专题6.4 排列、组合的综合应用大题专项训练【七大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.4 排列、组合的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 元素（位置）有限制的排列问题 1．（23-24高二下·山西朔州·期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 【解题思路】（1）先选后排，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可； （2）先选后排，先安排该男生，根据分步乘法计数原理计算即可； （3）根据分步乘法计数原理计算即可． 【解答过程】（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种， 共（种）． （2）先选后排，但先安排该男生，有（种）． （3）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）． 2．（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字． (1)能组成多少个无重复数字的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？ (3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 【解题思路】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； （3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答. 【解答过程】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； （2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 即可以组成个无重复数字的五位偶数； （3）计算比21034大的五位数的个数分两类： 万位比2大的五位数个数是， 万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个， 由分类加法计数原理得， 所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个. 3．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减. 【解题思路】（1）将较高的3个学生捆绑成一个元素，再与其他元素进行全排列即可； （2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选出3名从高到低排列，剩余的3名按高低进行排列即可； 【解答过程】（1）将较高的3个学生捆绑成一个元素，与另外4名学生构成5个元素进行自由排列，共有种排法； 捆绑的3个学生内部可自由排列，有种方法； 共有种； （2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选出3名从高到低排列在左边， 剩余的3名按高低进行排列在右边，共有种. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ 【解题思路】（1）先计算无约束条件的全排列，然后除以不符合题意的“重复”，从而求得正确答案. （2）通过无约束条件的全排列，以及不符合题意的“重复”列方程，由此求得正确答案. 【解答过程】（1）5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定， 因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有（种）． （2）设符合条件的顺序共有种，用（1）的方法可得，解得， 所以符合条件的出场顺序有10种． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【解题思路】（1）先排首位，再排其它位的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （2）先排个位，然后排首位，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （3）按个位数是0或5分类，结合两个原理列式计算即可. （4）讨论首位是1，首位是2和首位是3时的不同个数，再求出第264个数即可得解. 【解答过程】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种. （2）先排个位数，有种， 由0不能在首位，则排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个. （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法， 所以共有个. （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 所以第264个数是，第265个数是. 题型二 定序问题 6．（23-24高二下·江苏盐城·期中）身高各不相同的六位同学站成一排照相， (1)A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） (2)三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 【解题思路】（1）先排其余4人，再利用插空法分析运算； （2）先对人全排列，再根据部分定序问题运算求解. 【解答过程】（1）先排列除A与外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空， 利用插空法将A和插入5个空，有种方法， 所以共有种方法. （2）对6个人全排列有种方法，全排列有种方法， 则从左到右按高到矮的排列有种方法. 7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)男、女相间的站法有多少种? (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种? 【解题思路】（1）特殊元素优先排列即可得； （2）不相邻问题用插空法排列即可得， （3）定序问题用倍缩法排列即可得. 【解答过程】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种， 故共有种； （2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种， 故共有种； （3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种. 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在2024年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目参演人员合影留念．3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男、女相间的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【解题思路】（1）特殊元素优先排列即可得； （2）不相邻问题用插空法排列即可得， （3）定序问题用倍缩法排列即可得. 【解答过程】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种， 故共有种； （2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种， 故共有种； （3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种. 9．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数. (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变 【解题思路】（1）将女生看成一个整体，按照捆绑法求解； （2）先排女生，然后按照插空法求解； （3）按照定序法求解即可； 【解答过程】（1）将女生看成一个整体，与名男生在一起进行全排列，有种方法， 再将名女生进行全排列，也有种方法， 故共有种排法. （2）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法， 再在女生之间及首尾空出的个空位中任选个空位排男生，有 种方法， 故共有种排法. （3）从个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的个人，有种方法， 剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排， 故共有种排法 10．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 【解题思路】（1）先将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案； （2）先排女生，然后在空位中插入男生，由分步计数原理计算可得答案； （3）7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，计算可得答案； （4）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，相减可得答案. 【解答过程】（1）捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法； （2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法； （3）定序排列．7名学生排成一行，分两步： 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N； 第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得， 所以（种）； （4）位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法， 但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）. 题型三 相邻、不相邻排列问题 11．（23-24高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 【解题思路】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【解答过程】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 12．（24-25高二上·辽宁抚顺·阶段练习）某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序，其中3个产品来自A公司，2个产品来自B公司，1个产品来自C公司． (1)求B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数; (2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案数． 