第一章 直角三角形的边角关系 单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章《直角三角形的边角关系》 单元测试卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 计算cos 45°的值为( ) A． B．1 C． D． 2. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，则sin C的值为( ) A. B． C． D． 3. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值( ) A．都扩大两倍 B．都缩小两倍 C．不变 D．都扩大四倍 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是( ) A．c sin A＝a B．b cos B＝c C．a tan A＝b D．tan B＝ 　 　 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长度为( ) A．2 B．8 C．4 D．4 6. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝θ，AB＝5，BC＝8，则tan θ的值为( ) A． B． C． D． 7. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( ) A．2 B． C． D． 　 　 8. 如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为( ) A． B． C．30° D．60° 9. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝，BE＝2，则tan ∠DBE的值( ) A． B．2 C． D． 10. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为( ) A．(50－50sin 40°)厘米 B．(50－50cos 40°)厘米 C．(50－50sin 20°)厘米 D．(50－50cos 20°)厘米 　　　　 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝4b，则cos B的值是_______． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，AB＝15，则AC的值是_______． 13. 如果α是直角三角形的一个锐角，sin α＝，那么tan α＝______． 14. 学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关．如图，请你用∠BAC的正弦(或余弦，或正切)的大小来描述梯子的倾斜程度：______. 15. 如图，矩形ABCD的边长AB＝8，AD＝4，若将△DCB沿BD所在直线翻折，点C落在点F处，DF与AB交于点E，则cos ∠ADE＝_______． 　　 16. 如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为______米．(结果保留根号) 三、解答题(一)(本大题共4小题，第17、18题各5分，第19、20题各6分，共22分) 17. 计算：cos 60°－2sin245°＋tan230°－sin30°. 18. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，且2b＝a＋c，求∠A的正弦值． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三个三角函数值． 四、解答题(二)(本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分) 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝4，BC＝3. (1)求BD的长； (2)求∠ACD的正切值． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tan B＝，点D在BC上，且BD＝AD. (1)求AC的长； (2)cos ∠ADC的值． 23. 如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A－D－C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11 m，CD＝4 m，求管道A－D－C的总长． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 24. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C，E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A，D，B，F在同一直线上．点C，点E到AB的距离分别为CD，EF，且CD＝EF＝7 m，CE＝895 m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s. (1)求A，B两点之间的距离(结果精确到1 m)； (2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．(参考数据：≈1.4，≈1.7) 25. 为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向． (1)求步道DE的长度； (2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．(结果精确到个位，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，≈1.73) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、选择题 1. B 2. C 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B 10. B 二、填空题 11. 12. 12 13. _ 14. ∠BAC的正弦值越大，梯子越陡 15. 16. (3＋) 三、解答题 17.解：原式＝－2×()2＋×()2－＝－2×＋×－＝－1＋－＝－ 18.解：由题意，得b＝(a＋c).∵a2＋b2＝c2，∴a2＋(a＋c)2＝c2，(a＋c)(a－c)＋(a＋c)2＝0，(a＋c)(a－c)＝0，∵a＋c≠0，∴a＝c，sin A＝＝ 19.解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，又∵AC＝15，∴AB＝＝＝10，BC＝＝＝5 20.解：在Rt△BCD中，∵CD＝3，BD＝5，∴BC＝＝＝4，又∵AC＝AD＋CD＝8，∴AB＝＝＝4，则sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，tan A＝＝＝ 21.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵CD⊥AB，∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝.∵tan B＝＝，∴＝，∴BD＝　(2)∵AB＝5，BD＝，∴AD＝AB－BD＝，∵CD⊥AB，∴tan ∠ACD＝＝＝ 22.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tan B＝，∴＝tan B＝＝，解得AC＝4　(2)设CD＝x，则AD＝BD＝8－x，在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2＋AC2，即(8－x)2＝x2＋16，解得x＝3，∴CD＝3，BD＝AD＝8－3＝5，则cos ∠ADC＝＝ 23.解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝4 m，∴AE＝AB－BE＝11－4＝7(m)，∵∠A＝60°，∴cos A＝＝cos 60°＝，∴AD＝2AE＝2×7＝14(m)，∴AD＋CD＝14＋4＝18(m)，即管道A－D－C的总长为18 m 24.解：(1)根据题意，可知四边形CDFE是矩形，∠CAD＝30°，∠EBF＝45°，∴DF＝CE＝895 m，在Rt△EBF中，BF＝＝＝7(m)，∴DB＝DF－BF＝895－7＝888(m)，在Rt△ACD中，AD＝＝＝7≈11.9(m)，∴AB＝AD＋BD＝11.9＋888≈900(m)，∴A，B两点之间的距离约为900 m (2)∵900÷45＝20(m/s)，∴小型汽车每小时行驶20×3600＝72000(m)，∵72000 m＝72 km，72<80，∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速 25.解：(1)过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170米，在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝≈＝200(米)，∴步道DE的长度约为200米 (2)他从点A出发，经过点B到达点D路程较近，理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，∴EF＝≈≈106(米)，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170米，∴BC＝AC·tan 60°＝170(米)，∴AB＝＝＝340(米)，∵BD＝100米，∴CD＝BC＋BD＝(170＋100)米，∵四边形ACDF是矩形，∴AF＝DC＝(170＋100)米，∴AE＝AF－EF＝170＋100－106≈288(米)，∴某人从点A出发，经过点B到达点D路程＝AB＋BD＝340＋100＝440(米)，某人从点A出发，经过点E到达点D路程＝AE＋DE＝288＋200＝488(米)，∵440米<488米，∴他从点A出发，经过点B到达点D路程较近 学科网（北京）股份有限公司 $$