17.2 勾股定理的逆定理-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(人教版)

第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 勾股定理逆定理的应用. 勾股定理逆定理的证明. 2 回顾旧知 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么 a2＋b2＝c2 . 3 问题引入 ·思考 这个命题的条件和结论分别是什么？ 问题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c . 结论：a2+b2=c2． ·思考 如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？ 4 知识讲解 知识点1 互逆命题 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 5 画一画：用直尺和圆规分别画出边长分别为6cm，8cm，10cm以及2.5cm，6cm，6.5cm的两个三角形. 问： （1）这两个三角形的三边长都有什么关系？ （2）这两个三角形都是直角三角形吗？用三角板或量角器检验一下. （3）由（1）和（2），喜欢动脑筋的你能猜想到什么结论吗？ 6 勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2 勾股定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 那么这个三角形是直角三角形. a2 + b2 = c2 互逆命题 题设 题设 结论 结论 7 我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 怎样得到一个命题的逆命题？ 把一个命题的题设和结论交换一下，即可得到它的逆命题 8 (1)两条直线平行，内错角相等． 说出下列命题的逆命题． 逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 　逆命题:相等的角是对顶角. (3)对顶角相等． 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题. （真命题） （假命题） （真命题） （真命题） (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． 逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. (真命题) (假命题) 试一试 9 知识点2 勾股定理的逆定理 A'　 B'　 C' 　 ？ 三角形全等 　　 ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c a 10 A　 B　 C　 a b c A'　 B'　 C' 　 a 证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b. ∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2， ∴ A'B' =c. ∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）. ∴ ∠C=∠C'=90°. BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'. 在△ABC和△A'B'C'中， ∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）. 11 勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2 勾股定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 那么这个三角形是直角三角形. a2 + b2 = c2 互逆命题 题设 题设 结论 结论 逆定理 定理 （判定定理） 12 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 回想一下：我们学过哪几对互逆定理？ 13 想一想: 互逆命题与互逆定理有何关系? 互逆定理一定是互逆命题，但是互逆命题不一定是互逆定理 14 勾股定理逆定理的作用： 判定一个三角形是不是直角三角形．　 例1　判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15. 分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 15 解：(1) ∵　152+82 =225+64=289， 　 172 =289， ∴　152+82 =172. ∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形． 　　像15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 16 解：(2) ∵132+142 =169+196=365， 　152 =225， ∴132+142 ≠152. ∴这个三角形不是直角三角形． 17 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ; (3) a:b: c=3:4:5 _____ _____ . 是 是 不是 ∠A=90° ∠C=90° (2) a=1 b=1 c= ____ _____ ; 试一试 18 知识点3 利用勾股定理的逆定理解决实际问题 例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 1 2 N E P Q R 19 分析： 1.求“海天”号的航向就是求 的角度. ∠2 2.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的 角度即可. 3.根据已知条件可求出三边，利用勾 股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角. 1 2 N E P Q R 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24, PR=12×1.5=18, QR=30. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 归纳：解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 练一练 A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ A B C 5cm 12cm 13cm 解：∵ BC2+AB2=52+122=169， AC2 =132=169， ∴BC2+AB2=AC2， 即△ABC是直角三角形， ∠B=90°. 答：C在B地的正北方向． 随堂演练 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 C 2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 D 3.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 4.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？ (1)全等三角形的对应角相等； (2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 解：(1)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．逆命题不成立． (2)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相等．逆命题成立． 解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0. 5.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足 ，试判断△ABC的形状. 当a=b时，△ABC为等腰三角形; 当a≠b时，△ABC为直角三角形. 6.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°. 你能求出这个零件的面积吗？ 解：如图，连接BD.在Rt△ABD中， 在△BCD中， BD2+BC2=52+122=132=CD2. ∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°. 课堂小结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 应用 航海问题 与勾股定理结合，解决不规则图形等问题 绿卡图书—走向成功的通行证 29 $$