30.4 第2课时 二次函数的最值问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

第三十章 二次函数 30.4 二次函数的应用 第2课时 二次函数的最值问题 学习目标 1.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 3.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 学习重难点 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 难点 重点 如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最大（或最小）值？ 复习导入 当a>0，且x=-时,y最小= 当a<0，且x=-时,y最大= 3 用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架,其横档和竖档分别与AD,AB平行.设AB=x m,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少平方米? 新知探究 知识点 二次函数的最值问题 例2 A B C D 解:∵ a=-<0, ∴当x=3时,S有最大值,且S最大=12m2 . 答:当x=3时,矩形框架ABCD的面积最大,最大面积为12 m2. 4 归纳 利用二次函数求实际问题的最值的一般步骤: (1)认真分析题意,找两个变量之间的等量关系; (2)根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; (3)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值. 5 例3 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润? 分析：求最大利润的实质是求二次函数的最大值. 总利润=每件商品的利润×商品数量 例题解读 6 解:设生产x档次的产品时,每天所获得的利润为w元,则 w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1 352. 当x=8时,w有最大值,且w最大=1 352. 答:该工艺师生产第8档次的产品,可使每天获得的利润最大,最大利润为1 352元. 7 求解最大利润问题的一般步骤 (1)建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”. (2)结合实际意义，确定自变量的取值范围. (3)在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图像，利用图像的性质求出. 归纳 8 总结 求二次函数最值最常用的方法有两种: （1）配方法: （2）公式法:直接利用上述关系式经过配方得出结论. 若a>0,则当x=- 时,y最小值= ; 若a<0,则当x=- 时,y最大值= . 9 随堂演练 1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 . 图1 10 2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °, AB=12cm, BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. A B C P Q 图2 3 11 3.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元. 4.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=　　　　, 一天出售该种手工艺品的总利润y最大.  25 4 12 5.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 归纳提升 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 13 6.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ x y 5 16 O 7 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，最大利润为25元； (2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 14 课堂小结 二次函数的最值问题 根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围 在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值. 认真分析题意,找两个变量之间的等量关系 15 绿卡图书—走向成功的通行证 16 $$