精品解析：山东省德州市夏津县育中万隆中英文高级中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

夏津育中万隆中英文高级中学 高一上学期第二次月考数学试题 本试卷共2页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解指数不等式和分式不等式求出集合与集合，再由交集运算求解即可. 【详解】对于集合，由得，所以， 对于集合，因为，所以，解得， 所以，所以. 故选：B. 2. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】，，， ∴． 故选：C. 3. 下列函数中是奇函数，且对任意且，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为对任意且，， 即函数在上单调递减， 对于A，是上的增函数，不符合题意； 对于B，函数定义域为， 且，即是奇函数， 又与在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 对于C，函数定义域为， 且， 所以是偶函数，不符合题意； 对于D，函数定义域为，且， 所以是偶函数，不符合题意； 故选：B． 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数奇偶性及函数正负，借助排除法即可得. 【详解】由题意可得，解得， 又，故为偶函数，故可排除A、C； 又时，，故可排除B，故D选项正确. 故选：D. 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得，结合奇偶函数的定义计算即可求解. 【详解】由题意得，得， 当时，． 所以． 故选：B 6. 某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，其中是原有废气的污染物含量（单位：），是正常数．若在前消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（ ） 参考数据：，，， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程和不等式即可求解. 【详解】由题有，设小时后污染物含量不超过， 则，解得，即至少经过29小时能达到排放标准. 故选：B. 7. 已知连续函数对任意实数恒有，当时，则以下说法中不正确的是（ ） A. B. 是上的奇函数 C. 在上的最大值是8 D. 在上递减 【答案】C 【解析】 【分析】令、及奇偶性定义判断A、B；令结合已知和单调性定义判断D；根据已知得，，结合单调性判断C. 【详解】A，对任意实数恒有，令，可得，正确； B，令，得，则，所以是奇函数，正确； D，令，则，当时， 所以，即，所以在均递减， 函数连续，所以在上递减，正确； C，由，得；令，得， 所以，，则，函数在上的最大值是6，错误； 故选：C 8. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用换元，令，将原问题转化为的所有解的乘积为1，结合函数图象，分类讨论，即可求得答案. 【详解】由题意，作出函数的图象如图： 令，则函数，即，即， 即，由题意函数所有零点的乘积为1， 可知的所有解的乘积为1， 而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标； 结合的图象可知， 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，符合题意； 当时，函数图象与直线有3个交点， 其中最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意； 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，符合题意； 综合以上可知实数的取值范围为， 故选：B 【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1； （2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论，解决问题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数和函数表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由抽象函数求定义域方法得到，求出，得到定义域；B选项，两函数定义域不同；C选项，换元法得到，，由单调性求出值域；D选项，方程思想求解函数解析式，得到，与题目条件联立求出答案. 【详解】A选项，令，解得， 故函数的定义域为，A正确； B选项，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，令，故， 故，， 因为，所以在上单调递增， 故， 函数的值域为，C正确； D选项，满足①， 故②， 联立①②得，D正确. 故选：ACD 10. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； ， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值，故C错误； ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确． 故选：AD． 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上） 12. 函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果. 【详解】由，得，所以定点， 设，又，得，所以， 所以， 故答案为：4. 13. 已知函数，函数与的图象关于直线对称，则_____ 【答案】5 【解析】 【分析】根据指对数的关系写出，进而求函数值. 【详解】因为函数，是的反函数，故， 故． 故答案为：5 14. 设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，时，单调性相反，不合要求，时，画出与的图象，分在区间上同增和同减两种情况，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， 当时，则，， 故在上单调递减，在上单调递增， 不合要求， 当时，， ， 画出与的图象，如下： ①若两函数在区间上单调递增，则， 解得； ②若两函数在区间上单调递减，则，不等式组无解； 综上所述；． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式： （1） （2）； （3）已知，求的值 【答案】（1）； （2）12； （3）14. 【解析】 【分析】（1）（3）应用指数幂的运算性质化简、求值； （2）由对数的运算性质化简求值. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式． 【小问3详解】 由，所以． 16. 已知函数 偶函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值； （2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 函数为偶函数, ，即， ， ； 【小问2详解】 ， 当时，在单调递增， 在上单调递增， 又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减 ， ， 解得或， 所以所求不等式的解集为。 17. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 【答案】（1）选择模型③，，178千人． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据变化情况选择模型，再利用待定系数法求出解析式及函数值. （2）利用（1）的结论建立不等式，分离参数构造函数并求出其最大值即得. 【小问1详解】 由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快， 模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③， 于是，解得， 所以函数模型对应的解析式为， 当时，预测2024年年末的会员人数为千人． 【小问2详解】 由（1）及已知得，对，都有，令，则， 令，则不等式右边等价于函数， 函数在区间上单调递增，因此， 则，所以的最小值为． 18. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． （1）求和的值； （2）若实数满足，求的最小值. 【答案】（1）或1， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的概念和性质求解； （2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值． 【小问1详解】 幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； 【小问2详解】 ∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以最小值是2. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则， 然后利用得出与，代入上式求解； （2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增； （3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围． 【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则． 即， 整理得， 于是，解得． 所以的对称中心为； （2）函数在上为增函数； （3）由已知，值域为值域的子集． 由（2）知在上单增，所以的值域为． 于是原问题转化为在上的值域． ①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以． 因为，所以，解得． ②当，即时，在单减，单增， 又过对称中心，所以在单增，单减； 此时． 欲使， 只需且 解不等式得，又，此时． ③当，即时，单减，在上亦单减， 由对称性，知在上单减，于是． 因为，所以,解得． 综上，实数的取值范围为． 【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点： （1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解； （2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 夏津育中万隆中英文高级中学 高一上学期第二次月考数学试题 本试卷共2页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中是奇函数，且对任意且，的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 9 D. 6. 某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，其中是原有废气的污染物含量（单位：），是正常数．若在前消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（ ） 参考数据：，，， A. B. C. D. 7. 已知连续函数对任意实数恒有，当时，则以下说法中不正确的是（ ） A. B. 是上的奇函数 C. 在上的最大值是8 D. 在上递减 8. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数和函数表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 10. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上） 12. 函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则__________. 13. 已知函数，函数与的图象关于直线对称，则_____ 14. 设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为___________ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式： （1） （2）； （3）已知，求值 16. 已知函数 为偶函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式 . 17. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 18. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． （1）求和的值； （2）若实数满足，求的最小值. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上单调性（只写出结论即可）； （3）已知函数图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$