28.2.2 应用举例 （第1课时）-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

第 二十八章 锐角三角函数 28.2.2 应用举例 第一课时 学习目标 1.会运用解直角三角形的知识解决实际问题. 2.知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问题. 学习重难点 运用解直角三角形的知识解决实际问题. 用三角函数解决观测问题. 难点 重点 知识点1 解直角三角形的实际应用 ① 2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图.当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？ 例1 综合运用圆和解直角三角形的知识解答. 3 分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点． 本题可抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题： 如图，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，弧PQ的长就是地球表面上P，Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ（即α）的度数. 4 解：设∠POQ=α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． ∵　cosα =0.9491, ∴α ≈ 18.36°. ∴弧PQ的长为　2051（km） 由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km. 5 归纳 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤 1.画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题； 2.根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案. 6 练习 某居民楼Ⅰ高20 m，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面的距离CM 为2 m，窗户CD 高1.8 m. 现计划在楼Ⅰ的正南方距楼Ⅰ 30 m 处新建一居民楼Ⅱ . 当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使楼Ⅱ的影子不影响楼Ⅰ所有住户的采光，新建楼Ⅱ最高只能建多少米？ 7 解：设正午时刻，太阳光线正好照在楼Ⅰ一楼的窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高EG=x m，如图所示， 过点C 作CF ⊥ EG 于点F，则FG=CM=2 m. 在Rt△ ECF中，EF = (x－2) m ， FC = 30m ， ∠ ECF=30°， ∴ tan 30°= ，∴ x=10 +2. 答：新建楼Ⅱ最高只能建（10 +2）m. 8 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．如下图： 知识点2 与俯角、仰角有关的解直角三角形问题 ② 9 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平 距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？ 分析：（1）从“从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°”得出α= ； （2）从 “看这栋楼底部的俯角为 60°”得出β= ； （3）从“热气球与楼的水平距离为 120 m”得出 AD= ，AD⊥BC. 例2 30° 60° 120 m 10 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120． ∵　tanα=，tanβ= ， ∴　BD=AD·tanα=120×tan 30°=120×=，　 CD=AD·tanβ=120×tan 60°=120×　 =120 ． ∴　BC=BD+CD= +120 =160 ≈277（m）． 11 某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°， 信号塔顶部的仰角为45°，已知教学楼AB的高度为20 m，求信号 塔的高度(计算结 果保留根号) . 练习 12 解：如图，过点A作AE⊥CD ，垂足为E， 由题意得AB= DE=20 m， 在Rt△ADE中，∠EAD=30, ∴ 在Rt△AEC中， ∠CAE=45°， CE=AE · tan 45°=20 ×1 =20 (m), ∴CD=CE＋DE= (20 +20 )m， 即信号塔的高度为(20 +20 )m. 13 随堂演练 1. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A 的距离， 可以在小河 边取PA 的垂线PB 上的一点C， 测得PC=100 米，∠ PCA=35°， 则小河宽PA 等于( ) A.100sin35°米 B.100sin55°米 C.100tan35°米 D.100tan55°米 C 14 2.如图，身高1.6 m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树高大约为 m(结果精确到0.1 m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高). 5.1 15 3.在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠ CAD=60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 米. (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号) (2)求旗杆CD 的高度. 16 解：(1)∵在教学楼上的B 处观测旗杆底端D 的俯角是30°， ∴∠ ADB=30° . 在Rt △ ABD 中，∵∠ BAD=90°，∠ ADB=30°，AB=4 米， ∴教学楼与旗杆的水平距离AD 是4 米. (2)在Rt △ ACD 中， ∵∠ ADC=90°，∠ CAD=60°，AD=4 米， ∴ CD=AD·tan60° =4 × =12(米). ∴旗杆CD 的高度是12 米. 17 课堂小结 应用举例 在实际问题中的应用 仰角、俯角问题 抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题 18 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 19 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$