【解题思路】（1）将B公司的2个产品的介绍顺序捆绑在一起，进行排列； （2）先排A公司的3个产品有种排法，由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻，故分两类情况：一是B公司的2个产品和C公司的1个产品都在A公司的3个产品之间，二是B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品在A公司的3个产品之间，另一个在第一个或最后一个,可得解. 【解答过程】（1）将B公司的2个产品的介绍顺序捆绑在一起， 与其他4个产品进行全排列，共有种， 故B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数有240种； （2）先排A公司的3个产品有种排法， 由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻，故分两类情况： 一是B公司的2个产品和C公司的1个产品都在A公司的3个产品之间， 即B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品相邻， 共有种排法， 二是B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品在A公司的3个产品之间， 另一个在第一个或最后一个，共有， 所以共有种方案. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 【解题思路】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解， （2）根据不相邻问题插空法即可求解， （3）结合捆绑法和插空法即可求解. 【解答过程】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有（种）排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边共4个空位中插人4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． （3）先将甲、乙、丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲、乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插人原先排好的4人产生：的5个空隙中，共有种排法， 由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． 15．（23-24高二下·浙江·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【解题思路】（1）插空法求解不相邻问题； （2）直接法及间接法计算特殊位置问题； （3）直接法及间接法计算相邻问题. 【解答过程】（1）不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种： （2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有种 方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法． （3）方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法， 当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能， 所以不同排列方式共有种． 方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法． 题型四 组合计数问题 16．（24-25高二下·全国·课后作业）小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 【解题思路】（1）利用组合数的概念进行计算； （2）采用分类加法和分步乘法计数原理进行计算； （3）采用分类加法计数原理进行计算. 【解答过程】（1）若不买苹果，共有种买法． （2）若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有种买法． （3）当香橙和圣女果中只买香橙时，有种买法； 当香橙和圣女果中只买圣女果时，有种买法； 当香橙和圣女果都买时，有种买法. 故买法总数为种． 17．（23-24高二下·广东梅州·期中）从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中. (1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？ (2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？ 【解题思路】（1）应用分步计数，从其余4个数选3个数全排，再把1和2插入其中求结果. （2）应用间接法，先求出有1和3且区域，，中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数，然后作差即可得结果. 【解答过程】（1）首先从其它4个数中任选3个并作全排有种， 3个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有种， 所以共有种填法. （2）若区域，，中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域，，上， 所以，共有种， 从2、4、5、6任选3个数有种，再把5个数全排有种，共有种， 综上，填入的5个数字中有1和3且区域，，中有奇数，共有种. 18．（24-25高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）有男运动员6名，女运动员4名，其中男，女队长各1名.先选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)任意选派5人； (2)男运动员3名，女运动员2名； (3)两个队长必须参加； (4)至少有三名女运动员. 【解题思路】（1）根据题意结合组合数分析求解即可； （2）先在男运动员选3名，再在女运动员选2名，结合组合数运算求解； （3）因为两个队长必须参加，则从剩余的8人中选择3人，结合组合数运算求解； （4）分类讨论女生人数，结合组合数分析求解. 【解答过程】（1）若任意选派5人，则有种选派方法. （2）若男运动员3名，女运动员2名，则有种选派方法. （3）若两个队长必须参加，则有种选派方法. （4）若只有3名女运动员参加，则有种选派方法； 若4名女运动员全部参加，则有种选派方法； 可知至少有三名女运动员，则有种选派方法. 19．（23-24高二下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； (2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 【解题思路】利用分步相乘计数原理和分类相乘计数原理结合排列组合的知识计算方法每一小问的方法种类数. 【解答过程】（1）点的横、纵坐标均有4种可能，则， 所以所求线段的条数为. （2）如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条， 仅有3点共线的直线有6条， 所以这个点能确定的直线的条数为 （3）从这个点中选出3个点，共有种选法. 在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为. 20．（23-24高二下·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． (1)求四位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 【解题思路】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可； （2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第125个四位“幸福数”. 【解答过程】（1）根据题意，四位“幸福数”中不能有0， 故只需在数字1，2，3，…，9中任取4个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”， 每种取法对应1个“幸福数”，则四位“幸福数”共有个. （2）对于所有的四位“幸福数”，1在最高数位上的有个，2在最高数位上的有个， 3在最高数位上的有个，4在最高数位上的有个，5在最高数位上的有个. 因为， 所以第125个四位“幸福数”是最高数位为5的最大的四位“幸福数”，为5789. 题型五 分组分配问题 21．（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 【解题思路】（1）根据题意，结合组合数的计算即可求解； （2）根据分类加法和分布乘法计数原理结合组合数的计算即可求解． 【解答过程】（1）由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种． （2）分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种， 则符合题意的有； 第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种， 则符合题意的有； 第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种， 则符合题意的有． 故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种． 22．（23-24高二下·安徽六安·期中）6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． （要求:以上4题最终答案均要用数字作答） 【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理求解即可； （2）利用平均分组公式求解即可； （3）利用分步乘法计数原理求解即可； （4）按“2、2、2型”、 “1、2、3型”、 “1、1、4型”三种情况分类，再用分类加法计数原理求解即可. 【解答过程】（1）先从6本书中选2本给甲，有种方法；再从剩余4本书中选2本给乙，有种方法； 最后从余下的2本书中选2本给丙，有种方法， 根据分步计数原理，一共有种不同分法． （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有x种方法； 第二步将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有种方法． 根据分步计数原理，可得，所以，即共有15种不同分法． （3）先从6本书中选1本，有种方法；再从剩余5本书中选2本，有种方法；最后从余下的3本书为一份， 根据分步计数原理，一共有种不同分法． （4）可以分为三类情况： ①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有种分法； ②“1、2、3型”即（3）中的分配情况，有种分法； ③“1、1、4型”，有种分法， 所以一共有种不同分法． 23．（23-24高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有6名同学（简记为A，，，，，）到甲、乙、丙三个体育场馆做志愿者. (1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ (2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ 【解题思路】（1）因为6个相同的口罩，利用隔板法结合组合数分析求解； （2）分人数配比为1，1，3和1，2，2两种情况，结合排列数、组合数运算求解. 