞28 24的所有因数的和最大。 故答案为：B 【变式训练2】五年级有48名同学报名参加义务劳动。老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10，可以分成几组？ 【答案】3组；4组；6组或8组。 【分析】可先成对成对的列举出48的所有因数，例如2，24这一组，就表示如果分为两组，则每组24人。最后结合题意进行筛选即可。 【详解】48的因数有（1，48；2，24；3，16；4，12；6，8）其中大于2小于10的有（3；4；6；8）；即可以分成3组，每组16人；分成4组，每组12人；分成6组，每组8人；分成8组，每组6人。 答：可以分成3组；4组；6组或8组。 知识点3：找一个数的倍数 【典型例题】12的因数有（ ）；请写出30以内所有8的倍数（ ）。 【答案】 1，2，3，4，6，12 8，16，24 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有：1，2，3，4，6，12。 8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 30以内所有8的倍数：8，16，24。 【变式训练1】一个数既是49的因数，又是7的倍数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 49 7 【分析】列乘法算式找出49的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是49的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是49的因数。 列乘法算式找出7的倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出7与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是7的倍数。据此找出最大的数和最小的数。 【详解】49＝1×49＝7×7 49的因数有1、7、49。 7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56… 所以这个数最大是49，最小是7。 【变式训练2】把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了（ ）袋糖果。 【答案】4 【分析】把这些糖果平均装在14个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在50～60之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每盒装了多少袋糖果。 【详解】14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在50～60之间的是56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了4袋糖果。 一、选择题 1．下面的数，因数个数最少的是（    ）。 A．15 B．16 C．36 D．40 【答案】A 【分析】运用列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此分别找出各数的因数即可解答。 【详解】A．15＝1×15＝3×5，则15的因数有1、3、5、15，共3个； B．16＝1×16＝2×8＝4×4，则16的因数有1、2、4、8、16，共5个； C．36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，则36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个； D．40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，则40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，共8个。 9＞8＞5＞3，因数个数最少的是15。 故答案为：A 2．若a既是72的因数，又是6的倍数，则a可能是（    ）。 A．3 B．9 C．15 D．24 【答案】D 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 根据题意，写出72以内6的倍数，以及72的所有因数，再从中找出既是6的倍数，又是72的因数的数。 【详解】因为6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72⋯ 72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 既是72的因数，又是6的倍数有6、12、18、24、36、72。 A．a是3不符合要求； B．a是9不符合要求； C．a是15不符合要求； D．a是24符合要求； 故答案为：D 3．一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是（    ）。 A．8 B．24 C．48 D．96 【答案】C 【分析】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大因数又是其最小倍数。据此解答。 【详解】一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是48。 故答案为：C 4．一个数是4的倍数，一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【分析】4的倍数有4，8，12，16，20，…。这些数都是2的倍数，但不一定是3、6、8的倍数。所以一个数是4的倍数，一定是2的倍数。 【详解】A．4＝2×2，所以一个数是4的倍数，一定是2的倍数。A选项正确。 B．4是4的倍数，但不是3的倍数，所以B选项错误。 C．4是4的倍数，但不是6的倍数，所以C选项错误。 D．4是4的倍数，但不是8的倍数，所以D选项错误。 故答案为：A 5．一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（    ）。 A．1 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【分析】一个数既是另一个数的因数，又是它的倍数，则这个数和另一个数相等。据此可得出答案。 【详解】一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是12，即12是12的倍数，也是12的因数。 故答案为：D 6．一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（    ）。 A．18 B．19 C．20 D．10 【答案】D 【分析】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此20应该是这个数的2倍，据此解答。 【详解】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。 20÷2＝10 这个数是10。 故答案为：D 二、填空题 7．一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是（ ）。 【答案】18 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【详解】18的因数：1，2，3，6，9，18； 18的倍数：18，36，54，…； 一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是18。 