28.2.2 应用举例 （第2课时）-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

第 二十八章 锐角三角函数 28.2.2 应用举例 第二课时 学习目标 1.了解方向角的概念会用解直角三角形的知识解决方位问题. 2.了解坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题. 学习重难点 运用解直角三角形的知识解决方位问题和坡度问题. 运用解直角三角形的知识解决方位问题和坡度问题. 难点 重点 知识点1 与方向角有关的解直角三角形问题 ① 我们已经学过了仰角和俯角，你知道方向角吗？ 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角 叫做方向角. 3 如图所示， 目标方向线OA，OB，OC 的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向. 观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助此性质进行角度转换. 4 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时， B 处距距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？ 分析：根据题目，能得到PA= n mile ， ∠A= ， ∠B= . 求PB之间的距离. 例1 80 65° 34° 5 解：如图在 Rt△APC 中， 　　PC=PA·cos（90°- 65°） 　　　 =80×cos 25° 　　　 ≈72.505． 在 Rt△BPC 中，∠B=34°， 　　∵　sin B=， ∴　PB = =≈130（n mile）． 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile. 6 归纳 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤 1.画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题； 2.根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案. 7 练习 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在 河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上， 沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向，B在D 的北偏西53°方向上.求A，B两点间的距离. (参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 8 解：如图，∵CE∥AD，∴∠A=∠ECA=37°， ∴∠CBD=∠A＋∠ADB=37°＋53°=90°， ∴∠CBD°=90°， 在Rt△BCD中，∠BDC=90°－53°=37°， CD=90米，cos∠BDC= ， ∴BD=CD·cos37°≈90×0.80=72(米)， 在Rt△ABD中，∠A=37°，BD ≈72(米)， 因此，A、B两点间的距离约为96米. 9 在我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？ 知识点2 与坡角有关的解直角三角形问题 ② L h α 10 坡度、坡角 1.坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度 （或叫坡比）用字母表示为 2.坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角），则 tan α= L h α 坡度是两条线段的比值，不是度数. 11 解读 1. 坡度（坡比）也可写成i = h∶l的形式，在实际应用中常表示成 1∶x的形式. 2. 坡度与坡角的关系： =tanα ，即坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也 就越大. 12 例2 李明在大楼30 m 高（即PH=30 m）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60° . 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ ，点P，H，B，C，A 在同一个平面内，点H，B，C 在同一条直线上，且PH ⊥ HC. (1)山坡坡角的度数等于 ______°； (2)求A，B 两点间的距离（结果精确到0.1 m，参考数据： ≈ 1.732）. 13 解：(1)∵山坡坡角为∠ ABC，坡度i=1 ∶ ， ∴ tan ∠ ABC= = ，∴∠ ABC=30° . （2）由题意，得∠ PBH=60°， ∠ APB=60° －15° =45° . ∵∠ ABC=30°，∴∠ ABP=90° . ∴∠ BAP=45°，∴ PB=AB. 在Rt △ PHB 中， ∴ AB=PB=20 ≈ 34.6m. ∴ A，B 两点间的距离约为34.6 m. 14 如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AF=DE=6m，斜面坡度 i =1:1.5 是指坡面的垂直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i =1:3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，求： （1）坡角α 和 β 的度数； （2）斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位)． 练习 15 解：（1）∵tanα＝1:1.5，tanβ＝1:3， 利用计算器可求得α≈33.7°，β≈18.4°； （2）∵tanα＝1:1.5，又AF＝6m， ∴BF＝9m，由勾股定理得 AB≈10.8m. 16 随堂演练 1. 已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ） A.南偏东50° B.南偏东40° C.北偏东50° D.北偏东40° D 17 2.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度的是1：，堤坝高BC=50 cm，水平宽度AC的长度为（ ） A.100cm B.100 C.150 cm D.50 cm D 18 3.某渔船在海上进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，发现正北方向（6+6 ）海里的C处有海盗出没，为了安全，请求A处的海警前往C处护航.如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（ ）海里. A.6 B.6C.12 D.12 A 19 4.沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD， 高DH=12 米，斜坡CD 的坡度i=1 ∶ 1. 此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD 表示高压线上的点与堤面AD 的最近距离(P，D，H 在同一直线上)，在点C 处测得∠ DCP=26° . （1）求斜坡CD 的坡角α ； （2）电力部门要求此处高压线离堤面AD 的安全距离不低于18 米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin26°≈0.44，tan 26°≈ 0.49，sin 71 ° ≈ 0.95，tan71°≈ 2.90) 20 21 4.沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD， 高DH=12 米，斜坡CD 的坡度i=1 ∶ 1. 此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD 表示高压线上的点与堤面AD 的最近距离(P，D，H 在同一直线上)，在点C 处测得∠ DCP=26° . （1）求斜坡CD 的坡角α ； （2）电力部门要求此处高压线离堤面AD 的安全距离不低于18 米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin26°≈0.44，tan 26°≈ 0.49，sin 71 ° ≈ 0.95，tan71°≈ 2.90) 22 课堂小结 应用举例 方向角问题 坡角问题 方向角 应用 坡度 坡角 应用 23 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 24 绿卡图书—走向成功的通行证 25 解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1∶1， ∴tan α＝＝1， ∴α＝45°. （2）∵DH⊥BC，α＝45°，∴CH＝DH＝12米， ∠PCH＝∠PCD＋α＝26°＋45°＝71°. 在Rt△PCH中， ∵tan ∠PCH＝＝≈2.90， ∴PD≈22.8米．∵22.8＞18， ∴此次改造符合电力部门的安全要求． $$