【解答过程】（1）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙， 插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可， 所以不同的发放方法种. （2）把A，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆， 分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 所以不同的安排方法有种方法. 24．（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 【解题思路】（1）找对立面，先将总数求出来，后将全男全女减掉就可以了. （2）先选再分组最后分配. （3）捆绑和插空法使用即可解题. 【解答过程】（1）从这11人中任选4人的选法有种， 其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种， 故4人中必须既有男生又有女生的选法有种. （2）从这11人中任选4人的选法有种， 若人数按1，3分配，则安排方法有种， 若人数按2，2分配，则安排方法有种， 所以共有种安排方法. （3）因为男､女生各需要2人，所以选出4人的方法有种. 先排2名男生与2名组织者，有种排法， 再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有种方法， 所以共有种不同的合影方法. 25．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 【解题思路】（1）利用分步计数原理可求得方法数； （2）先将名学生按分为三个组有种方法，则可求人分配到分配到三所学校方法数； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三所学校可求总的方法数. 【解答过程】（1）名学生选名到甲学校任教有种方法；从剩余的名学生中选名到乙学校有种方法；剩余名学生都分配到丙学校去任教有种方法， 则人分配到三所学校甲学校人、乙学校人、丙学校人共有 种分配方法； （2）名学生按分为三个组有种方法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有 种方法， 则人分配到三所学校共有 种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； ③名学生平均分配到所学校有种方法； 则人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 题型六 涂色问题 26．（2025高三·全国·专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．    (1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？ (2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ 【解题思路】（1）第一步，、、三点所涂颜色各不相同，第二步，、、三点所涂颜色各不相同，结合分步乘法即可求得结果. （2）分别研究用四种颜色或三种颜色或两种颜色涂色方法，结合分类计数、分步计数原理计算即可. 【解答过程】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，第一步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种），第二步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种）， 所以由分步计数原理，不同的涂色方法共有（种）. （2）若用四种颜色，即，，，各涂一种颜色，与同色，与同色，所以有（种）； 若用三种颜色，即第一类： 与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种）， 第二类：与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种）， 第三类：与同色、、各涂一种颜色，则可以涂剩余那种颜色或与同色，可以与同色或涂剩余那种颜色，所以有（种）， 所以用三种颜色，有（种）； 若用两种颜色，即与同色、与同色各涂一种颜色，可以涂剩余剩余两种颜色，也可以涂剩余剩余两种颜色，所以有（种）． 所以由分类加法计数原理，共有（种）． 27．（2025高三·全国·专题练习）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？ 【解题思路】分选择四种颜色和选择三种颜色两种情况分别求出涂色方法即可. 【解答过程】若选择四种颜色，则有种不同的涂色方法； 若选择三种颜色，则有种不同的涂色方法， 故一共有种不同的涂色方法. 28．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ 【解题思路】依题意可得Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色，利用分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色， 用3种颜色涂色，即Ⅰ与Ⅳ同色，有种方法， 用4种颜色涂有种方法， 所以不同的涂色方法种数是. 29．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 【解题思路】（1）由全排列公式求出答案； （2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案； （3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案. 【解答过程】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案． （2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案； 第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案． 所以共有种不同的种植方案． （3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花． 第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花， 则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案． 第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案． 第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花， 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花， 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案． 第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案． 综上，共有种不同的种植方案． 30．（23-24高二下·江苏无锡·期中）如图，四边形的两条对角线，相交于，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形，，，进行染色，且每个三角形用一种颜色染． (1)若必须使用红色，求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数； (2)若不使用红色，求四个三角形，，，中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数. 【解题思路】（1）根据题意，假设为，，同色，再分2种情况讨论：①若，，同时染红色与，②若，，同时染的不是红色，求出每种情况的染色方法数目，由加法原理计算可得答案； （2）根据题意，分3种情况讨论：①、若一共使用了四种颜色，②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，求出每种情况的染色方法数目，由加法原理计算可得答案． 【解答过程】（1）解：根据题意，要求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色， 而同色的相邻三角形共有4种，不妨假设为，同色， ①若，同时染红色，则另外两个三角形共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若，同时染的不是红色，则它们的染色有4种，另外两个三角形一个必须染红色，所以这两个三角形共有，因此这种情况共有种染色方法． 综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为种； （2）解：根据题意，因为不用红色，则只有四种颜色可选， 分3种情况讨论： ①、若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，所以一共有种染色方法； ③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，所以共有种染色方法． 综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为种． 题型七 排列组合综合 31．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： (1)若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ (2)若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ (3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 【解题思路】（1）特殊元素优先考虑，先排，再排其余四个节目，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）相邻问题利用捆绑法； （3）不相邻问题利用插空法，先排3个歌舞类节目，再分小品节目和1个相声节目互不相邻及有一个相邻两种情况讨论. 【解答过程】（1）因为总共有六个位置，两个小品类节目不能排在第一位和最后一位， 先将排好，则有种排法，剩下四个节目四个位置，则有种排法， 故共有种排法. （2）先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为，并排列，故有种排法， 必须排在一起共有种排法，在中间共有种排法， 故共有种排法. （3）分两步完成：第一步，先安排3个歌舞类节目，则有种排法； 第二步，再用插空法安排小品节目和1个相声节目： ①若小品节目和1个相声节目互不相邻，则有种排法； ②若与中的其中一个相邻，则有种排法. 故共有种排法. 32．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 【解题思路】（1）利用组合计数，求选择的方法数； （2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数. 【解答过程】（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. （2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 33．