30.4 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

第三十章 二次函数 30.4 二次函数的应用 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题 学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2.利用二次函数解决与抛物线有关的实际问题． 学习重难点 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 利用二次函数解决与抛物线有关的实际问题． 难点 重点 生活中有许多物体中存在着抛物线形状...... 情境导入 本节课我们学习利用二次函数解决一些“抛物线”形问题. 3 如图，一名运动员在距离篮圈中心4 m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5 m.如果篮圈中心距离地面3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 新知探究 知识点 利用二次函数解决运动中抛物线形问题 例1 分析： 由于篮球在空中运行的路线为一条抛物线，所以可以建立恰当的直角坐标系，求出该抛物线的表达式，借助表达式来解决所求问题.由题设，已知抛物线的顶点，建立顶点在y轴上的直角坐标系，可使所得的函数表达式较简单. 4 解：如图所示,建立直角坐标系,篮圈中心为点A (1.5,3.05),篮球在最大高度时的位置为点B(0,3.5).以点C表示运动员投篮的出手处. 设以y轴(直线x=0)为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k,即y=ax2+k,而点A,B在这条抛物线上,所以有 解得 所以抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5. 当x=-2.5时,y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25（m）. 答:篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m. O C B（0,3.5） A（1.5,3.05） -2.5 1.5 3.05 y x 方法一 5 O 4 2.5 C B（2.5,3.5） A（4,3.05） x y 分析：我们也可以以运动员起跳处为坐标原点建立直角坐标系. 解：建立如图所示的坐标系， 由题得顶点B（2.5,3.5）,A（4,3.05）, 设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ)2+k, 代入点A，点B的坐标 得到y=−0.2(x−2.5)2+3.5. 把x=0代入，得y=2.25. 答:篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m. 方法二 6 归纳 解决运动中抛物线形问题时,要会根据图的特点,建立恰当的坐标系,由抛物线图像读出最大高度和最远距离(一般以水平面为x轴),然后借助抛物线上一些特殊点的坐标求出函数表达式,并解决问题. 7 某市为打造宜居城市，将“民心河”沿线改造为绿色景观带.为节约水资源，河两边的景观带安装了自动喷灌器.如图,某喷灌器AB的喷头高出地面1.35 m,喷出的水流呈抛物线形从高1 m的小树CD上面的点E处飞过,点C距点A 4.4 m,点E在直线CD上,且距点D 0.35 m,水流最后落在距点A 5.4 m远的点F处.喷出的水流最高处距地面多少米? 做一做 8 水流最高处到地面的距离即为抛物线顶点到地面的距离.为求抛物线的表达式,小亮和小惠分别建立了如图（1）（2）所示的直角坐标系,并写出了相关点的坐标. （1） （2） （1）请分别按小亮和小惠建立的直角坐标系求这条抛物线的表达式. （2）根据以上两种表达式,求出水流最高处到地面的距离. 解:（1）小亮的方法： 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 将点B(0,1.35),E(4.4,1.35),F(5.4,0)代入, 得 解得 ∴y=-0.25x2+1.1x+1.35 10 小慧的方法： 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 将点B(-.2.2,1.35),E(2.2,1.35),F(3.2,0)代入,得 解得 ∴y=-0.25x2+2.56 11 (2)对于y=-0.25x2+1.1x+1.35，当 时，y最大=2.56. 对于y=-0.25x2+2.56，当x=0时，y最大=2.56. 12 总结 解决抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； (3)恰当选用二次函数的表达式形式，用待定系数法求出抛物线的表达式; (4)利用抛物线表达式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解. 13 随堂演练 1.发射一枚炮弹，经过 x 秒后炮弹的高度为 y 米，x，y 满足 y=ax2+bx，其中 a，b 是常数，且 a≠0.若此炮弹在第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是第 秒. 10 14 2. 如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s. 4 15 3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位： s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是(　　) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ D 16 4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 归纳提升 解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0), ∴0=a+0.5，解得a=-0.5. ∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5. 令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1. 令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48, 令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32. (0.48+0.32)×2×100=160 (m) ∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为160m. 17 5.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点, 其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足表达 式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米. (1)当h=2.6时,求y与x的函数表达式. (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由. (3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围是多少? 18 解：(1)∵h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出, ∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0, 2), ∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a= - , 故y与x的函数表达式为 y= - (x-6)2+2.6. (2)当x=9时, y=- (x-6)2+2.6=2.45>2.43, 所以球能过球网; 当y=0时, - (x-6)2+2.6=0, 解得: x1=6+2 >18, x2=6-2 (舍去),故会出界. 19 (3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点 (0,2), 代入表达式得 此时二次函数表达式为y=- (x-6)2+ , 此时球若不出边界，则h≥ ； 当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43), 抛物线y=a(x-6)2+h 还过点(0,2),代入表达式得 此时球要过网，则h≥ , 故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是h≥- . 20 课堂小结 运动中的抛物线形问题 二次函数的图像和性质 实际问题 数学模型 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择简便的运算方法 21 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$