第1章导数及其应用（章末测试题）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（湘教版2019选择性必修第二册）

第1章《导数及其应用》 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 2．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 5．设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 10．记函数在区间的极值点分别为，函数的极值点分别为，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．有极小值为 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为 . 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 14．已知函数为单调函数，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数，直线. (1)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，利用上述条件，求函数的对称中心； (2)判断“”是否为“与的图象有3个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件，并说明理由. 16．已知函数在处的切线为. (1)求的值； (2)求函数的单调区间与最大值. 17．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与的图象有且仅有一个交点，求的值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围． 18．已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)证明：. 19．若函数是定义在上的函数，且存在，，使得在上的值域仍为，则称为上的保值函数，区间叫做的保值区间． (1)求在上的所有保值区间； (2)证明：在上存在保值区间； (3)若为上的保值函数，证明：． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章《导数及其应用》 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 2．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，结合导数运算及求出函数的解析式，解不等式可得结论. 【详解】因为， 所以，即， 所以可设， 即，又， 所以，故， 所以不等式可化为， 故， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 3．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象. 【详解】因为，定义域为， 则为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 由，故排除A； ，当时，可得， 当时，为增函数，故排除D. 故选：C. 4．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 5．设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，利用导数求出的极值，当位于极小值与极大值之间时，可使有3个不同根，即可得答案. 【详解】因方程（）有个不同的根，，， 则，经比较系数可得， 则问题等价于，当方程有三个不同根时，k的范围， 即图象与有三个交点时，k的范围， 注意到， 令；令， 则在上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为， 则要使图象与有三个交点，k需在极小值与极大值之间，即. 故选：C. 6．若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求出导数可知的单调性，由题可知在单调递增，即可求出的范围. 【详解】对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 令，则在上单调递增， 又，令，解得， 则时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故选：D 7．已知函数有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数有两个极值点，转化为导数有两个不等零点即可得解. 【详解】因为， 且函数有两个极值点， 所以有两个不等实根， 所以，解得或， 故选：D 8．已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性可得是奇函数，且8是的一个周期，赋值法计算可得的值，同理可计算求得8也是的一个周期，求出的值即可. 【详解】由，得， 因为是奇函数，所以也是奇函数，所以，. 又，所以， 即，所以，所以8是的一个周期， 所以， 由，得. 由，得， 又，所以， 所以，即，所以， 所以8也是的一个周期， 所以，得， 所以，所以. 故选：A. 二、多选题 9．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【答案】ACD 【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得. 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 10．记函数在区间的极值点分别为，函数的极值点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数可得，为方程的两个根，进而可判断；，利用换元法设，可得，与相等，进而可判断；由可判断；求出，，根据不等式性质可判断. 【详解】选项A：，， 故由题意可知，为方程的两个根，故，故A正确； 选项B： ， 所以 ， 设，因为，则， 此时函数可化为， 由题意此函数的极值点分别为， 当时，函数单调递增，故，， 故，，故B正确； 选项C：由解得，，， 由题意函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而，故，，故C错误； 选项D：由A可知，，， 因为，故，即，故，故D正确. 故选：. 11．已知函数，，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．有极小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】A选项，由于，故，A正确；B选项，，显然，推出当时，恒成立，得到的单调性，求出的极小值为，也是最小值，B选项正确；C选项，由A知，，关于直线对称，故，由B选项可得，成立，所以C正确；D选项，由于无法判断，的大小关系，故D错误. 