1.4 第1课时 角平分线的性质和判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第1章 直角三角形 1.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质和判定 学习目标 1.探索并证明角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等； 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2.能灵活运用角平分线的性质定理解决一些简单的几何推理问题. 学习重点、难点 角平分线性质定理及其应用. 重点： 难点： 性质定理的探索推理论证. 知识回顾 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB = AD，BC =DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是 SSS，两全等三角形的对应角相等. 课时导入 探究 1. 取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、PE 的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系， 写出结论：__________. PD PE 第一次 第二次 第三次 PD = PE C O B A P D E 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任意一点. 证明猜想 已知：如图， ∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴ PD = PE. C O B A P D E 知识讲解 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用定理所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 角平分线的性质定理： 例1 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 动脑筋 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等，那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得 到什么命题，这个新命题正确吗？ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 猜想： 思考：这个命题正确吗？ 证明猜想 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO = ∠PEO = 90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOP = ∠BOP (全等三角形的对应角相等). 知识讲解 角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 应用定理所具备的条件： (1) 位置关系：点在角的内部； (2) 数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用： 判断点是否在角平分线上. B A D O P E C 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 例2 如图所示，已知 △ABC 中，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD 平分∠BAC．理由如下： ∵ D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等， ∴点 D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 随 堂 小 测 1. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC = ∠BOC 的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F， ∵AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB. ∴DF ＝ DE ＝ 2. 解得 AC＝3. 2. 如图，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C E A D F 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法． 3. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 4. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则 ∠EBF = °，BE = . 60 BF E B D F A C G 证明：∵CD 是∠ACG 的平分线， DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE ＝ DF. 在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE ＝ CF. 5. 如图所示，D 是∠ACG的平分线上的一点，DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为 E，F. 求证：CE ＝ CF. 6. 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为 1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 截取 OD = 2.5 cm ，D 即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 小结 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 小结 角平分线的性质定理 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 角平分线 的性质定理的逆定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的内角平分线相交于内部一点 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$