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 【解题思路】（1）分类，按甲是否参加活动分两类； （2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性． 【解答过程】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为， ②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为， 所以共有选法种数为20+5=25； （2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：， 第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：， 第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ， 所以共有不同的分配方案数为：． 34．（23-24高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 【解题思路】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员； （2）从队员A上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案. 【解答过程】（1）出场阵容可以分两步确定： 第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种； 第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为. （2）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案： 第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛； 第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成： 第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种； 第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种； 第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有种； 根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为. 35．（23-24高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【解题思路】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【解答过程】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.4 排列、组合的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 元素（位置）有限制的排列问题 1．（23-24高二下·山西朔州·期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 2．（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字． (1)能组成多少个无重复数字的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？ (3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 3．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ 5．（24-25高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 题型二 定序问题 6．（23-24高二下·江苏盐城·期中）身高各不相同的六位同学站成一排照相， (1)A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） (2)三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)男、女相间的站法有多少种? (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种? 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在2024年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目参演人员合影留念．3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男、女相间的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 9．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数. (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变 10．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 题型三 相邻、不相邻排列问题 11．（23-24高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 12．（24-25高二上·辽宁抚顺·阶段练习）某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序，其中3个产品来自A公司，2个产品来自B公司，1个产品来自C公司． (1)求B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数; (2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案数． 13．（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 15．（23-24高二下·浙江·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 题型四 组合计数问题 16．（24-25高二下·全国·课后作业）小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 17．（23-24高二下·广东梅州·期中）从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中. (1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？ (2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？ 18．（24-25高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）有男运动员6名，女运动员4名，其中男，女队长各1名.先选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)任意选派5人； (2)男运动员3名，女运动员2名； (3)两个队长必须参加； (4)至少有三名女运动员. 19．（23-24高二下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； (2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 20．（23-24高二下·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． (1)求四位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 题型五 分组分配问题 21．（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 22．（23-24高二下·安徽六安·期中）6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． （要求:以上4题最终答案均要用数字作答） 23．（23-24高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有6名同学（简记为A，，，，，）到甲、乙、丙三个体育场馆做志愿者. (1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ (2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ 24．（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 25．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 题型六 涂色问题 26．（2025高三·全国·专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．    (1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？ (2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ 27．（2025高三·全国·专题练习）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？ 28．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ 29．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 30．（23-24高二下·江苏无锡·期中）如图，四边形的两条对角线，相交于，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形，，，进行染色，且每个三角形用一种颜色染． (1)若必须使用红色，求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数； (2)若不使用红色，求四个三角形，，，中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数. 题型七 排列组合综合 31．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： (1)若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ (2)若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ (3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 32．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 33．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 34．（23-24高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 35．（23-24高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$