【详解】对于A，由于，故， 所以曲线是轴对称图形，且对称轴为直线，故A错误； B选项，，， 其中，显然， ， 当时，，， 若，则，故， 所以， 若，则，故， 所以， 综上，当时，恒成立， 故在上单调递增， 又是轴对称图形，且对称轴为直线， 故在上单调递减， 故为的极小值点，的极小值为，也是最小值，B选项正确； C选项，由A知，是轴对称图形，且对称轴为直线， 若，则，关于直线对称，故， 由B选项，有最小值为，即， 故成立，所以C正确； D选项，若，则， 是轴对称图形，且对称轴为直线， 在上单调递减，在上单调递增， 但无法判断，的大小关系， 故无法得到的大小，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，则， 所以，即. 故答案为：. 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【分析】首先对函数求导，求出在处的切线方程，然后根据二次函数与直线相切，根据判别式求出对应的. 【详解】因为，所以，又， 故曲线在点处的切线方程为，即． 由可得， 解得． 故答案为：. 14．已知函数为单调函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：在内单调递增，结合导数可得在内恒成立，整理得，换元令，构建，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】因为的定义域为，且， 根据题意结合指数函数单调性的特征可知：在内单调递增， 又因为， 可知在内恒成立，可得， 令，可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数，直线. (1)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，利用上述条件，求函数的对称中心； (2)判断“”是否为“与的图象有3个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件，并说明理由. 【答案】(1) (2)必要不充分条件，证明见解析 【分析】（1）由是奇函数，则，然后求解即可； （2）先证明必要性成立，与的图象有3个交点，则方程有3个不相等的实数根，即有3个不相等零点，从而得到，然后利用导数分析单调性证明即可，再证明充分性不成立即可. 【详解】（1）关于对称， 令，则， 即， 即， 化简得， 则有， 得，得对称中心坐标为； （2）是必要不充分条件， 先证必要性： 若与图像交于， 则方程有3个不相等的实数根， 即有3个不相等零点， 由于 得， 所以， 因为为公差不为0的等差数列，所以， 所以，得， 即， 由题意可得，有三个零点的一个必要条件是至少存在三个单调区间， ， （i）当，即时函数在上单调递增， 最多一个零点，不符合题意，故舍去； （ii）当，即时， 解，得， 令，得，令，得， 得函数在递增，递减，在递增， 综上可得，符合题意，即为在上存在三个零点的必要条件得必要性成立； 再证充分性不成立，令，显然与仅有两个交点， 所以充分性不成立. 综上，“”是“与的图像有3个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件. 16．已知函数在处的切线为. (1)求的值； (2)求函数的单调区间与最大值. 【答案】(1) (2)在单调递减，单调递增， 【分析】（1）由条件结合导数的几何意义可得，列方程求即可； （2）利用导数判断函数的单调性，结合单调性求最值. 【详解】（1）因为函数在处的切线为， 所以，， 又函数的导函数， 所以， 所以； （2）由（1）知 当，当且仅当时取等号， 当， 在单调递减，单调递增， 又，， . 17．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与的图象有且仅有一个交点，求的值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)0或或4； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，再将问题化为仅有一个解，讨论参数a，求范围； （2）根据题设有恒成立，利用导数求右侧的最大值，即可得范围. 【详解】（1）由题知，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 因为该切线与的图象有且只有一个交点， 所以方程仅有一个解，即仅有一个解， 当时，方程可化为，仅有一个解，满足题意； 当时，由，得，解得或． 综上，的值为0或或4． （2）因为在上单调递增，所以恒成立， 由（1）知，故恒成立，所以， 令，，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，则，解得， 所以实数的取值范围为． 18．已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)证明：. 【答案】(1)详解见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分类讨论、两种情况下的单调性即可； （2）将原不等式转化为，进而利用导数证明不等式即可求解. 【详解】（1）, 当时，，所以在上单调递增； 当时，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 得，即，故只需证. 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故. 所以，即，即证. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是将原不等式转化为，进而利用导数证明不等式即可. 19．若函数是定义在上的函数，且存在，，使得在上的值域仍为，则称为上的保值函数，区间叫做的保值区间． (1)求在上的所有保值区间； (2)证明：在上存在保值区间； (3)若为上的保值函数，证明：． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令，并求解结合新定义求解； （2）利用导数研究函数在上的单调性和最小值，再构造函数，利用导数研究函数在上的零点情况结合新定义进行证明 （3）根据新定义得到，，从而得到关于的等式换元，将要证的不等式转化为单变量不等式构造函数，利用函数与导数知识进行证明. 【详解】（1）令，得，解得或或， 函数为上的增函数， 故在上的所有保值区间为，，． （2）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以当时，． 令，则， 令，解得， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 又， 所以函数在上存在唯一的，使得，即． 知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 则当时，． 故函数在上的值域为，即函数为上的保值函数，保值区间为， 故在上存在保值区间． （3）函数在上单调递减， 所以，，即，， 从而①， ②． 令，则，，代入①得，整理得， 所以，所以③． 由②③得，要证，即证， 即证． 令，所以， 令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以，即， 因此，得证． 【点睛】关键点点睛：解题的关键是构造应用函数的单调性证明不等式. 试卷第8页，共18页 试卷第7页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$