第2课时 三角形三条边的垂直平分线及尺规作图-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 3 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三条边的垂直平分线及尺规作图 课堂小结 学习目标 1.推理论证“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”这一性质；（重点） 2.利用尺规作图确定三角形三边垂直平分线交点的位置，并会作出已知底边和底边上的高的等腰三角形； 3.利用三角形三边的垂直平分线的性质解决问题.（难点） 情境导入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 猜想：要到三个小区的距离相等，那么应建在三角形三边垂直平分线的交点. 那三角形三边的垂直平分线是否交于一点呢？ 知识讲解 知识点1 三角形三条边的垂直平分线 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线. 画一画 剪下一个三角形，通过折叠找出每边的垂直平分线. 做一做 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 通过这两次动手操作，你发现了什么？ 你能证明这个结论吗？ 例 2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如右图，在△ABC 中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC. A B C P 已知：如右图，在△ABC 中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC. A B C P 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB（线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等） 同理，PB=PC. ∴PA=PB=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）， 即 边AC的垂直平分线经过点P. 知识拓展 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现. ①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点. ②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处. ③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点. 这个点叫做三角形的外心. 总结归纳 三角形三边的垂直平分线的性质定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 1.三角形三边的垂直平分线的交点（ ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三个顶点的距离相等 C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D．不能确定 随堂小测 B 2.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长. 解:设AB的垂直平分线交AB于点D，AC的垂直平分线交AC于点G.则图中相等的线段有： AD=BD，BE＝AE，AG=CG，AF＝CF. △AEF的周长为AE＋EF＋AF=BE+EF+FC=BC=2. 知识讲解 知识点2 线段垂直平分线的作图及应用 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ 议一议 A1 D C B A a h D C B A a h A1 能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. (D) C A a h A1 B （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ 议一议 这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形. 如图，这些三角形不都全等. （3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 议一议 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 你能通过尺规作图，作出这个三角形吗？ 例 3 已知一个等腰三角形的底及底边上的高，求作这个等腰三角形. 已知：如图①，线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. 作法： （1）作线段BC=a（如右图）. a h 图① B C （2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. （3）在l上作线段DA，使DA=h. l D A （4）连接AB，AC. △ABC为所求的等腰三角形. 做一做 已知直线l和l上上一点P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. 小明的作法如右图，你能明白小明作法吗？ A B P m l 作法： （1）以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A，B. （2）作线段AB的垂直平分线m. 直线m就是过点P的直线l的垂线. 议一议 如果点P是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作l 的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法. A B P m l 作法： （1）以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A，B. （2）作线段AB的垂直平分线m. 直线m就是过点P的直线l的垂线. 作图 已知、求作 作法 作等腰三角形 已知：如图，线段a，h. 求作：△ ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. （1）如图，作线段BC=a. （2）作线段BC 的垂直平分 线l，交BC于点D. （3）在l上作线段DA， 使DA=h. （4）连接AB，AC. △ ABC 为所求作的等腰三角形. 总结归纳 作图 已知、求作 作法 过直线上一点，作这个直线的垂线 已知：如图，直线 l 和l 上一点P. 求作：直线l 的垂 线，使它过点P. （1）以点P为圆心， 适当长为半径作弧， 交直线l于点A，B. （2）作线段AB的 垂直平分线m. 直线m就是过点P的 直线l的垂线. 作图 已知、求作 作法 过直线外一点，作这个直线的垂线 已知：如图，直线 l 和l 外一点P. 求作：直线l 的垂 线，使它过点P. （1）以点P为圆心， 适当长为半径作弧， 交直线l于点A，B. （2）作线段AB的 垂直平分线m. 直线m就是过点P的 直线l的垂线. 1.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是 （ ） 随堂小测 D 2.（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使得E到P，C两点的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）. （2）在图中，如果AC=5 cm，AP=3 cm，则 △APE的周长是 cm. E 8 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是 （ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 当堂检测 D 2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是 （ ） A．10° B．20° C．30° D．40° A 3.如图，有A，B，C三个村庄，他们合作打一口井，为了公平，需要这口井到三个村庄的距离相等，那么，这口井应该在哪个位置？请画出来. A B C P 课堂小结 三角形三边的垂直平分线的性质定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 有关垂直平分线的尺规作图. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$