8．一个数的最大的因数与最小的倍数的和是36，这个数是（ ）。 【答案】18 【分析】这个数最大的因数和最小的倍数和是36，根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”，可以36÷2，即可求出这个数。 【详解】根据分析可得： 36÷2＝18 一个数的最大的因数与最小的倍数的和是36，这个数是18。 9．写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：（ ）   倍数：（ ） 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 【分析】根据求一个数的因数方法可得，先写出12的乘数：12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，则12的因数即乘数；根据求一个数的倍数方法可得，从自身开始，用1，2，3……去乘,可以得到；据此填空即可。 【详解】12的因数有：1、2、3、4、6、12； 12的倍数有：12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，……； 则12的50以内的所有倍数有：12、24、36、48。 10．一个数，既是24的因数，又是6的倍数，这个数可能是（ ）。 【答案】6、12或24 【分析】先写出24的所有因数，再写出24以内6的倍数，然后从6的倍数里找出同时是24的因数的数即可。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 24以内6的倍数有：6、12、18、24； 所以，一个数既是24的因数，又是6的倍数，这个数可能是6、12或24。 11．一个数最小倍数与最大因数的和是2020，这个数是（ ）。 【答案】1010 【分析】一个数的最大的因数与最小倍数都是这个数本身，即两个相同的数的和是2020，用2020除以2就是这个数。 【详解】2020÷2＝1010 这个数是1010。 12．一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是（ ）。 【答案】15 【分析】根据因数和倍数的定义可知，只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。据此可知，一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是（3×5＝15）。 【详解】根据分析可知， 3×5＝15 一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是15。 三、判断题 13．因为45÷9＝5，所以9是45的因数。（ ） 【答案】√ 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】因为45÷9＝5，所以9是45的因数，原题说法正确。 故答案为：√ 14．0.6是3的因数。（ ） 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义，当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b的倍数，b是a的因数。 【详解】此题中0.6是小数，由分析可知原题说法不正确。 故答案为：× 15．因为5.7÷1.9＝3，所以5.7是1.9的倍数。（ ） 【答案】× 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数，据此分析。 【详解】5.7和1.9都是小数，不在因数和倍数的研究范围，所以原题说法错误。 故答案为：× 16．1是任何非0自然数的因数。（ ） 【答案】√ 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，由此解决问题。 【详解】由分析可得：1是所有非0自然数的因数，原题说法正确。 故答案为：√ 17．有9个小学生排成人数均等的队伍，只有一种排法。（ ） 【答案】× 【分析】把9写成两个整数相乘的形式，其中一个因数就是排数，另一个因数就是每排的人数，据此判断。 【详解】 即9个小学生排成人数均等的队伍，可以排成1排，每排9人，或排成3排，每排3人，或排成9排，每排1人。所以原题说法错误。 故答案为：× 四、解答题 18．一个数既是12的倍数，又是72的因数，这个数可能是多少？ 【答案】12、24、36、72 【分析】根据找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此求出72的因数，再在其中找出12的倍数即可。 【详解】72÷1＝72 72÷2＝36 72÷3＝24 72÷4＝18 72÷6＝12 72÷8＝9 则72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72，其中是12的倍数的有：12、24、36、72。 答：这个数可能是：12、24、36、72。 19．五（3）班的同学到森林公园去春游，准备乘16人的面包车或乘24人的中巴客车．不论是乘16人的面包车还是乘24人的中巴客车，都正好坐满，五（3）班去春游的同学至少有多少人？ 【答案】48人 【分析】五年级（3）同学春游，不论是乘16人的面包车，还是乘24人的中巴车，都正好坐满，要求五年级（3）至少有多少同学去春游，只要求出16和24的最小公倍数，即可求出五（3）班去春游的同学至少有多少人。 【详解】16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 2×2×2×2×3＝48（人） 答：五（3）班去春游的同学至少有48人。 20．食堂有70多个松花蛋．如果把他装进4个一排的蛋托中，正好装完；如果把它装入6个一排的蛋托中，也正好装完．你能求出有多少个松花蛋吗？ 【答案】72个 【详解】4、6的公倍数有12、24、36、48、60、72…… 食堂有70多个松花蛋，所以有72个松花蛋． 21．五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【答案】6组或者9组 【分析】由题意可知，分成的小组的个数是54的因数，先求出54的因数，再结合组数大于3而小于10，据此找出可以分成几组。 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于3而小于10，所以可以分成6组或者9组。 答：可以分成6组或者9组。 22．学校买来68盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？ 【答案】选择第二种图案；见详解 【分析】根据题意，如果把68盆鲜花正好摆完，没有剩余，那么每份的盆数一定是68的因数。 先根据求一个数的因数的方法，写出68所有的因数，三种摆法的盆数是68的因数的，就能正好摆完，没有剩余。 【详解】68的因数有：1，2，4，17，34，68； 第一种图案是3盆，3不是68的因数，这样摆有剩余，不符合题意； 第二种图案是4盆，4是68的因数，这样摆没有剩余，符合题意； 第三种图案是5盆，5不是68的因数，这样摆有剩余，不符合题意。 答：选择第二种图案，因为4是68的因数，这样鲜花能正好摆完，没有剩余。 23．水果店进来一批苹果，每箱有35～40个。售货员想把一箱苹果分装成盒卖，装的时候发现6个装一盒刚好装完，这箱苹果有多少个？ 【答案】36个 【分析】一箱苹果分6个装一盒，刚好装完，说明这箱苹果的个数是6的倍数，只要求出35～40之间6的倍数即可。据此解答。 【详解】40÷6＝6……4 6×6＝36 答：这箱苹果有36个。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$